一乘法公式与因式分解

1、第一章乘法公式与因式分解§ 1.1乘法公式我们知道：(a b)2 =a2 2ab b2，将公式左边的指数变为3，又有什么结论呢?即(a b)3 =.由于(a b)3 二(a b)2(a b)二(a2 2ab b2)(a b)=a32a2bab2a2b2ab2b3二 a33a2b3ab2b3因此得到和的立方公式(a b)3= a3 3a2b 3ab2 b3将公式中的b全部改为一b，又得到差的立方公式：(a b)3=a3 -3a2b 3ab2 -b3上述两个公式称为完全立方公式，它们可心合写为：(a _ b)3= a3 _ 3a2b 3ab2 _ b3【例 1】化简：(x 1)3 -x(

2、x2 3x 3)【解】原式=x3 3x2 3x 1 -x3 -3x2 -3x = 1由完全立方公式可得 (a b)3 -3a2b -3ab2 = a3 b3,即：(a b)(a b)2 -3ab二 a3 b3由此可得立方和公式：(a b)(a2 _ab b2)二 a3 b3将公式中的b全部改为-b，又得到 立方差公式：(a -b)(a2 ab b2) = a3 -b3数学方法归纳上述得到立方差公式和差的立方公式过程中，使用了将b改变一b的方法,这种方法称为代换法是代数中广泛使用的一种方法应用代换法可扩展公式的形式，拓宽公式的使用范围【例2】对任意实数a,试比较(1-a)(1 a)(1 a a2

3、)(1-a a2)与1的大小.【分析】观察式子(1 -a)(1 a)(1 a a2)(1 - a a2)的结构特征，可联想立方和(差)公式进行化简【解】(1-a)(1 a)(1 a a2)(1a a2) = (1a)(1 a a2)(1 a)(1-a a2)=(1 -a3)(1 a3) =1 -a6因为1 -a6 仁-a6，对任意实数a, -a6 < 0所以(1 -a)(1 a)(1 a a2)(1 - a a2) < 12 2 2通过将完全平方公式(a b) =a 2ab b中的指数2推广到3,我们得到了完全立方公 式，还可以把指数推广到 4, 5,以至一般 (a b)n.另一方

4、面：我们也可以从项数的角度推广：三项和的平方：(a b c)2 二 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca甚至还可以推广到 n项和的平方(在此省略)灵活使用上式，可为代数变形及求值带来方便数学思想方法归纳以上从完全平方公式出发，从两个角度：指数和项数进行了推广，这种思维方法称为由特殊到一般的思想人们对很多问题的认识，往往是先从特殊情况出发，发现一些信息，然后进行一般化，进而发现一般规律.1【例3】已知：a b - 0, ab bc ca，求下列各式的值2(1) a2 b2 c2 ； ( 2) a4 b4 c4.【分析】突破问题的关键在于寻找已知式与未知式的联系，联想三项和的平方公式，可得到(

5、1) 的解法，进而反复操作可推进到(2).【解】(1)由(a b c)2 二a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca可得：a2 b2 c2 = (a b c)2 -2(ab be ca) = 11(2) 由 ab bc ca 二22 2 2 2 2 2 2 1得: (ab ' bc ca) = a b b c c a 2abc(a b ' c)=11所以： a2b2 b2c2 c2a2 =- - 2abc(a b c)=一444, 44, 2, 22、22,2,2222、1而 a bc = (abc)2(a bb cc a )=.【例 4】已知 x2 x-1 =0，求证：(x

6、if=8-6x【证法一】(x 1)3 _(x-1)3 =x3 3x2 3x 1 _(x3 -3x2 3x-1)=6x2 2由已知得：x2 =1-x，故6x22=6(仁x)2=8-6x ,因此：(x 1)3 -(x-1)3 =8-6x【证法二】(x i)3 _(x-1)3 =(x 1 -x 1)(x 1)2 (x 1)(x-1) (x-1)2= 2(x2 2x T x2 -1 x2 -2x 1)=6x2 2以下同证法一.【归纳总结】以上两种证法都用到了整体代换的方法，即x2换为1 -x ；方法二中又把(x，1),(x-1)分别看作一个整体使用立方差公式.这种整体代换的方法常可找到解题的突破口，并

7、使运算简便.【例5】已知x y =1，求x3 y3 3xy的值.【解】x3 y3 3xy = (x y)(x2 -xy y2) 3xy = x2 2xy y2 = (x y)2 = 1.2 .2 2【例6】已知abc式0，且a+b+c=0 ,求王+亠+亠的值bc ca ab【解】W £ = a3 b3 c3 _ (a b)3 c -妙 b)bc ca ab abcabc/ a b c = 0 , a b 二-c ；.上式=(-c)3+c3+3abc=3abc习题 1.1331. 若 a b=8, ab=2，则 a b =()A. 128B.464C.496D.5122. 若 x y

8、0 ,贝U x3 y3()2 2 2 2 2 2A. 0B. x y y z z x C. x y z D. 3xyz133 i3设AN n 丄，B= n ，厶飞，对于任意n > 0,则A, B的大小关系为 ()nnA . A> BB. A>B C . A< BD .不一定24 . (5 -x)(25 5x x )二.5. 观察下列各式的规律：(a -b)(a b)二a2 -b2(a _b)(a2 ab b2) =a3 _b3(a _b)(a3 a2b ab2 b3) =a4 -b4可得至卩(a _b)(an anb 亠亠abnJL bn)二.6. 求函数y =(x -

9、2)3 -x3的最大值.7. 当X=3.3时，求代数式 2x丄 4x2-2,4 的值x IX 丿 X8已知a、b、c 为非零实数，(a2 b2 c2)(x2 y2 z2) =(ax by cz)2,求证：x y z a b c.2 29. 如果 x ' 3y =7,3x -5y = 11，求 4x -4xy y 的值.10 .已知 2(b -c)2 =(a -b)(c - a)且 a = 0，求 的值4a§ 1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形因式分解在将来学习解方程、解不等式、判断代数式的符号等问题中都要用到多项式的因

10、式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，是我们解决许多数学问题的有力工具.主要的方法有 、和.把一个多项式因式分解，如果多项式的各项有公因式，就先提取公因式，公因式可以是 数、单项式，也可以是多项式；比如：把(x - y十一 (x -z lx - y fn + 2(y - x fn(y - z)分 解因式为；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或用十字相乘法分解；比如：把(a2 +b2 2 -4a2b2分解因式为、把a2 -3ab-4b2分解因式为 ；常用的公式有：2 2 2 2(1) a -b =.(2) a 士 2ab b =.(3) a3+b3=.(4) a3-b3=.2 2 2(5)

11、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca =.333(6 ) a b c - 3abc = .( 7 )322. 3a ±3a b +3ab ±b =.如果还不能分解，就试用分组分解法或其他方法，比如：添项法、拆项法、待定系数法、换元法等等；添、拆项法是在分解因式时，常要对多项式进行适当的变形， 使其能分组分解.添 项和拆项是两种重要的变形技巧，所谓添项，就是在要分解的多项式中加上仅仅符号相反的两项的和(实际上是加上 0，并不改变原多项式的值)，如把a4 4添上4a2 (-4a2)，得 ,从而可将原多项式分解因式.拆项是把多项式中某一项拆成两 项或多项的代数和(相当于整式

12、加法中合并同类项的逆运算)，再通过适当分组，达到分解因式的目的；换元法是对有些复杂的多项式，如果把其中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可使原式得到简化，而且能使式子的特点更加明显.这样先进 行换元，再将含“新字母”的多项式分解因式，最后将“新字母”用原换的式子代回去，得 到原多项式的因式分解结果，这种方法就是因式分解中的换元法，或者说是换元法在因式分解中的应用；待定系数法 就是有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式.如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积.于是，

13、我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程(组)，进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法我们已学习过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法.下面我们继续学习一些分解因式的方法：十字相乘法、分组分解法、求根法及待定系数法.十字相乘法我们知道，形如x2 (p q)x pq的二次三项式，它的特1 、P点是二次项系数是 1,常数项pq与一次项系数p + q可以通过如；-/图的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到2 x (p q)x pq = (x - p)(x q).这种方法能否推广呢?如果要对2x2 -7x 3分解因式，我们把二次项系数 2

14、分解为1X 2,把常数项3分解成1X 3或(一1)X( 3),按下列图的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算 可以发现图中第四个对应的结果1 x( 1) +2 X(-3)=乙 恰好等于一次项系数3127.由于(x-3)(2 x-1) = 2x -7x 3，从而2十字相乘法.2x -7x 3 = (x -3)(2x -1).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做 形如ax2 bx c (a =0)的多项式分解因式：方法及原理:2若：ax bx c 二(x G)(a2x c2)a'.ga2C2通常借助十字交叉：a c2 +a2 g =b【例1】将下列各式分解因式:

15、2(1) 2x x -3 ；2(2) -6 a 7a 5【分析】X 3 和 1X( 3),(1) 把二次项系数2分解为1 X 2，常数项3有两种分解：(1) 然后按十字辅助线凑配验证可得.(2) 当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种2 2可能性就会更多.因此先把负号提到括号外面，即-6a7a，5 = -(6a -7a-5)，然后再2对6a -7a -5进行分解.【解】2(1) 2xx -3=(x -1)(2x 3)(2) -6a2 7a 5= -(2a 1)(3a -5)【例2】分解因式：(x2 -x)2 _(x2 -X)-2【分析】先将X2 -X视为一个整体

16、，通过两次十字相乘法得到解决【解】(x2 -X)2 -(X2 -X)-2= (x2 -x-2)(x2 -X 1) = (x -2)(x 1)(x2 -x 1)【归纳总结】使用“十字相乘法”关键要进行“凑配”，即要调整二次项系数、常数项的分解方式和十字线上各数的位置它的原理是多项式乘法的法则 .关于凑配的技巧有调整符号，调整大小等，需在实践中体会提高：有些二次三项式中含有两个或三个字母，这样的式子又怎样分解呢？【例3】分解因式：x2 (a a2)x a3【例4】分解因式：x2 -5xy 6y2【例5】分解因式：(n 1)x2 xy ny2分组分解法观察多项式xm xn ym yn，它的各项并没有

17、公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式观察多项式各项，前两项有公因式x，后两项有公因式y,分别提取后得到 x(m+ n)+y(m+ n) 这时又有了公因式(m+n)，因此能把多项式 xm + x n+ym+y n分解： 分解过程为：xm xn ym yn = x(m n) + y(m n)= (m n)(x y) 一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式【例1】将下列各式分解因式(1) x3-x2 x-1( 2) x2 4(xy-1) 4y2【解】(1)

18、解法一：X3 -X2 x-1 = (x3 -X2) (x-1)=(x-1)(x2 1)解法二：x3 -X2 x -1 = (x3 x) -(x2 1) = (x2 1)(x T)(2) x2 4(xy-1) 4y2 =x2 4xy 4y2 -4 =(x 2y)2 -4=(x 2y 2)(x 2y -2)【注】本题第(2)小题的解法是先分组，再用公式法分解因式先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性【例 2】已知 x3 - 2x2 y -xy2 2y3 = 0,x y 0 ,化简：xz -2yz 1【解】x3-2x2y-xy2 2y3 =x

19、2(x-2y)-y2(x-2y) =(x y)(x-y)(x-2y) x y . 0 x y = 0, x - y = 0，即只有 x - 2y = 0 xz2yz 仁 z(x2y) 1 =1.求根分解法结论一：若已知关于x的二次方程ax2 bx 0(a = 0)的两个实数根为 x1,x2，则关于x的二次三项式可分解为：ax2 bx c二a(x - xj(x-x2)(a = 0).结论二：若方程anxn - an4xn4 a1x a0有一个根为x0，则多项式：anXn - an 4xn'亠 qxa0 有一个因式为(x_x°).用以上方法可对一些较复杂的因式进行分解.【例1】在

20、实数范围内分解因式：2 2 2(1) x 2x -1 ； (2) x 4xy4y .【例2】分解因式：x3 3x -4.添、拆项法【例1】 分解因式a4 ' 4b4 (添项)分析：a4 +4b4是二项式，无法直接分解，若添上这一项后，就成了(a2+2b2f,为保持式子的恒等， 需要减去这时式子正好符合 公式，因此达到因式分解的目的.解：a4 4b4 = a4 4a2b2 4b4 -4a2b2 二(a2 2b2)2 -4a2b2-(a2 2ab 2b2)(a2 -2ab 2b2)【例2】 分解因式x4亠x3 -3x2 - 4x - 4 (拆项)分析：当最高项的次数是偶次时，往往通过拆项(

21、或添项)进行配方，本题把-3x2拆成，然后再分组，就可利用 、进行分解.解：x4x3-3x2 -4x -4 = x4 x3 -2x2 -x2 - 4x - 4= x2 x2x - 2 j x24x 4223232=x x 2 x -1 - x 2 i hx 2 x - x - x - 2 i=x 2 x-1-x-x-12=x 2 x x 1 x-2或者 x4x3_3x24x4= x4x3x24x24x4 = x2x2x 1 ：；4x2x 12 2 2二 x x 1 x4 = x 2 x x 1 x2 .【例2】分解因式：x3 - 3x -4.【解】：x3+x4x申g 3勻(吠13今点Q xx

22、2【方法总结】在因式分解中，我们有时根据需要，也可能添上仅符号不同的两项，使它 能够使用公式法或提取公因式法继续分解.拆项分组分解法的灵活性较大，解法往往不唯一，分解时要根据题目的具体特点，选择简捷的分解方法.待定系数法【例题1】 分解因式：x3 -4x22x1.分析：对于一个三次多项式， 它首先可以分解成一个一次式与一个二次式的乘积.待定系数法实际是假设多项式分解后， 通过整式的乘法，利用代数式相等的因素来建立方程， 解这个 方程，从而找到相应的参数.解：令原式=x a x2 bx c = x3 a b x2ab c x ac,a b _ -4a - -1* ab +c =2 解得b = -

23、3，所以 x3 -4x2 +2x +1 = (x -1 )(x2 -3x -1).j ac =12 = _1【例题2】分解因式：x2亠2xy -8y2亠2x T4y - 3.分析：本题是一个二次多项式， 它只能分解成两个一次多项式的乘积，同时要考虑到式子中有两个字母.解：2 2设原式=x ay b x cy d = x、a c xy acy 亠ad be y 亠b d x bd ,'a +c =2ac - -8所以：= ad + be = 14，解得：a=4、b = 1、c = 2、d = 3 .b +d =2bd 一3原式=x 4y -1 x -2y 3 .说明：本题采用待定系数法，

24、计算量比较大，还可以采用双十字相乘法，计算比较简单.因为 x2 2xy -8y2 = x 4y x -2y，所以有：张+1卽十幼=2时14y原式=x 4y -1 x-2y 3 .【方法总结】待定系数法体现了整式乘法与因式分解之间的相互关系，为我们解决高次多项式的因式分解问题提供了有效的方法.这个方法中，建立的方程组不能按照一般的方法去解，我们只需求它的整数解.整理思想的应用整体思想是中学数学中的一种重要的数学思想，在因式分解中常体现这一思想.【例题 1 】分解因式：a x y -z?-b(z -x -y) -c x -z y .分析：在用提公因式法分解因式时要注意整体思想的运用，本例题就是把

25、xy-z这一整体作为公因式提出.解：原式=x，y-z a，b-c .【例题2】分解因式：(ca 24(ab b c).分析：设 a_b = x , b_c = y 得 a_b = x_y .2 2 2原式=x -4x-yy=x-2y = a-2bc .说明：通过“整体换元”分解因式简单明了.【方法总结】整体思想主要体现在下面几个方面：“提”整体、“当”整体、“凑”整体、“拆”整体、“换”整体请同学们对照看一看，上面的两个例题和三个练习题分别是哪种 情况？习题1.22 21对多项式4x ，2x-y-y用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()2 2 2 2A、(4x2x)-(y y)B、4x (

26、2x-y-y)2 2 2 2C、(4x -y ) (2x - y)D、(4x - y) (2x - y )22、要使二次三项式 x -6x m在整数范围内可分解，m为正整数，那么 m的取值可以有()A、2个B、3个C、5个D、6个2 23、把多项式2ab，1 -a -b分解因式，结果是:()A、(a b -1)(b -a 1)B、(a -b 1)(b -a 1)C、(a b -1)(a -b 1)D、(a -b 1)(a -b -1)4、 m4+m2+1=m4 十_m2+1 = (m2 十_)(m2 _)5、将下列各式分解因式：2 2 2(1) 4x -X-3 ；(2) 3x 2ax-a .6

27、、将下列各式分解因式：3 32222(1) x-y-xy xy；(2) 2a -b ab-2a b7、 已知 m = x - y, n = xy,试用 m, n 表示(x3 y3)232328、当x = -1时，x 2x -5x-6=0 请根据这一事实，将 x 2x -5x-6分解因式提高部分:1将下列各式分解因式：2(1) x -ax a -1 ；2 2(2) x -2mx - m -1 ；(3) X2 一1(4) a3 b3 c3 -3abc.2 22.若 M =3x -8xy 9y -4x 6y 13(x、y 是实数)，则 M 的值一定是()A.正数 B .负数 C .零D .非负数3分

28、解因式 x42011x22010x 2011 .4.分解因式：x4 -13x2 435分解因式：m -4m - 36. 分解因式：2x2 3xy-9y2 14x-3y 20.4 327分解因式：x -x x 2 .&分解因式：4(a 2b 2 9(2a+b)2.9. 分解因式：abc2 d2 red a2 b2 .10. 分解因式：x2 x4 x6 x8 16.第一章测试题(注：满分100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题共 6小题，每小题5分，共30分)2 21 多项式-3y -2yx - x分解因式的结果是()A、一(y x)(3 y x)B、(x y)(x -3y)C、-(y

29、-x)(3y-x)D、(x y)(3x-y)33222若 a -b =3a b -3ab 1,其中 a, b 为实数，则 a-b=()A、0B、一 1C、1D、土 13. 若多项式2x2 7x m分解因式的结果中有因式x + 3,则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A、2x 1B、2x + 1C、x + 1D、x 14 .若 a = 3，贝 ya $ A4 =()aa a aA、 7B、 25C、 47D、 725. 多项式4x2-2xy-y2分解因式的结果是()A、(2x y)(2 x - y)B、(2 x y)(2 xy)C、(1x y)(4 - x - y)D、(1 - x y)(4

30、 xy)2 2 26. 若 x - y -z = 3, yz -xy -xz = 3，贝U x y z =()A、0B、3C、9D、一 1二、填空题(本题有 3小题，每小题8分，共24分)7. 若 8x3 12x2y2 6xy4 y6可分解为 (2x ym)3，贝H m = .2&若关于x的二次三项式ax ，3x-9的两个因式的和为 3x,则a =9. X2+4 = (+x+)(+x_).x x xx三、解答题(本题有 3小题，第10, 11题各15分，第12题16分，共46分)32310 .分解因式：(1) x -5x6x ； (2) 4m ，m-1.2543211 .已知 xx1 = 0 ,求 xx3x 3x x 的值.2 2 212.已知 a -9x2 6xy .1，求证：八 6x.(a+3x) (ay+3xy)答案: 习题1. 11. B 2. D.3. A .4. 125 x .5 a- b .6. 2.7. 24.2 2 2 2 22>22>22&g