第十一章习题课常数项级数审敛ppt课件

1、1 1、常数项级数、常数项级数 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). .收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:习题课习题课 常数项级数审敛常数项级数审敛一、主要内容一、主要内容常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun一般项级数

2、一般项级数4.绝对收敛绝对收敛2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法.有有界界部部分分和和所所成成的的数数列列正正项项级级数数收收敛敛ns(1) (1) 比较审敛法比较审敛法(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式( (3 3) ) 极极限限审审敛敛法法0, 0nnvu设设nnvu 与与若若是同阶无穷小是同阶无穷小同同敛敛散散与与则则 nnvu特别特别 nnvu 若若（等价无穷小）（等价无穷小）同同敛敛散散与与则则 nnvu( (4 4) ) 比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )(5) (

3、5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法Leibniz定理定理绝对收敛，条件收敛绝对收敛，条件收敛附：附：正项级数与任意项级数审敛程序正项级数与任意项级数审敛程序 nu0nu nu发散发散NYnnuu1lim 1 Ynnvu 0nnulim N1 N改改用用它它法法Y nu收敛收敛 nv收敛收敛 nu发散发散 nu收敛收敛 nv发散发散 nu0nuN 发散发散 nuY敛敛 |nuY绝绝对对收收敛敛 nu 收敛收敛 nuN用检比用检比 法法用比较法用比较法用用L准则或考察部分和准则

4、或考察部分和N收敛 nuNY条件收敛条件收敛例例1求极限求极限nnnn 2!3lim 解解考察正项级数考察正项级数 nnnnu2!3nnnnnnnnnnuu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由检比法由检比法 nnn 2!3收敛收敛由级数收敛的必要条件得由级数收敛的必要条件得02!3lim nnnn二、典型例题二、典型例题例例2 设设 0lim anann试证试证 na发散发散证证不妨设不妨设 a 0 由极限保号性知由极限保号性知N 时当Nn 0 na由于由于01limlim ananannnn故由比较法的极限形式得故由比较法的极限形式得 na发散发散例例3 假假设

5、设 nu nv都发散都发散 那那么么A )(nnvu必发散必发散B nnvu必发散必发散C |nnvu必发散必发散D以上说法都不对以上说法都不对例例3 3;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散 1).0()1()2ln()2(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(li

6、mlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散敛敛？是是条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛？如如果果收收敛敛，是是否否收收判判断断级级数数 1ln)1(nnnn例例4 4解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1

7、(11发发散散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级数级数是交错是交错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上单单增增在在 ,ln1单单减减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛 na nc都收敛都收敛 且且nnncba 例例5 设设 试证试证 nb收敛

8、收敛证证由由 nnncba 知知nnnnacab 0因因 na nc都收敛都收敛 故正项级数故正项级数 )(nnac收敛收敛再由比较审敛法知再由比较审敛法知 正项级数正项级数 )(nnab收敛收敛而而nnnnaabb )(即即 nb可表为两个收敛级数可表为两个收敛级数之和之和 )(nnab na故故 nb收敛收敛例例6 设设 0, 0 nnba且且nnnnbbaa11 假假设设 nb收敛收敛 那那么么 na也收敛也收敛证证由题设知由题设知1111bababannnn nnbbaa11 而而 nb收敛收敛由比较法得由比较法得 na收敛收敛Cauchy积分审敛法积分审敛法设设 0)( xfy单调减

9、少单调减少)(nfun 那那么么 1nnu与与 1)(dxxf同敛散同敛散例例7 证证由由 f(x) 单调减少知单调减少知 11)()()1(kkkkukfdxxfkfu即即 nknnkkkudxxfu11111)(nnnSdxxfSS 1111)(故故 1nnu与与 1)(dxxf同敛散同敛散例例8 设设 nu是单调增加且有界的正数数列是单调增加且有界的正数数列试证明试证明 )1(11 nnnuu收敛收敛证证记记11 nnnuuv那那么么011 nnnnuuuv且且11uuuvnnn 而正项级数而正项级数 11)(nnnuu的部分和的部分和 nknkknuuuuS1111)(又又 nu单调增

10、加且有界单调增加且有界故由单调有界原理知故由单调有界原理知 Aunn lim存在存在1limuASnn 即即 11)(nnnuu收敛收敛进而进而 111)(1nnnuuu收敛收敛由比较法得由比较法得 1nnv收敛收敛设正数数列设正数数列 na单调减少，级数单调减少，级数 11)1(nnna发散发散考察考察nnna)11(1 的敛散性的敛散性证证 记记nnnau)11( 由由 na单调减少单调减少0 na故由单调有界原理知故由单调有界原理知 Aann lim存在存在且且0 A假假设设0 A由由Leibniz审敛法得审敛法得 交错级数交错级数 11)1(nnna收敛收敛 与题设矛盾与题设矛盾0 A

11、nnnnnau 11limlim111 A由检根法知由检根法知 nnna)11(1 收敛收敛 例例9 知知 nunnln1lnlim0 nu证明证明收敛收敛 nu1 发散发散nu1 的敛散性不定的敛散性不定nu1 由由1ln1lnlim nunn知知对对1 NnN ,有有1ln1ln qnun nqunln1ln nqunlnln 证证例例10qnnu1 而而 qn1收敛收敛故由比较法知故由比较法知 nu收敛收敛 由由1ln1lnlim nunn知知NnN 当,有有1ln1ln rnun nrunln1ln nrunlnln rnnu1 而而 rn1发散发散故由比较法知故由比较法知 nu发散发

12、散如如pnnnu)(ln1 1ln)ln(lnlnlimln1lnlim nnpnnunnn但但收敛收敛时时 nup1发散发散时时 nup1 讨论讨论 1npnna的敛散性的敛散性), 0(常常数数ap 解解对级数对级数 1npnna|)1(limlim1aannuupnnnn 1| a 1npnna收敛收敛 1npnna绝对收敛绝对收敛1| a 1npnna发散发散 1npnna发散发散1| a分情况说明分情况说明例例11 1 a级数成为级数成为 11npn1 p收敛收敛1 p发散发散1 a级数成为级数成为 1)1(npnn1 p绝对收敛绝对收敛1 p条件收敛条件收敛例例12 对对 ,的值，

13、研究一般项为的值，研究一般项为 nnnVn 2sin的级数的敛散性的级数的敛散性解解)(sin nnVn )sin()1(nn 由于当由于当 n 充分大时，充分大时， )sin(n 定号定号故级数从某一项以后可视为交错级数故级数从某一项以后可视为交错级数整数整数当当 为何值为何值无论无论 总有总有|)sin(|lim|lim nVnnn 0|sin| 0lim nnV级数发散级数发散整数整数当当 nVnnsin)1( 时当 n nsin非增地趋于非增地趋于 0 由由Leibniz审敛法知审敛法知 1nnV收敛收敛但但 |sin|lim1|lim nnnVnnn而而 11nn发散发散故由比较法的

14、极限形式故由比较法的极限形式时当0 1sinnn 发散发散 1nnV条件收敛条件收敛0 0 nV级数显然收敛级数显然收敛 正项级数正项级数 由级数收敛的必要条件要使由级数收敛的必要条件要使 收敛必须收敛必须 nu0nu但在一般项趋于但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的级数中为什么有的收敛有的却发散，的却发散，0nu因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式包括极限审敛法则基本，但其极限形式包括极限审敛法则更能说明问题的实质，使用起来也更有效更能说明问题的实质，使用起来也更有效的阶的阶问题的实质是级数收敛与否取决于问题的实质是级数收敛

15、与否取决于关于常数项级数审敛关于常数项级数审敛nnnuu1lim 和和nnnu lim作为作为nu变化快慢变化快慢得到检比法和检根法，检比法得到检比法和检根法，检比法和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失失效的情况。效的情况。 收收敛敛收收敛敛nnuu |这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定级数的敛散性判定注注比较法、比较法的极限形式、检比法、比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对正项级数方检根法、积分审敛法，只能对正项级数方可使用可使用的一种估计的一种估计检比法、检根法只是充分条件而非必要条件检比法、检根法只是充分条件而非必要条件L准则也是充分条件而非必要条件准则也是充分条件而非必要条件通项