第五讲函数的连续性ppt课件

1、法则法则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法则则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法则法则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 极限运算法则极限运算法则可推广到有限个变量可推广到有限个变量可推广到有限个变量及其特例可推广到有限个变量及其特例g(x)=C时时说明： （说明： （1 1）这个重要极限主要解决含有三角函数）这个重要极限主要解决含有三角函数的的00型极限型极限 （2 2）为了强调其一般形式）为了强调其一般形式, ,我们把它形象地写成我们把它形象地写成1sinlim0口口口 ( (方框代表同一变量方框代表同一

2、变量) ) 1. 1. 1sinlim0 xxx 两个重要极限两个重要极限2 2. . e11limxxx ettt 101limlim或或说明： （说明： （1 1）此极限主要解决）此极限主要解决 1型幂指函数的极限型幂指函数的极限 （2 2）它可形象地表示为）它可形象地表示为 e11lim口口）口（ ( (方方框代表同一变量框代表同一变量) ) 定定义义 设设某某一一极极限限过过程程中中, , 与与 都都是是无无穷穷小小, ,且且 Clim（C为为常常数数）. . 无穷小的比较无穷小的比较 常常用用的的几几个个等等价价无无穷穷小小代代换换 一、函数的连续性定义一、函数的连续性定义 二、初等

3、函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长等 函函数数的的增增量量 设设函函数数)(xfy在在点点 0 x的的某某邻邻域域上上有有定定义义， 当当自自变变量量 x由由 0 x变变到到xx0时时， 函函数数 y相相应应由由)(0 xf变变到到)(0 xxf，函函 数数相相应应的的增增量量为为 )()(00 xfxxfy. . O x y x f y 0 x x x 0 x y ( ) 其其几几何何意意义义如如右右图图 所所示示 第三节第三节 函数的连续性函

4、数的连续性一、函数的连续性定义一、函数的连续性定义定定义义 1 1 设设函函数数)(xfy 在在点点 0 x的的某某邻邻域域内内有有定定义义，如如果果自自变变量量的的增增量量0 xxx趋趋于于零零时时，对对应应的的函函数数增增量量也也趋趋于于零零，即即 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 则则称称函函数数)(xf在在点点0 x是是连连续续的的 由于由于y也写成也写成)()(0 xfxfy，所以上述定义，所以上述定义 1 1中表达式也写为中表达式也写为 0)()(lim00 xfxfxx , , 即即 )()(lim00 xfxfxx 于是有于是有 说说明明：函函数数)(xf在在点

5、点 0 x连连续续，必必须须同同时时满满足足以以下下三三个个条条件件： ( (1 1) ) )(xf在在点点 0 x的的一一个个邻邻域域内内有有定定义义； ( (2 2) ) )(lim0 xfxx存存在在； (3)(3)上述极限值等于函数值上述极限值等于函数值)(0 xf 如如果果上上述述条条件件中中至至少少有有一一个个不不满满足足，则则点点 0 x就就是是函函数数)(xf的的间间断断点点 定定义义 2 2 设设函函数数)(xfy 在在点点0 x的的某某邻邻域域内内有有定定义义，若若)()(lim00 xfxfxx，则则称称函函数数)(xf在在点点0 x处处连连续续 定义定义 3 3 ( (

6、间断点的分类间断点的分类) ) 设设 0 x为为)(xf的一个间的一个间断点，如果当断点，如果当0 xx 时，时， )(xf的左、右极限都存在，的左、右极限都存在，则称则称0 x为为)(xf的第一类间断点；否则，称的第一类间断点；否则，称 0 x为为)(xf的的第二类间断点第二类间断点 对第一类间断点对第一类间断点还有还有 ( (1 1) )当当)(lim0 xfxx与与)(lim0 xfxx均均存存在在，但但不不相相等等时时，称称 0 x为为)(xf的的跳跳跃跃间间断断点点； ( (2 2) )当当)(lim0 xfxx存存在在， 但但不不等等于于)(xf在在 0 x处处的的函函数数值值时时

7、，称称0 x为为)(xf的的可可去去间间断断点点 若若)(lim0 xfxx，则则称称 0 x为为)(xf的的无无穷穷间间断断点点，无无穷穷间间断断点点属属第第二二类类间间断断点点 例例 1 1 设设 21,1,1xxf xxx，讨讨论论)(xf在在1x处处的的连连续续性性 解解 因为因为 1lim)(lim211xxfxx , , 2) 1(lim)(lim11xxfxx, , 即即)(lim1xfx不存在 所以不存在 所以1x是是第一类间断点，且为跳跃间断点 （如下页图第一类间断点，且为跳跃间断点 （如下页图 7 7）. . 例例 2 2 设设 4,01,0 xxfxxx，讨讨论论)(xf

8、在在0 x处处的的连连续续性性 解解因因为为0lim)(lim400 xxxfxx；1)0(f即即)0()(lim0fxfx 所所以以0 x是是)(xf的的第第一一类类间间断断点点，且且为为可可去去间间断断点点 （如如下下页页图图 8 8）. . O x y 2 1 1 图图7 7 O x 1 y 图图 8 8 如如果果)(xf在在区区间间),(ba内内每每一一点点都都是是连连续续的的，就就称称)(xf在在区区间间),(ba内内连连续续若若)(xf在在),(ba内内连连续续，在在ax 处处右右连连续续，在在bx 处处左左连连续续，则则称称)(xf在在,ba上上连连续续. . 连连续续函函数数的

9、的图图形形是是一一条条连连续续不不断断的的曲曲线线 若若00lim( )()xxf xf x,则称函数在则称函数在 0 x处右连续处右连续, 若若00lim( )()xxf xf x,则称函数在则称函数在 0 x处左连续处左连续. 1 1 初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 求初等函数的连续区间就是求其定义区间关于分段求初等函数的连续区间就是求其定义区间关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性

10、 2 2 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限若若)(xf在在0 x处处连连续续， 则则 )()(lim00 xfxfxx ， 即即求求连连续续函函数数的的极极限限，可可归归结结为为计计算算函函数数值值 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 判断函数连续性的方法判断函数连续性的方法由于初等函数在它的定义区间内总是连续，由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性多指分段函数在分段处的连续性 例 讨论函数 ,1sin,)(xxxxf00 xx0 x 在点在点处的连续性处的连续性0 x0 x 解 由于函数在分段点处两边的表达

11、式不同，因而，一般处两边的表达式不同，因而，一般要考虑在分段点要考虑在分段点处的左极限与右极限处的左极限与右极限因而有因而有01sinlim)(lim, 0lim)(lim0000 xxxfxxfxxxx , 0)0(f即即而而0)0()(lim)(lim00fxfxfxx)(xf0 x由函数在一点连续的充要条件知由函数在一点连续的充要条件知处连续处连续 例例 3 3 求求极极限限)ln(sinlim2xx 解解 因 为因 为)ln(sinx在在2x处 连 续 ， 故 有处 连 续 ， 故 有 01ln)2ln(sin)ln(sinlim2xx. . 3 3 复合函数求极限的方法复合函数求极限

12、的方法定定 理理1 1 设设 有有 复复 合合 函函 数数)(xfy， 若若0lim( )xxxa，而而函函数数)(uf在在ua点点连连续续，则则 .(limlim00a)fxfxfxxxx 例例 4 4 求求极极限限0ln(1)limxxx 解解 1ln(1)ln(1)xxxx，1ln(1)xx是 由是 由1ln ,(1)xyu ux复合而成的， 而复合而成的， 而10lim(1)exxx， 在， 在eu点点uln连续，故连续，故100ln(1)limlimln(1)xxxxxx 10lnlim(1) lne1xxx 例例 5 5 求求)arccos(lim2xxxx 解解 )arccos(

13、lim2xxxx )(limarccos2xxxx )()(limarccos222xxxxxxxxxx2arccos limxxxxx 321arccos1111limarccosxx. . 定理定理2 2 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值 定定理理 3 3 若若函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ,ba上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号，则则至至少少存存在在一一点点),(ba，使使得得0)(f 定定 理理 4 4 若若 函函 数数)(xf在在 闭闭 区区 间间,ba上上 连连 续续 ， 且且)()(bfaf，为为介介于于)(af与与)(

14、bf之之间间的的任任意意一一个个数数，则则至至少少存存在在一一点点( , )a b ，使使得得( )f 定理定理 3 3 称为根的存在定理从几何上看，如下页左图称为根的存在定理从几何上看，如下页左图所示，连续曲线所示，连续曲线)(xfy 从从x轴下侧的点轴下侧的点 A( (纵坐标纵坐标0)(af) )笔不离纸地画到笔不离纸地画到x轴上侧的点轴上侧的点 B( (纵坐标纵坐标0)(bf时，比与时，比与 x轴至少相交于一点轴至少相交于一点( ,0)C这表明若这表明若方程方程0)(xf，左端的函数，左端的函数)(xf在闭区间在闭区间,ba两个端点处两个端点处的函数值异号，则该方程在开区间的函数值异号，

15、则该方程在开区间),(ba内至少存在一个内至少存在一个根根 三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质O y B b A a C ) ( x f y ( ) b f a f ( ) x B b A a O x y 1 2 3 ) ( a f ) ( b f 例例 6 6 证证明明方方程程01sin xx在在 0与与 之之间间有有实实根根 证证 设设1sin)(xxxf，因为，因为)(xf在在),(内连续，内连续，所以，所以，)(xf在在, 0上也连续， 而上也连续， 而01)(, 01)0(ff, , 所以，据定理所以，据定理 3(3(根的存在定理根的存在定理) )知，至少有一个知，

16、至少有一个(0,) ，使得使得( )0f ，即方程，即方程01sin xx在在 0与与 之间至少有之间至少有一个实根一个实根 思考题思考题1 1. .如如果果)(xf在在0 x处处连连续续，问问)(xf在在 0 x处处是是否否连连续续？ 2 2. .区区间间ba,上上的的连连续续函函数数一一定定存存在在着着最最大大值值与与最最小小值值吗吗？ 作业：作业：p4(补充三、补充三、 极限极限1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00机动 目录

17、 上页 下页 返回 完毕 2. 极限存在准则及极限运算法则3. 无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 5. 求极限的基本方法 例例6. 求下列极限：求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 完毕 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxx