20122013年理工线性代数考试A卷答案

1、线性代数考试 A卷答案及评分标准得分评阅人填空题（共10小题,每小题2分,共20分）教2012 - 2013学年第一学期线性代数（理科）课程试题课程类别必修V 选修师考试方式填授课教师开卷闭卷V 写考试时间2013年1月日姓名试卷类别（A、B）A 共8页3,则1.已知A,B均为三阶矩阵,且A ( , ), B ( , ), 及| A|2,A 2B 72 .2.设A,B均为三阶矩阵,且A 4, B2, A*为矩阵A的伴随矩阵,则行列式(3B) 1A8271?(A 2E)0,则(A E)5.齐次线性方程组6.设向量组(1,0,1几(2,k, 1)T, y（1,1, 4）t线性相关，则k7.设3阶矩

2、阵A的特征值互不相同，若行列式A0,则矩阵A的秩为丄3.设矩阵A2 1,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA B 2E ,则矩阵1 21 B11、14、设矩阵A满足A2 A 4Ex1 kx2 x302x1 x2 x30只有0解,则k应满足的条件就是kx2 3x308. 设3阶矩阵A的特征值1,2,2,则行列式4A 1 E 39.二次型 f(x1,x2,x3) x； 2x1x2 2x|的规范形就是 yj £ y；10.当 t 满足 0 t 1 时，二次型 f (x1, x2, x3)x2 x； tx； 2tx1x2 为正定注意：将选择的答案填入下表中,填入表外不给分。题号123456789

3、10答案BCAABDCBDC得分评阅人二次型选择题(共10小题,每小题2分,共20分)1、 若a15a42a3ja21ak4就是五阶行列式A的一项(除去符号),则有(B )(A)j3, k5,此项为正(B)j 3, k5,此项为负(C)j5, k3,此项为正(D)以上全不对2. 若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3,它们的余子式分别为2、3、4,则行列式D=( C )(A) -8(B) -20(C) 8(D) 203.已知向量组1, 2, 3线性相关，2,3,4线性无关，则：(A )(A)1必能由2, 3, 4线性表示。(B)2必能由1, 3线性表示。(C)3必能由2, 4线性表示。(

4、D)4必能由1, 2, 3线性表示。4、 设A为m n矩阵,则齐次线性方程组 AX 0仅有零解的充分条件就是(A )、(A) A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C) A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关5、若n阶矩阵A满足R(A) r n ,则下列叙述错误的就是(B )(A) A*的每个列向量都就是 AX 0的解；(B) A中任意r个列向量都线性无关；(C) A中任意多于r个列向量都线性相关；(D) 0就是矩阵A的特征值。6、 已知1, 2, 3为AX b的解，则下列哪一个就是AX 0的解？( D ).(C)首1吉2善3(D)7.已知n阶矩阵A为可逆矩阵，B为nm矩阵,则有(C

5、 )(A) R(A) R(AB)(C)(C)R(B) R(AB)(D)R(B 1) R(AB)R(A 1) R(AB)8.设1f 2就是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为p1f p2,则向量组P1, A(P1 P2)线性无关的充分必要条件就是(B )(A)10、(B)20、(C)10、(D)20、9. 如果n阶方阵A与n阶方阵B相似,则下列结论不正确的就是(D )(A) A与B有相同的特征值(B)A与B有相同的特征方程(C) A与B有相同的行列式(D)A与B有相同的特征矩阵10. 下列矩阵中不能对角化的就是(C )得分评阅人判断题(共10小题,每小题1分,共10分)注意：将选择的答

6、案填入下表中，正确的填“对”，错误的填“错”(对)123000000100(A) 204-(B)012 .(C)100 .(D)200345023023300若A与B就是同阶方阵,贝U A2 B2 (A B)(A B)、似、得分评阅人四、计算题（共4小题,共40分）（错）3. n阶矩阵A满足A2 3A 2E 0,则A 3E可逆、（对）4. 如果向量组ai,a2H，ar线性相关,则每一个向量都能由其余向量线性表示、（错）5. 对于矩阵Am n,齐次线性方程组 Ax 0仅有零解的充要条件就是行向量组线性无关、（错）6. 一个特征向量不能属于不同的特征值、（对）7. 如果n阶矩阵A的行列式A 0,则

7、A至少有一个特征值为零、（对）8. 若矩阵A可逆,则矩阵AB与BA相似、（对）9、 二次型xT Ax经非退化线性变换x Cy后，变为二次型yT By ,则矩阵A与B相错）错）10.设三阶实对称矩阵A的特征值为-1,2,3,则矩阵A就是正定矩阵、1、（本题8分）已知BA 3B C ,其中矩阵A求矩阵B、解：由BA3B得 B(A 3E) C3E0,知 A 3E可逆,得(A 3E) C(A 3E)7030137038分5200015262、（本题8分）求如下向量组的最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示：1231a10 ,a22,a35,a431022解:对矩阵A（

8、a，a2, a3,比）仅施以初等行变换：1分12 3112 311231A02530253025310 2202 5300001 02 2102 20 25 3015/ 2 3/ 25分0 00 0000 0由最后一个矩阵可知：ah,a2为一个极大无关组,且6分as2a15匚a?, a42a13 -a28分22注意:本题亦可能有其它结果。X1X23x313.（本题12分）设方程组X12x24X31 ,问a,b取何值时,线性方程2x12x2(a 3)X3b组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解时 ，求方程组通解? 解：对增广矩阵B （A,b）进行初等行变换：11312几1131B (A,b)

9、1241r3 2r101123 分22a 3b00 a 3 b 2故有:(1)当 a3时，R(A) R(B)3 ,方程组有唯一解。5分当a3且 b2 时，R(A)2, R(B)3,方程组无解。7分当a3且 b2 时，R(A)R(B) 23 ,方程组有无穷多解、9分1 1311023B011201120 0000000x12x33同解方程组1J2X2X3X132c故方程组通解为：X22c(cR)12分X3c4.（本题12分）设矩阵A1 0 1020 ,求正交矩阵P,使P 1AP为对角矩阵、1 0 1解:特征方程为1I E A| 010 12 0 ( 2)2 00 1所以A的特征值为!0,20时,

10、解齐次方程组Ax0得基础解系1（1,0,单位化得10分12分1八迈 c 2、tv八Pii 1 Gr, 0,t）7分当232时，解齐次方程组（A 2E）x 0得基础解系2（0，1, 0）T,3 （1，0, 1）T、向量2, 3已正交,只须将2, 3单位化为p2 , p3即可、r?（0，h 0/, p3（,0, -2）T2 0 二2 2令 P （P1，P2，P3）010，42420220 0 0则有 P 1AP 02 0得分评阅人注意：正交矩阵P亦可能有其它结果1、设向量组1, 2,五、证明题(共2小题,每小题5分，共10分)|,s线性无关,非零向量1, 2,川，s均正交，求证：向量1 , 2，川

11、，s,线性无关、证1：若有k1 1k2 2Hl ksks 1用T左乘上式两边，得k1 1 k2 2s ks1, 2,|,S均正交,得ks 1再由向量非零，知ks 10,代入(1)中，由2|, s线性无关0 0 2得 kik2卅 ks 0因此1, 2,|, s,仍线性无关。5分证2：假设向量组1,2,|, s,线性相关又1, 2,|,s线性无关,则向量 可由向量组1, 2,|, s唯一地线性表示,即存在数kk2,川,ks,使得1 k2用左乘上式两边，得2I"ks s2分T丁 !k2 T 2 III ks T s由于与 1 , 2,|, s均正交,得T04分0,这与为非零向量矛盾、因此1, 2, ,s,仍线性无关。5分2.设1与2就是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为 P1和P2,证明P1 P2不就是矩阵A的特征向量、