第四节函数展开成幂级数ppt课件

1、第七章第七章 无穷级数无穷级数一、泰勒级数一、泰勒级数第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数四、小结四、小结 练习题练习题三、幂级数展开式在近似计算上的应用三、幂级数展开式在近似计算上的应用引言引言 0 00 0设设幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径为为和和函函数数为为(),nnnaxxRs x 0 00 00 00 0即即 ( )() ,.nnns xaxxxxR xR 上节例题上节例题()ln()()nnnxxxn 1 10 011111111( )()nnns xaxx 0 00 0 上上式式表表明明为为该该幂幂级级数数的的和和函函数数，此此

2、外外还还表表明明：s x (1)(1)函函数数具具有有幂幂级级数数这这样样一一种种表表达达式式，从从而而可可以以利利用用这这一一表表达达式式来来研研究究函函数数；s xs x2 20 01 10 02 20 00 02 2次次多多项项式式是是该该幂幂级级数数的的前前1 1项项部部分分和和，( )( )()()()nnnnP xaaxxaxxaxxn 0 00 0则则lim( )( ),nnP xs xxxR xR 0 0即即时时，。( )( )nxxRs xP x 这就是用多项式近似表达函数这就是用多项式近似表达函数 0 0称称为为函函数数在在点点 的的邻邻次次近近似似多多项项式式域域内内的的

3、。( )( )nP xf xxn是否存在幂级数在其收敛域内以是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数？为和函数？问题问题:2.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?给给定定函函数数，( )f x把把函函数数这这一一问问题题称称为为。展展开开成成幂幂级级数数( )f x一、泰勒级数一、泰勒级数给给定定函函数数，( )f x 00000 00000如如果果幂幂级级数数在在 的的某某个个邻邻域域内内的的和和函函数数为为(),nnnaxxxxr xrfx 0 00 00 01 1即即1 1( ),n

4、nnf xaxxxxr xr 0 0则则称称函函数数在在点点处处可可展展开开成成幂幂级级数数。( )f xx 0 0且且 1 1 式式称称函函数数在在点点处处的的幂幂级级数数展展开开。( )f xx根据幂级数的和函数的性质，当根据幂级数的和函数的性质，当1 1式成立时，式成立时， 0 00 0在在内内，,xr xr 有有任任意意阶阶导导数数，( )f x 0 0且且1 11 1，( )()()n kknn kfxn nnkaxx 0 00 00 01 10 0于于是是 (),(),()!,kkf xafxafxk a 0 01 1即即1 1 2 2(), ,!kkafxkk 结论结论0 0如如

5、果果函函数数在在点点处处可可展展开开成成幂幂级级数数，( )f xx0 0那那么么在在的的邻邻域域内内必必有有任任意意阶阶导导数数，( )xf x 2 20 00 00 00 00 00 00 01 12 2且且其其展展开开式式必必是是幂幂级级数数1 12 2( )()()()()()!()()!nnf xfxxxfxxxfxxxk 幂幂级级数数 2 2 称称为为函函数数。勒勒级级数数的的泰泰( )f x0 0记记0 01 1，( )( )( ), !fxf x 0 00 00 02 2 式式可可简简记记为为。1 1( )()!nnnfxxxn 0 00 0设设函函数数在在内内有有任任意意阶阶

6、导导数数，( ),f xxl xl 那那么么总总可可作作出出的的泰泰勒勒级级数数 2 2( ).f x 假假设设级级数数 2 2 的的和和函函数数为为，( )s x那那么么与与是是否否恒恒等等？( )( )s xf x回回答答：与与不不一一定定恒恒等等( )( )s xf x0 0即即与与可可能能恒恒等等，也也可可能能仅仅在在一一点点处处相相等等。( )( )s xf xxx 初初等等函函数数但但如如果果是是，( )f x则则必必有有。( )( )s xf x 21,0( )0,0 xexf xx 例例如如( )(0)0(0,1,2,)nfn 且且( )nnf xxx 0 0在在 = =0 0

7、处处的的展展开开级级数数为为0 0(,) 可见可见,( )( ).xf xf x 除除0 0 外外的的展展开开级级数数处处处处不不收收敛敛于于在在x=0点任意可导点任意可导,该级数在该级数在 内和函数内和函数 。( ) 0.s x 初等函数展开定理初等函数展开定理设设为为初初等等函函数数，( )f x 0 00 0且且在在内内有有任任意意阶阶导导数数，,xl xl 0 0则则函函数数在在点点处处可可展展开开成成幂幂级级数数，( )f xx 0 00 00 00 00 01 1且且有有展展开开式式3 3( )( )()!,nnnf xfxxxnxxr xr 其其中中，min ,rl R 为为 3

8、 3 式式右右端端的的幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径。R 0 00 0在在端端点点及及处处，如如果果级级数数收收敛敛且且也也有有定定义义，则则展展开开式式 3 3 在在该该端端点点处处也也成成立立。( )xxlxxlf x 定理表明，对于初等函数来说，它的泰勒级数就是定理表明，对于初等函数来说，它的泰勒级数就是它的幂级数展开式。它的幂级数展开式。 0 0把把初初等等函函数数展展开开成成的的幂幂级级数数的的步步骤骤：( )f xxx 0 0（1 1）在在 的的邻邻域域内内求求出出的的各各阶阶导导数数，( )xf x0 0进进而而求求出出0 0 1 1 2 2，( )()(, , ,)kfxk

9、并写出展开式3）； 0 00 02 2 求求出出（3 3）式式右右端端泰泰勒勒级级数数的的收收敛敛半半径径 及及的的任任意意阶阶导导数数的的存存在在区区间间，( )( ),Rf xxl xl 令令，min ,rl R 0 00 0则则展展开开式式（3 3）在在内内成成立立。,xr xr 0 00 0在在端端点点及及处处，如如果果级级数数收收敛敛且且也也有有定定义义，则则展展开开式式 3 3 在在该该端端点点处处也也成成立立。( )xxlxxlf x 0 0下下面面只只讨讨论论0 0的的情情形形。x 0 00 00 0当当0 0时时，令令，求求得得在在0 0处处的的幂幂级级数数展展开开式式，也也

10、就就求求得得在在处处的的展展开开式式。( )()( )( )xF tf xtF ttf xxx 0 00 01 1当当0 0时时，（3 3）式式化化为为0 0（4 4）( )( )( )!,nnnxf xfxnxr r 麦麦克克劳劳林林展展开开式式4 4 式式称称为为的的，( )( )f x（4 4式右端的级数称为麦克劳林级数。式右端的级数称为麦克劳林级数。 例例1解解( ).xf xe 求求的的麦麦克克劳劳林林展展开开式式( )( ),nxfxe ( )(0)1.(0,1,2,)nfn(0,1,2,)n 21112!xnexxxn 再求级数的收敛半径。再求级数的收敛半径。2 21 11 11

11、 12 2(,)!xnexxxxn 为为初初等等函函数数，( )xf xe 1 11 10 01 1limlim,nnnnaan .R 又又在在有有任任意意阶阶导导数数，( ),xf xe 例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解( )( )sin(),2nnfxx( )(0)sin,2nnf (2 )(0)0,nf(21)(0)( 1) ,nnf (0,1,2,)n 213511sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn (,)x 2 21 13 35 51 11 11 13 35 52 21 1sin()!()!nnxxxxxn 显显然然级级数数的的收收敛敛半

12、半径径为为.R 又又在在有有任任意意阶阶导导数数，( )sin,f xx 例例3将将1 1展展开开成成 的的幂幂级级数数( )() ().f xxRx 解解( )( )()()(),nnfxnx 1 11 1 1 1 ( )( )()(),nfn 0 01 11 1 (0,1,2,)n ()()()!nnxxxn2 21111111 12 2 1limnnnaa limnnn 1 1 1, 1,R若若内内在在,)1 , 1( ()()( )!nns xxxn 1 11 11 1 ()()( )()()!nns xxxn 1 11 11 11 11 1 ()()( )()()!nnxs xxxx

13、n 2 21 11 11 11 1 (1)(1)(1)()(1)(1)(1)!mmnmmnm mmnnnn 利利用用(1) ( )x s x ()()()!nnxxxn 2 22 22 21 11 11 11 12 2 ( )s x ( ),( )s xs xx 1 1 (0)1.s 且且两边积分两边积分( ),( )xxs xdxdxs xx 00001 1 ( 1,1)x 得得ln ( )ln ( )ln(),s xsx 0 01 1 即即ln ( )ln() ,s xx 1 1( )() ,s xx 1 11 11 1(, )x 2 21 11 11 11 11 12 2()()()()

14、!nxnxxxn ( 1,1)x 二项展开式二项展开式注意注意: :.x 在在1 1处处收收敛敛性性与与 的的取取值值有有关关(, ); 1 1收收敛敛区区间间为为1 1 1 1(, ; 1111收收敛敛区区间间为为1 11 1, . 1 1收收敛敛区区间间为为 1 1 1 1有有时时当当,21, 1 2311( 1)( 1,1)1nnxxxxx 23111 3(23)!11( 1)22 42 4 6(2 )! 1,1nnnxxxxxn 23111 31 3 5(21)!1( 1)22 42 4 6(2 )!1( 1,1nnnxxxxnx 双阶乘双阶乘二、间接展开法二、间接展开法1.1.直接法

15、直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )0 0直直接接按按公公式式计计算算幂幂级级数数的的系系数数，求求得得初初等等函函数数的的幂幂级级数数展展开开式式。( )()!nnfxan 2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过变量代换通过变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分等方逐项积分等方法法,求展开式求展开式.例如例如cos(sin )xx 22411cos1( 1)2!4!(2 )!nnxxxxn (,)x 213511sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn 20arctan1xdxxx 213511(

16、1)3521nnxxxxn 1,1x 0ln(1)1xdxxx 23111( 1)23nnxxxxn ( 1,1x 例例42 21 1将将展展开开成成 的的幂幂级级数数6 6( ).f xxxx 解解1 11 11 11 11 11 11 11 11 13 32 25 53 32 25 53 32 21 11 13 32 2( ),()()f xxxxxxx 0 011113 33 33 31 13 3,(, )nnnxxx 0 011112 22 22 21 12 2,(, )nnnxxx 000011110 0111111111153322533221 111112 22 2532532(

17、 ),(, )nnnnnnnnnnnf xxxxx 例例5 ( )ln.f xxxx 将将1 11 1展展开开成成 的的幂幂级级数数解解 方法一 1 11 11 11 1( )()nnnf xxxn 利用展开式， 容容易易求求得得右右端端级级数数的的收收敛敛域域为为1 1 1 1 ，, 但但在在1 1处处没没有有意意义义，( )f xx 故故展展开开式式的的成成立立区区间间为为1 1 1 1。(, 111111111111nnnnnnxxxnn 1 11 11 11 11 11 11 1nnnnnnxxnn 1111121211111 1nnnnnnxxnn 2 211111 11 1nnnx

18、xnn 2 21 11 1()nnnxxn n 方法二 1 11 1( )ln()fxx 利用展开式， 1 11 11 111 111 1( ),(, nnnfxxxn 从从0 0到到 积积分分，得得x 1 11 11 10 01 1 1 11 1( )( ),(, ()nnnf xfxxxn n 2 21 1即即1 1 1 11 1( ),(, ()nnnf xxxxn n 例例6把把展展开开成成的的幂幂级级数数。4 4( )sinf xxx 解解令令，4 44 4,xt xt 1 1则则，4 44 42 2( )()sin()(sincos )f xftttt 2 21 12 20 00

19、02 23 31 11 11 14 42 21 12 22 21 11 11 11 12 23 32 2()()in()()!()!,!s!kkkkkktttkktttt sin( ),!,xxxxx 23231111111 142434424342 2 利用展开式， 0 00 00 0( ),nnnf xaxxxxR 则则在在区区间间 上上有有I求求得得多多项项式式的的函函数数值值，( )nP x即即为为函函数数值值的的近近似似值值。( )f x三、幂级数展开式在近似计算上的应用三、幂级数展开式在近似计算上的应用如如果果函函数数有有展展开开式式( )f x2 20 01 10 02 20 0

20、0 0( )( )()()()nnnf xPxaaxxaxxaxx 计计算算某某数数 的的近近似似值值的的步步骤骤：A选选函函数数1 1取取一一个个，( )( )f x0 02 2取取某某选选，点点( )x0 01 10 0 使使易易求求0 0 1 1 2 2，并并使使尽尽可可能能的的小小；( )()(, , ,)kfxkxx 1 1使使；()Af x 0 00 03 3 令令( ),txxxxt 0 0把把展展开开成成 的的幂幂级级数数，()f xtt 0 00 0设设为为，()nnnf xta t 1 11 10 0当当时时，ttxx 0 01 11 10 0得得；()nnnAf xta

21、t 4 4 根根据据精精确确度度的的要要求求, ,适适当当取取 ，选选( )n2 20 01 11 10 01 1 1 12 2 1 11 1按按，()( )nnnAf xtP taa ta ta t 计计算算 的的近近似似值值。A1 11 11 11 11 1这这里里 与与的的相相差差为为余余项项( )( ),knnkk nAP trta t 111111称称为为用用表表断断差差示示。截截的的误误( )( )nnrtP tA 1 1在在计计算算的的值值时时，还还有有因因四四舍舍五五入入而而产产生生的的计计算算。误误差差( )nP t因此求得的近似值应使这两种误差之和满足精确度的因此求得的近似

22、值应使这两种误差之和满足精确度的要求。要求。例例74 45 5求求245245的的近近似似值值，误误差差不不超超过过1010 。A 解解1 15 5令令 ( ),f xx 则则2 24 45 5().Af 5 532433243, 0 0取取2 24 43 3.x 1 11 10 0令令2 24 43 32 2,txtxx 1 15 51 15 52 24 43 33 3 1 12 24 43 3( ),tf xt 利用二项展开式，有0 02 23 31 11 1 1 14 41 1 1 14 49 93 3 1 15 5 2 24 43 32 2 5 55 52 24 43 33 3 5 5

23、5 55 52 24 43 3(),!f xtttt 1 1当当2 2时时，得得tt232323231 2424 921 2424 923 13 15 2432 52433 52435 2432 52433 5243,!A 取取1 1，n 由于这是一个交错级数，故截断误差2 22 24 42 23 32 24 42 22 24 41 13 30 0 2 2 1 10 02 2 5 52 24 43 32 25 5 2 24 43 3.!ru 1 1 2 22 23 31 13 35 5 2 24 43 35 5 8 81 1A 计算取5位小数，再四舍五入， 4 4保保证证计计算算误误差差小小于

24、于0 0 5 5 1 10 0 ，. 得得3 3 0 00 04 49 93 33 3 0 00 04 49 9。.A 例例84 4求求1 18 8 的的近近似似值值，误误差差不不超超过过1 10 0 。sin 解解3 35 52 21 11 11 11 13 35 52 21 1()sin!()!nnxxxxxn 令令得得1010,x 3 35 52 21 11 11 11 11 10 01 10 03 31 10 05 51 10 02 21 11 10 0()sin,!()!nnn 3 31 11 10 01 10 03 31 10 0sin,! 这是一个交错级数，若取前两项，得截断误差

25、 5 55 54 43 311110 320 3 100 320 3 10510120510120.,!r 计算取5位小数，再四舍五入，得 3 31 1得得1 18 80 0 3 30 09 90 0。1 10 03 31 10 0sin.! 3 31 10 0 3 31 14 41 16 60 0 0 00 05 51 17 71 10 03 31 10 0.,.,! 例例9 计算计算e的近似值，精确到小数点后四位。的近似值，精确到小数点后四位。解解 在在e e的展开式中令的展开式中令 ，就得到。，就得到。若取前若取前n n项的和作为项的和作为e e的近似值，其误差为的近似值，其误差为只要取

26、只要取n=7n=7，那么，那么 ，于是。，于是。x 1 1 ()( ),!nnnfernn 1 11 11 11 10 0 1 11 11 1( )!ner 4 43 31 11 11 18 88 81 13 34 44 40 01 10 0.!e 1 11 11 11 1 1 12 2 7 71 18 82 22 23 37 7例例10 计算定积分计算定积分 的近似的近似值，精确到小数点后第四位。值，精确到小数点后第四位。解解 因为被积函数因为被积函数 不能用初等函数表示，所不能用初等函数表示，所以我们采用它的幂级数展开式来求定积分的近似值。以我们采用它的幂级数展开式来求定积分的近似值。.x

27、edx 2 21 12 20 02 21 10 0 5 56 64 41 19 9 xe 2 2!xxxedxxdx 2 21 11 14 46 62 22 22 20 00 02 22 21 12 23 3 !xxdxx dxdxdxdx 111111111146462 2222222222200000000002462462 21 1232321111211111 122325 227 322325 227 3 括号内的式子是满足莱布尼兹准则收敛条件的交括号内的式子是满足莱布尼兹准则收敛条件的交错级数，由于错级数，由于所以取前所以取前4 4项作为近似值即可，项作为近似值即可，!r 4 44

28、 48 81 11 11 10 02 29 9 4 4 !xedx 2 21 12 22 24 46 60 02 22 21 11 11 11 11 12 22 23 32 25 5 2 22 27 7 3 3 . 0 0 5 56 64 41 19 9 1 10 0 0 08 83 33 33 30 0 0 00 06 62 25 50 0 0 00 00 03 37 70 0 5 52 20 05 5例例11 计算定积分计算定积分 的近似值，精确到小数的近似值，精确到小数点后第四位。点后第四位。解解 因为因为 ，如果补充被积函数在，如果补充被积函数在 处的函数值为处的函数值为1 1，则被积

29、函数就是，则被积函数就是 上的连续函上的连续函数。但由于数。但由于 的原函数是无法用初等函数来表的原函数是无法用初等函数来表示的，所以采用它的幂级数展开式来求积分。示的，所以采用它的幂级数展开式来求积分。将被积函数展开为将被积函数展开为对幂级数展开式逐项积分对幂级数展开式逐项积分sin xdxx 1 10 0sinlimxxx 0 01 1x 0 0 , 0 10 1sin xxsin!xxxxx 2 24 46 61 13 35 57 7sin!xdxx 1 10 01 11 11 11 13 3 3 35 5 5 57 7 7 7根据交错级数的误差估计根据交错级数的误差估计 因而，只因而，只要取前三项作为积分的近似值便可，即要取前三项作为积分的近似值便可，即 !r 4 43 31 110107 77 7sin.!xdxx 1 10 01 11 11 11 10 0 0 05 55 55 50 0 0 00 01 16 67 70 0 9 94 46 61 13 3 3 35 5 5 5四、小结1.如何求函数的泰