《直线面所成的角与面角》同步练习

1、2013年同步练习一、填空题1. （3分）在边长为 a的正 ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二面角 B - AD - C后，BC= a,这时二面角 B2-AD - C的大小为（）2. （ 3分）（2008?四川）设直线I?平面a,过平面a外一点A与I, a都成30°角的直线有且只有（）3. （3分）（2009?浙江）在三棱柱 ABC - A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BBiClC所成角的大小是（）4. （ 3分）如图，正三棱锥 A - BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上.并且翌疋二1 （ 0< X< + ,设a

2、为EB_FD异面直线EF与AC所成的角，B为异面直线EF与BD所成的角，贝U a+B的值是（）a丄平面 3, A a, B ® AB与两平面(X、3所成的角分别为:和二过A、B分别作两平5. （ 3分）如图，平面A '、 B '，贝U AB : A 'B '=(6. （3分）（2009?四川）如图所示，已知正三棱柱ABC - AiBiCi的各条棱长都相等， M是侧棱CCi的中点，则异面直线ABi和BM所成的角的大小是 .7. （3分）有一个角为30°的三角板，斜边放在桌面内，三角板与桌面成30°的二面角，则三角板最短边所在的直线与桌

3、面所成的角的正弦值为 .&（ 3分）二面角a-I - 3的平面角为i20。，在面a内，AB丄I于B, AB=2在平面3内，CD丄I于D, CD=3 , BD=i , M是棱I上的一个动点，则 AM+CM的最小值为 _一 .二、解答题9.如图，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，二 看厂AF=1 , M是线段EF的中点.(1) 求证AM /平面BDE ;(2) 试在线段AC上确定一点P,使得PF与CD所成的角是60°10. (2009?西城区一模)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，/ BCD=90。又AB=BC=PC=1 , PB= 爲

4、CD=2 , AB 丄 PC.(I)求证：PC丄平面ABCD ;(H)求PA与平面ABCD所成角的大小;(川)求二面角 B- PD- C的大小.11.如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB丄AC , D、E分别为AA 1、BiC的中点，DE丄平面BCC1.(I) 证明：AB=AC ;(II) 设二面角A - BD - C为60°求B1C与平面BCD所成的角的大小.AtG2013年同步练习参考答案与试题解析一、填空题1. （3分）在边长为 a的正 ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二面角 B - AD - C后，BC= a,这时二面角 B2-AD - C的大小为（）A .

5、30°B. 45°C. 60°D. 90°考点：二面角的平面角及求法.专题：空间角.分析： 在边长为a的正 ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二面角B - AD - C,由定义知，/ BDC为所求二面 角的平面角，由此可求二面角B - AD - C的大小.解答： 解：在边长为a的正 ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二面角B - AD - C,由定义知，/ BDC为所求 二面角的平面角，又BC=BD=DC=BDC为等边三角形，2/ BDC=60 °,故选C.点评：本题考查二面角大小的计算，考查图形的翻折，正确找出二面角的平面角是关键.2.

6、（ 3分）（2008?四川）设直线I?平面a,过平面a外一点A与I, a都成30°角的直线有且只有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条考点：空间中直线与平面之间的位置关系.分析：利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果.解答： 解：如图，和 a成30°角的直线一定是以 A为顶点的圆锥的母线所在直线，当/ABC= / ACB=30 °直线AC , AB都满足条件故选B .点评：此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性; 数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；3. （3分）（2009?浙江）在三棱柱 ABC -

7、AlBlCl中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BBiClC的中心，则AD与平面BBiClC所成角的大小是（）A . 30°B. 45°C. 60°D. 90°考点：空间中直线与平面之间的位置关系.专题：计算题.分析：本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为 E,贝U DE丄底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BBiClC上投影，则/ ADE即为所求线面夹角，解三角形 即可求解.解答：解：如图，取 BC中点E，连接DE、AE、AD ,依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE丄平面BB1C1C，故/ ADE

8、为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1，则AE二亠-；,21AE 2 _ rDE= , tan/ ADE= - “ 二 二:2/ ADE=60故选Cfi点评：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系.（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造-作出或找到斜线与射影所成的角；设定-论证所作或找到的角为所求的角；计算-常用解三角形的方法求角；结论-点明斜线和平面所成的角的值.AF CF4. （ 3分）如图，正三棱锥 A - BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上.并且 詈晋二X （ 0V入V + ）,设a为异EB FD面直线EF与AC所成的角，B为异面直线E

9、F与BD所成的角，则 a+B的值是（）A .兀B. _3C. _2D .与入的值有关考点：丿异面直线及其所成的角.专题：1计算题.分析：:先证明正三棱锥的对棱 AC 与 BD垂直，此结论由线面垂直得来， 再由异面直线所成的角的定义，在冋一平面内找到a与3,最后在三角形中发现 a+=，从而做出正确选择.2解答：彳解：如图，取线段 BC上一点H，使二-，取BD中点0,连接AO , COHB'正三棱锥 A - BCD中每个侧面均为等腰三角形，底面 BCD为正三角形， BD丄AO , BD丄CO ,/ AO nCO=O , BD 丄平面 AOC , AC ?平面 AOC BD 丄 AC ： .

10、-丨丨，., EH / AC,：,1. , HF / BDEBHBFDHB/ HEF就是异面直线EF与AC所成的角，/ HFE就是异面直线 EF与BD所成的角，/ EHF就是异面 直线BD与AC所成的角， a= / HEF, 3= / HFE , / EHF=90 ° a+ 3,2故选C点评：本题考察了异面直线所成的角的作法和算法，正三棱锥的性质，解题时要认真体会将空间问题转化为平面问题的过程5-（3分）如图，平面a丄平面"A “ B邙AB与两平面所成的角分别为号和牛过A、B分别作两平 面交线的垂线，垂足为 A'、B',贝U AB : A'B'

11、;=（）A . 2: 1B. 3: 1C. 3: 2D . 4: 3考点：平面与平面垂直的性质.专题：计算题.分析：设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值.解答:TT解答 解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面a所成的角为；,在Rt BAB'中有AB'=£a，同理可得AB与平面B所成的角为 ZABA7 =, 2 6所以，丄因此在 Rt AA'B'中 A'B'=2所以 AB : A'B'=门；_ ；_ ,2故选A.点评：本题主要考查直线与平面所成的角以及线

12、面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系有 一定的难度二、填空题6. （3分）（2009?四川）如图所示，已知正三棱柱 ABC - AiBiCi的各条棱长都相等， M是侧棱CCi的中点，则异 面直线AB i和BM所成的角的大小是90° .考点：异面直线及其所成的角.专题：计算题；压轴题.分析： 由题意设棱长为 a,补正三棱柱 ABC - A2B2C2,构造直角三角形 A2BM，解直角三角形求出 BM，利用勾 股定理求出A2M，从而求解.解答： 解：设棱长为a,补正三棱柱 ABC - A2B2C2 （如图）.MBA 2即为ABi与BM所成的角,平移AB i至A2B，连接A2

13、M，/在厶A2BM 中，A2B=Qa, BM=八，Bl点评：此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做.7. （3分）有一个角为30°的三角板，斜边放在桌面内，三角板与桌面成30 °勺二面角，则三角板最短边所在的直线与桌面所成的角的正弦值为考点：二面角的平面角及求法.专题：空间角.分析： 过C作CD丄平面 a过D作DE丄AB于E，连接CE，则/CED为二面角的平面角， / CBD为CB与平面a所成的角，利用三角函数，可求其正弦值.解答： 解：如图，过 C作CD丄平面a,过D作DE丄AB于E,连接CE,则/ CED为二面角的平面角，/ CBD

14、 为CB与平面a所成的角.设 BC=a，则 AB=2a , AC=二a,所以 CE=a,2在 Rt CDE 中,在 Rt CDB 中,CD=a,4sin/ CBD=-：CB 4故答案为：A2M=3 L晅 厂 V = a，.A222A2B +BM =A2M ,/ MBA 2=90 °故答案为90°At点评：本题考查二面角的平面角，考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出空间角是关键.&（ 3分）二面角a-l 的平面角为120 °在面a内，AB丄I于B, AB=2在平面B内，CD丄I于D, CD=3 , BD=1 , M是棱I上的一个动点，则 AM+CM的最小

15、值为考点：点、线、面间的距离计算.专题：计算题.分析：要求出AM+CM的最小值，可将空间问题转化成平面问题，将二面角展开成平面中在BD上找一点使AM+CM 即可，而当 A、M、C在一条直线时 AM+CM 的最小值，从而求出对角线的长即可.解答：解：将二面角 a- I - B平摊开来，即为图形当A、M、C在一条直线时 AM+CM的最小值，最小值即为对角线 AC而 AE=5 , EC=1 故 AC= "T 故答案为：亍点评：本题主要考查了平面的翻折问题，同时考查了将空间问题转化成平面问题的能力，属于中档题.三、解答题9. （2010?烟台一模）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的

16、平面互相垂直，匚 .：,AF=1 , M是线段EF的中点.（1）求证AM /平面BDE ;（2）试在线段AC上确定一点P,使得PF与CD所成的角是60°考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定.专题：空间角；空间向量及应用.分析：（1）由题意建立空间直角坐标系，利用向量平行得到线线平行，从而说明线面平行；（2）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60 °得到向量丽与所成的角的余弦值的绝对值等于 ，由此可求得P点的坐标.2解答：（1）证明：如图建立空间直角坐标系.设 AC ABD=N ,连结NE，则ilE (0, 0, 1).门-一 二又f G丄山

17、，”3 ，17. I'.- '",且NE与AM不共线, NE / AM，又 NE?平面 BDE , AM ?平面 BDE , AM /平面 BDE .(2)设 P (t, t, 0)i 二.1 ,则亠二.一 ”. . ,|=冷：'V又 I与|所成的角为60° _1(V2t)2+2+l*V2 豆解之得一.二或二（舍去），故点P为AC的中点时满足题意.本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与直线所成角的求法，解答的关键是建立正确的右手系, 利用向量证明线面平行时，最后要回归到直线与平面平行，是中档题.10. （2009?西城区一模）如图，在四棱锥 P

18、-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，/ BCD=90。又AB=BC=PC=1 , PB= :, CD=2 , AB 丄 PC.（I）求证：PC丄平面 ABCD ;（n）求PA与平面ABCD所成角的大小；（川）求二面角 B- PD- C的大小.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题.专题：1计算题；证明题；综合题.分析：2 2 2（I）由 BC2+PC2=PB2,得 PC 丄 BC,再由 AB 丄 PC,得 PC 丄平面 ABCD .（n）先找或作出角，再求解，由（I）知PC丄平面ABCD，则/ PAC为PA与平面ABCD所成的角.（川）在图中不存在，同作

19、出角来，/CMB为二面角B - PD - C的平面角，求解时放在 CMB中.解答： 解：(I)证明：在 PBC 中，BC=PC=1 , PB= :,2 2 2- BC +PC =PB ,/ PCB=90 ° 即 PC丄 BC ,/ AB 丄 PC, AB ABC=B , PC丄平面ABCD .（n）如图，连接 AC,由（I）知 PC丄平面ABCD AC为PA在平面 ABCD内的射影，/ PAC为PA与平面ABCD所成的角.在厶ABC 中，/ ABC=90 ° AB=BC=1 ,在 PAC 中，_ 二“【：:?- 黔, PA与平面ABCD所成角的大小为 二.十十2(川)由(I)知 PC丄BC ,又 BC 丄 CD, PCnCD=C , BC丄平面PCD .如图，过 C作CM丄D于M，连接BM , CM是BM在平面PCD内的射影， BM 丄PD,/ CMB为二面角 B - PD - C的平面角.在厶 PCD 中，/ PCD=90 ° PC=1 , CD=2 ,又 CM 丄 PD, PD?CM=PC?CD , 6举畧 在厶CMB 中，/ BCM=90 ° BC=1 , CH=，5二面角B - PD - C的大小为 二.十二211. 如图，直三棱柱 ABC -