换元积分法第二类换元法

1、§ 4.2 换元积分法(第二类)I授课题目(章节)：§ 4.2换元积分法(第二类换元 积分法)n教学目的与要求：1. 了解第二类换元法的基本思想2. 掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时 如果函数g(x)可以化为f (x) (x)的形式那么g(x)dx f (x) (x)dx f (x)d (x)u (x) f(u)duF(u) C F (x) C所以第一换元积分法体现了 “凑”的思想把被积函数凑出形如f (x) (x)函数来.

2、对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x(t)将无理函数f (x)的积分 f(x)dx化为有理式f (t)(t)的积分 f (t) (t)dt。即f(x)dx f (t) (t)dt若上面的等式右端的被积函数f (t) (t)有原函数(t)，则 f (t) (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成 1(x)，所以需要一开始的变量代换x(t)有反函数。定理2设x(t)是单调、可导的函数，且(t)0,又设f (t)(t)有原函数(t)，则1f(x)dx f (t) (

3、t)dt (t) C (x) C分析要证明 f(x)dx 1(x) C，只要证明1(x)的导数为f(x),d 1,、, d dtdt(x),?dxdt dxdx证明x (t)单调、可导， x(t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q dx-J-JIA1(x)頁匸f (t)飞f(x)1 (x)是f (x)是一个原函数 f (x)dx-(x)第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有 .a2x2 ( a 0),可令xasint (并约定冷则可将原积分化作三角有理函数的积分例1求 a2x2dx(a0)解令x asintacost dxacostdt.a2x2dxa cost

4、a costdta2 (21-cos2t)dt2at22 asin 2t42at22a sin tcost2a2x x C arcs ina2a 2把sin t， cost用x表示.借助下面的辅助三角形x 2.a x acost， dx acostdx，例2求 .2 dx4 x解令 x 2sint，,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost， dx 2costdt4dt2(2 2cos2t)dt2t si n2t C2t 2sin tcostC 2arcsi n 44x2 C2 2令x3tant，贝U x2 99 sec21,dx23sec tdtd

5、x3sec2t亠12 ,224 dtcos tdt(x9)81sec t271t1t1(1cos2t)dtcos 2tdtcos2td2t545454542 54t1t1sin 2t一sin t costC5425454541x 13xarctanC54354x2 9例5求(分母是二次质因式的平方)类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令 x ata nt并约定t (,)，则2 2-a2asect ；2dx a sec tdt可将原积分化为三角有理函数的积分解令xdx.x2 a2(a 0)ata nt, t2 2a asect， dx a sec tdtdx.22 x asectdtI

6、n sect tantJx2 a2 xC lnx/ 2 2VxaaaInCi.iLd_a2例4求解令X2ta nt(dxx J. 4,)，则2 2dxx2 .4 x22sec t24tan t 2sect1 cost ,2 dt4 sin t-dsi nt sin t.4x221sect42 d tan t11cC1dt414 sin t2dx 2 sec tdt1再dtsin 2t2cos t4 x2Cdx(x2 9)2（第二换兀积分法分）(x 2x 5)22解(x 2x 5)2 2 22 (x 1)，令x 12ta ntt ( i，2)则dx(x2 2x 5)2竽孚dt - (124 se

7、c4116cOs2t)dt £1sin t cost C16丄 arctan16 21 x 18 x2 2x类型3 被积分函数中含有x2(a 0)，当 xa时，可令 xasect，并约定i22，贝U . x a ata nt ,t（0,2）将原积分化为三角有理函数的积分。dxasect tan tdt，当 xa时，可令ux，贝U u a，可dx例6求一dx一i1 22.x a(a0)解 被积函数的定义域为a)(a,当x （a,）时，令xasect, t (0,),2则，x2 a2a tant,dx a sect tantdt 有dxr22 x aa sect tant , dt at

8、a ntsectdtln( secttant) CIn(-aln(xx2a2) G.a）时，令u，贝U u (a,dx、x2 a2du2 2u aln(u u2 a2) C1ln(x x2 a2)C1ln2xa2C1 lnx Jx2 a2 (x 、x2 a2)( x x2 a2)CixJxIn2 2a2 aC1ln(2)(Gln a )ln(x2 a2)C2,a)(a,)时,dx2 .x aIn x 电 x2dxx.X21解 X (1,）时，令x sect,(0,)则、x22tant, dx sect tantdt，有x，则u无论x 1或x 1均有dxx2 , x2du.u2dxx2、x2,1

9、）时，sect tant ,2 dt sec ttantcostdt sin t(1,)有x21dxx2 . x21注意：（1）以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分（2）在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”（3）在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁(a 0)/2 2x、x adx解法一（用第一换元法）dxdxad(-)x1 (a)21aarccosaxa时，令u x则udxdu(u). u2-arccosa C arccos au a两式合并d

10、xr22x i x a1 arccos a解法(第二换元法)(1 )当x a时,asect, t (0,-)贝x x22ata nt, dxasect tan tdtdxa2a sect ta nt lx dta secta tant1 a -arccos- a(2)当 xa时,C.dxxJx2dudua2a2uz2a21arccos- a u1 arccos ax由(1) (2)两种情况可得dxx：x2a21 arccos av 归纳总结1、第二类换元积分法的思想若f (x)dx中的被积函数 f (x)为无理函数，可以选择适当的变量代换(t)，将无理函数f (x)的积分 f (x)dx化为有理式的积分f(t)(t)dt.f (x)dxx(t) f (t) (t)dt(t)1(x) C2、第二类换元积分法适用的被积函数类型类型1 ：被积函数中含有 a2 x2 ( a,可令 xa si nt併约定(加)则类型- a2 x2类型acost ； dx a costdx可将原积分化作三角有理函数的积分2 :被积函数中含有a2asect ； dx a sec2 tdt3 被积分函数中含有t (0,)，则 x2 a2 ata nt , dx将原积分化为三