第二节洛必达法则

1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 : 00 洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、 三、小结三、小结 思考题思考题二、二、0,0,0,00 0,1,1,0 0型未定式解法型未定式解法.00 )()(lim )()()()(型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存极限极限大，那末大，那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与时，两个函数时，两个函数或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax一一、 ： 洛比达法则洛比达法则 00型未定式解法型未定式解法型及型及 【定义】【定义】【例如】【例如】,tanlim

2、0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx )00()( .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设【定理【定理1 1】【定义】这种在一定条件下通过分子分母分别求导【定义】这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .【证】【证】 定义辅助函数定义辅助函

3、数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(xaU内任取一点内任取一点在在 , 为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa , )(),(11件件满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 【证完】【证完】使使用用洛洛必必达达法法则则，即即定定理理的的条条件件，可可以以继继续续满满足足型型，且且仍仍属属如如果果 )(),(00

4、)()( )1(xFxfxFxf . , )2(该该法法则则仍仍然然成成立立时时当当 x.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx . , , )3(应的洛必达法则应的洛必达法则也有相也有相时的未定式时的未定式当当 xax（即定理（即定理2）【注】【注】【例【例1】【解】【解】.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原原式式1seclim20 xx . 1 【例【例2】【解】【解】.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23

5、 )00()00(【注意】【注意】（1） 上式中上式中 已不是未定式，已不是未定式，不能再使用洛必达法则，否则导致不能再使用洛必达法则，否则导致错误的结果错误的结果. .266lim1 xxx（2） 由此可见，在使用罗必达法则时应由此可见，在使用罗必达法则时应步步整理、步步判别。如果不是未定式就步步整理、步步判别。如果不是未定式就坚决不能用洛必达法则。坚决不能用洛必达法则。【例【例3】【解】【解】.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 【例【例4】【解】【解】.sinlnsinlnlim0bxaxx 求求axbxbbxaxaxsincos

6、sincoslim0 原原式式. 1 )00()( bxaxxcoscoslim0 【例【例5】【解】【解】.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 00【例【例6】)0 ( lim 为正整数，为正整数，求求nexxnx【解】【解】相继应用洛必达法则相继应用洛必达法则n次，得次，得 xnxxnxenxex 1lim lim xnxexn 0!lim 0 )( 【教材例【教材例5】)0

7、( lnlim nxxnx求求【解】【解】11lim lnlim nxxnxnxxx01lim nxnx)( 【注意】洛必达法则是求未定式极限的一种有效【注意】洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .【例【例7】【解】【解】.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 或或上式上式22031seclimxxx 2203tanlimxxx 313lim220 xxx二、二、0,00,1

8、,0 型未定式解法型未定式解法【例【例8】【解】【解】.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 2limxxe . 【关键】将以上其它类型未定式化为洛必达法则可【关键】将以上其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型解决的类型 ),00()( 【步骤】【步骤】 100100 或或注：以下写法仅是记号注：以下写法仅是记号1. 【0】型】型2limxexx 原原式式 , . 00 【例【例9】【解】【解】).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 【步骤】【步骤】xxxxxsincos

9、2sinlim0 2. 【】型】型 . 00 【说明】【说明】 上式中上式中xxxxxsinsinlim0 可结合等价无穷小可结合等价无穷小代换更简单。先代换，再用洛必达法则代换更简单。先代换，再用洛必达法则)0( sinxxx200sinlimsinsinlimxxxxxxxxx 02sinlim0 xxxxx2cos1lim0 【步骤】【步骤】 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 【例【例10】【解】【解】.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 3. 【00,1,0】 型型

10、幂指函数类幂指函数类【实质】【实质】 先化为复合函数：先化为复合函数：uvveuln 利用复合函数的外层函数的连续性：利用复合函数的外层函数的连续性：极限符号与函数符号交换位置，结合极限符号与函数符号交换位置，结合洛必达法则求极限洛必达法则求极限. .【例【例11】【解】【解】.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1ln lim111 lim1 xxe.1 e【例【例12】【解】【解】.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取对对数数得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1c

11、ot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原原式式【例【例13】【解】【解】.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原原式式).sin1(limxx 极限振荡不存在极限振荡不存在故洛必达法则失效。但故洛必达法则失效。但)cos11(limxxx 原式原式. 1 【注意】洛必达法则的使用条件：充分条件，不必要【注意】洛必达法则的使用条件：充分条件，不必要三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 )00(uvveuln 取对数取对数【思考题】设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(x