拉格朗日插值法和孙子定理

1、拉格朗日插值法和孙子定理【教学目标】1 掌握拉格朗日插值法和孙子定理。2熟练运用拉格朗日插值法和孙子定理解决实际问题。3亲历拉格朗日插值法的探索过程，体验分析归纳得出孙子定理，进一步发展学生的探 究、交流能力。【教学重难点】重点：理解拉格朗日插值法的建立过程，孙子定理额推导过程。难点：建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理。【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习。拉格朗日插值法和孙子定理，这节课的主要的内容有拉 格朗日插值法和孙子定理的概念，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问 题。二、讲授新课(1) 教师引导学生在预习的基础上了解拉格朗日插值法和孙子定理的内容，形成初步

2、感 知。(2) 首先，我们来学习拉格朗日插值公式，它的具体内容是：一般地，设a,b,c两两不同，那么满足f aj=e, f b=f,f cj=g的一个多项式f x可由下面的公式给出：f x=e|_p x f _q x gx , L (xbxc)t fxaYxc) “ t fxaYxb)p x,q x,r x.* (a-b)(a-c)''(b-a)(b-c)*(c-a)(c-b)通常我们把公式和叫做拉格朗日插值公式 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例：已知函数 f X；=X3-X2 丄x 1 且存在 Xo 0, j i，使 f Xo；=Xo.证明：yn 1

3、-Xn12 4ynXn2解析：因为y1 Xn勺二f yn - f X yn -Xnyn Xn由拉格朗日插值定理知：总存在，,xn, yn使得yn1 -Xn1二f'yn Xn由于匚三l：Xn, yn 1 =2f' x =3x -2x当 X 0，2，X max=f'O 冷故得证匕1 : 1yn Xn2根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。2练习：已知函数fx=x2 -，al nxxO ， f x的导数是f' x ，任意两个不等正数n,x2x证若 a 兰4, f '(xif '(X2% x?解：要证明f O )-f '(X? j”Xi -X?

4、，只要证明由拉格朗日定理得，总存在x<x2使f''(©卜1故只要证明(钉>1，即证明(©)=2+刍-鲁>2+刍-刍:>14.8，则 g'- 362 4 -3>4：-4g' ： ：i： 0故当a兰4时，f'(为)一 f'(X? ) >|为一冷(3) 接着，我们再来看下孙子定理内容，它的具体内容是:设a,b,c为两两互素的正整数，e,f,g为任意整数，则同余方程组lx 三e mod ax 三 f mod bx 三g（mode j仅有一解： x三ebeq - facg - gabq mod abe

5、 , 其中CqC 3分别为满足同余式：beq 三 1 moda , ace?三 1 modb ,abQ 三 1 mod e 的整数.它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例：每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问至少有多少人？ 解析：由于9, 7, 5互素，故可用孙子定理.解 1 75c,=35& 三1 mod9得 G 三8mod9解 295c?=45q 三 1 mod 7得 c?三5mod7解 397c3=63c3 三 1 mod5得e3 三2mod5于是选取 g=2,c2 =3,5 =11得 x 三67 5 8+2 9 5 5+3 9 7 2 三3

6、03 mod305 是同余方程的解，所以至少有303人。根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。练习：被3除余2,被7除余1，被11除余2,求同余方程的解.解：由于3,7,11互素，故可用孙子定理.解 1 7 11g =77& 三1 mod3 得 G 三 2 mod2解 2 3 11c, =33e2 三 1 mod7 得 e2 三 3 mod7解 3 3 7q =2© =1 mod11 得 e3 =10 mod11于是选取g=2,q =3,C3 =11得x 三 2 7 11 2+1 3 11 3+2 3 7 10=727 三24（mod231 ）是同余方程的解.三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了拉格朗日插值法和孙子定理。（2）它们在解题中具体