《点集拓扑学》§导集,闭集,闭包

1、§2.4 导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念； 区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同； 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件; 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件.如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于 这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理.定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A_X.如果点xX的每一个邻域U中 都有A中异于x的点，即Un（ A-x）工二，则称点x是集合A的一个凝聚点 或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为 A的导集，记作d（A） 如果xA 并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个

2、邻域U使得Un（A-x）=匚，则称x 为A的一个孤立点.即:（牢记）疋/ 0¥卩芒乞刀仃（/ 町）=0在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它 所在的拓扑空间的那个给定的拓扑.因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而 又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆.由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑 的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心.某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念， 但绝不要 以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚

3、点的性质，对一般的拓扑空间 都有效以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象.例241 离散空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集.由于X中的每一个单点集 都是开集，因此如果xX,则X有一个邻域X，使得 匚二匸.-门4，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从 而A的导集是空集，即d (A)二二.例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集.我们分三种情形讨论：第1种情形：A二二.这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d (A)二二.(可以参见定理中第(I )条的证明.)第2种情形：A是一个单点集，令A =如果x X，

4、点x只有惟 一的一个邻域X,这时-:, 所以;因此x是A的一个凝聚点，即x d ( A).然而对于T的惟一邻域X有： 二所以d (A) =X-A.第3种情形：A包含点多于一个.请读者自己证明这时 X中的每一个点都是A的凝聚点，即d (A)= X.定理2.4.1设X是一个拓扑空间，AX.贝U(I ) d (二)=二;(2) A B 蕴涵 d (A) d (B);(3) d (AU B)= d (A)U d ( B);(4) d (d (A) _ AU d ( A).证明 (1)由于对于任何一点x X和点x的任何一个邻域U,有 un '、门 -'(2) 设A_B.如果，二厂:一謂&

5、#39; -：-''二-门这证明了 d( A) _ d( B).(3) 根据(2),因为 A, B_AU B,所以有 d (A), d (B) _ d (AU B),从而 d (A)U d ( B) _ d (AU B)另一方面，如果3UU,3UnA-(x) = 0?rn(5-x) = 0=>Dm Dn(Zu-«) = De(虫-u (B -(x)= (Z?n僅")u(D -(x)y)c (y n(-4- 对)仏)-0.Z)n(j4u5 - x) = 0 n x毎= d(j4uE) <zd(A)<jd(B)综上所述，可见(3)成立.(这是证

6、明一个集合包含于另一个集合的另一方 法:要证_一，只要证即可.)(4) 设：X任 Mu吐& =卩隹 A3UeU. ? ynt-U) = 01兀丸WeU. yeT孑卩匚27=产门(卫一") = 0丫石年盘= 0=5>VyerXn(J -(y) = 0 ve ?/'. VeVy ：.y dA),=萨门出(/) = 0；.Fn(rf(4) -(i) = 0：d(dA) n d(df) cAjd(A)即(4)成立.定义2.4.2 设X是一个拓扑空间，A_X.如果A的每一个凝聚点都属于 A, 即d (A) _A,则称A是拓扑空间X中的一个闭集.例如，根据例241和例中的讨

7、论可见，离散空间中的任何一个子集 都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集.定理242 设X是一个拓扑空间，A_X.则A是一个闭集，当且仅当A的 补集二是一个开集.证明必要性：设 A是一 一个闭集川,今开莅c AAx(3E/et/E/n(J4-U) = 0.UcyA = 0tU QAAfeT充分性：设：A e Tf¥x 隹耳 x e A,A q A = 0,An(A -x) = 0今 xg d(4)即A是一个闭集.例243 实数空间R中作为闭集的区间.设a, b R, avb.闭区间a , b是实数空间R中的一个闭集，因为a , b 的补集庇讨二( -X, a)A( b

8、,x)是一个开集.同理，(-x, a , b , X)都是闭集，(-x, x) = r显然更是一个闭集.然 而开区间(a, b)却不是闭集，因为a是(a, b)的一个凝聚点，但a- (a, b).同 理区间(a, b , a , b),( - x, &)和(b,x)都不是闭集.定理2.4.3 设X是一个拓扑空间.记F为所有闭集构成的族.贝U:(1) X,二 F(2) 如果 A, B F,则 AUBE F(从而如果- -1 -1 -三-)(3) 如果:-：乞八在此定理的第(3)条中，我们特别要求二工：的原因在于当二='-时所涉及的交运算没有定义.证明 根据定理，我们有T=|U F

9、其中，T为X的拓扑.(1)v X,二 T,a -' ' -二；八(2) 若 A、B F,则(3) 令:T,=(AAe玮二T、cTf=>仏AfeT.=门金"门屆昇'(u&討y e f定理证明完成.总结：(i)有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集其余情形不一 疋.(2)有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集其余情形不一定.定义2.4.3设X是一个拓扑空间,A X,集合A与A的导集d(A)的并AU d(A)称为集合A的闭包,记作一或亠容易看出* ' ：'(注意：与x d(A)的区别)定理244拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件

10、是A= <证明：定理成立是因为：集合A为闭集当且仅当d(A) _ A而这又当且仅当A=AJ d(A)定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B X,有:(1) 0=0；虫c A:(3) A u B = ZuSs(4) 7 = A.证明(1)成立是由于二是闭集(2) 成立是根据闭包的定义.(3) 成立是因为=AuBud(A)ud(_B)= (Aud(A)u(B=AuB(4) 成立是因为/ =AU d (A)U d (d (A)=AU d (A) =J在第(3)条和第(4)条的证明过程中我们分别用到了定理241中的第(3)条和第(4)条.定理2.4.6拓扑空间X的任何一个子集A的闭

11、包都是闭集证明根据定理和定理2.4.5 (4)直接推得.定理2.4.7设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族,则对于X的每一个子集A,有久叩ieFJb显即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交.证明 因为A包含于- '',而后者是一个闭集，由定理245(4)与定理 有另一方面，由于是一个闭集，并且-，所以-'=-'-(“交”包含于形成交的任一个成员)综合这两个包含关系，即得所求证的等式.由定理247可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含 A 的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最 小的闭集.在度量空间中，集

12、合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画.定义245 设（X，p ） 一个度量空间.X中的点x到X的非空子集A的距 离p （x, A）定义为p （x，A）= inf p （x，y） |y A根据下确界的性质以及邻域的定义易见：p （x，A）二0当且仅当对于任意实数& >0,存在yA使得p （x，y）< £，换言之即是：对于任意B （x，£ ） 有B （x， £ ） A Am ，而这又等价于：对于 x的任何一个邻域 U有UP Am -， 应用以上讨论立即得到.定理249 设A是度量空间（X, p ）中的一个非空子集则（1） x d （A）当且仅

13、当 p （x，A-x ） =0;（2）x当且仅当p （x，A）= 0.以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了 另外的手段.定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间，f:X -Y则以下条件等价：（I ） f是一个连续映射；（2）丫中的任何一个闭集B的原象/（B）是一个闭集；（3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即 对于丫中的任何一个子集B, B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即 0盼丽.证明 （1）蕴涵（2）.设B_Y是一个闭集则:是一个开集，因此根 据（1）, 心）5册 是X中的一个开集，因此"（B）是X中的一个闭集.（2）蕴涵（3）设A_X.由于f（A）'