振型分解反应

1、§ 2-4振型分解反应谱法大多数结构物都应简化为多质点体系分析。 而振型分解反应谱法是弹性体系地震反应的基本 方法。其基本概念： 假定建筑结构是线弹性多自由度体系； 利用振型分解，变为求解n个独立的等效单自 由度弹性体系的最大地震反应，从而求得每 一振型的作用效应；(D按SRSS或CQC法则进行作用效应组合。 振型分解法只需考虑前几阶振型，减小计算 量。、不考虑扭转影响时结构的地震作 用和作用效应对大多数质量和刚度分布比较均匀和对 称的结构n不需要考虑水平地震作用下的扭 转影响，可在建筑物的两个主轴方向分别考 虑水平地震作用进行验算。1.多自由度弹性体系的运动方程对(al I5l图2

2、-12多自由度弹性体系位移在n质点即n个自由度的弹性体系:(2-24)M为质量矩阵，一般采用集中质量阵形式：(2-25)K刚度矩阵，nXn阶对角矩阵，如果只考虑 层间剪切变形的层间剪切结构K为三对角矩阵C阻尼矩阵C=aM+pK瑞利阻尼形式 (2-26) 其中(X、卩由CD、5、；丨确定； I单位列向量。2多自由度弹性体系的自由振动将式（2-24）略去阻尼项和右端项，振动方程：(2-27)设(2-27)式的解为:季 (2-28)=-cd X0(2-29)其中：x_振动幅值向量即振型，不随时间而变; e 初相角。将式(2-28) > (2-29)代入式(2-27),得:(2-30)为了体系振

3、动,X必须是非零解，贝旅 l-2V=C(2-31)该方程的n个根刃j、亦Aq：即是体系的n个自振频率，一般有：贝怙个自振周期：乌将所求的0 j依次代回(230),可得到与之相 对应的X/,即为振型。一个两自由度体系：体系的自由振动方程为:(即式(2-30)(2-32)(2-33)频率方程(即式(2-31)1 1 可解出00 ；,将之带回(2-32)式式（2-32）是齐次方程组，两个方程线性相关 ? 1二当©，© f代入只能得到各向量之间的比值:第一振型:第二振型:吝1= 瓦2咨2百1车2(2-34a)(2-34b)每一振型的幅值之比都是常数，不随时间而变。3.振型的正交性(

4、1) 振型关于质量矩阵的正交性:其矩阵表达式为：社羽矣j#k (2-35) 式(2-35)是根据功的互等定理推导而来，式中 xj , x分别为体系第j、吃振型的振幅 向量。物理意义:某一振型在振动过程中所引起的惯性力 不在其它振型上作功，说明某一个振型的动能 不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一 振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的 振动。(2) 振型关于刚度矩阵的正交性其矩阵表达式为(由功的互等定理而来):碍C/HQ (2-36)其中巨畫年再根据式(2-35)即可推得。物理意义：该体系按k振型振动引起得弹性恢 复力在j振型位移所作的功之和等于零，也即体 系按某一振型振动时，它的位移不会转移到其 它振型上去。(3) 振型关于阻尼矩阵的正交性令： C=aM+PK则有：碍冷来N(丿工幻(2-26)(2-37)(2-38)当j=k时，j振型的广义阻尼为:例题2-3已知某两个质点的弹性体系（如图）， 其结构参数为:验算质 量矩阵和刚度矩阵的正交性。X«2=1.0X22=1.O(a)(b)(c)图两质点弹性体系的振型（a）两质点弹性体系；（b）第一振型；（c）第二振型质量矩阵和刚度矩阵分别为:2K -K-K K第一振型和第