第四章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分ppt课件

1、第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 一一 对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质二二 对弧长的曲线积分的计算与应用对弧长的曲线积分的计算与应用三三 几何与物理意义几何与物理意义一一 对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在平面所假设曲线形细长构件在平面所占弧段为占弧段为AB , 其线密度为其线密度为( , ),x y “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限” (,)kkks 可得可得 nk 10lim M为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,(,)kk 1.1.引例引例: : 曲线形构件的质量曲线形构

2、件的质量采用采用A0M 1M2M1kM kM1nM nM Bks 设设L 是平面中一条有限长的光滑曲线是平面中一条有限长的光滑曲线,义在义在 L上的一个有界函数上的一个有界函数, (,)kkkfs 存在存在,( , )f x yL上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分,记作记作( , ) dLf x ys 若通过对若通过对 L的任意分割的任意分割局部的任意取点局部的任意取点, 2.定义定义( , )f x y 是是定定以下以下“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线一类曲线积分一类曲线积分.( , )f x y称为被积函称为被积函L 称为积分弧段称为积分弧段 .曲

3、线形构件的质量曲线形构件的质量( , )dLMx ys nk 10lim 和对和对或第或第数，数，ds称为弧元素称为弧元素(,)kk A0M 1M2M1kM kM1nM nM Bks 存在条件：存在条件：( ,),( , ).Lf xyLf x y ds 当当在在光光滑滑曲曲线线弧弧上上连连续续时时对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分存存在在性质性质（1） 设设ba,为常数，那么为常数，那么 Ldsyxbgyxaf),(),( Ldsyxfa),( Ldsyxgb),(（2） 设设,21LLL 那么那么 Ldsyxf),( 1),(Ldsyxf 2),(Ldsyxf类似可以将定义推广到三元函数类似

4、可以将定义推广到三元函数),(zyxf在空间在空间曲线曲线 上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分 dszyxf),(0lim nk 1kkkksf ).,( ( , )( , ).Lf x yLf x y ds 注注意意：函函数数在在闭闭曲曲线线上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分记记为为二、对弧长曲线积分的计算与应用二、对弧长曲线积分的计算与应用 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22定理定理:),(yxf设设且且)()( tty上的连续函数上的连续函数,证证: :是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分),(:txL ,d),(存在存在 Lsyxf根据定义

5、根据定义 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(, ,1kkktt 点点),(kk tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt nk 10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf 连连续续注注意意)()(22tt 设各分点对应参数为设各分点对应参数为),1 ,0(nktk 对应参数为对应参数为 那么那么,1kkktt nk 10lim kkkt )()(22 )(, )(kkf xdydsdxyo L 说明说明:, 0, 0)1( kkts因此积分限必须满足因此积分限必须满足! (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)

6、()(22 x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 因而因而sd),(yxfdttt)()(22 )(),(ttf 如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为),()(bxaxy 则有则有 Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:),()(: L那那么么syxfL d),( )sin)(,cos)(f推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(: ttztytx那那么么 szyxfd),(ttttd)()()(222 xx d)(12 d)()(22 baxxf) )(,( )(),(, )(tttf例例1. 计算

7、计算,dLsx其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:)10(:2 xxyL Lsxd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上点上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (Bxyo例例2 设设C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线,a 0 及及4 所围区域的边界所围区域的边界, 求求seICyxd22 2)24( aea a4xy 0ya 解解 xe ae 2xe分段积分分段积分0a04 022a Ixd01 22sina 22cosa d1 xd1例例3 3cos

8、 ,:().sin ,LxatIxyds Lybt 求求椭椭圆圆第第 象象限限解解 tbtaIsincosdttbtattab222220cossincossin 2022)(2 baab.)(3)(22bababaab dttbta22)cos()sin( 02 tbab2222sin)( )sin)(2222tbabd 例例4 4.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsIL解解 yI. 0 例例5 5,:cos ,sin ,. (02 )Ixyzdsxayazk 求其中求其中的一段的一段解解.21222kaka ka sincos2 Ixyo(1,2

9、)(1, 2) 24yx dyy2)2(1 2 2 dkaa22222cossin 02 d d s例例6. 计算计算,d)(222szyxI 其中其中为球面为球面22yx 解解: , 11)(:24122121 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d22920 I d2 cos221 z. 1的交线的交线与平面与平面 zx292 z化为参数方程化为参数方程 21cos2 x sin2 y那么那么例例7. 计算计算,d2sx 其中其中为球面为球面 2222azyx 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0 zyx解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2 sz

10、yxsxd)(31d2222 sa d312 aa 2312 332a sy d2 sz d2 xoyz三三 几何与物理意义几何与物理意义(1)( , ),x yL 当当表表示示的的线线密密度度时时;),( LdsyxM (2)( , )1,;Lf x yLds 弧弧长长当当时时(3)( , )( , ),f x yLx y当当表表示示立立于于 上上的的柱柱面面在在点点处处的的高高时时( , ).LSf x y ds 柱面面积柱面面积L( , )x y( , )f x yS(4),xy曲曲线线弧弧对对 轴轴及及 轴轴的的转转动动惯惯量量22,.xyLLIydsIxds(5) 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标., LLLLdsdsyydsdsxx 例例8. 计算半径为计算半径为 R ,中心角为中心