数值分析试题及答案汇总

1、数值分析试题一、 填空题（ 2 0× 2）1.322 设 x=是精确值 x*= 的近似值，则 x 有 2位A1, X23有效数字。2.若 f(x)=x7 x3 1 ， 则 f20,21,22,23,24,25,26,27= 1，f2 0,21,22,23,24,25,26,27,28=0。3.设， A_5_， X_3_，AX_15_ _。4.非线性方程 f(x)=0 的迭代函数 x= (x)在有解区间满足| (x)| <1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5. 区间 a,b上的三次样条插值函数 S(x)在a,b 上具有直到 2 阶的连续导数。6. 当插值节点为等距分

2、布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。7.拉格朗日插值公式中 f(xnai ( x)1；所以当)的系数 a (x)的特点是：iii0系数 ai (x)满足ai(x)>1，计算时不会放大 f(xi)的误差。8.要使20 的近似值的相对误差小于 %，至少要取4位有效数字。9. 对任意初始向量 X(0)及任意向量 g，线性方程组的迭代公式 x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1, )收敛于方程组的精确解 x* 的充分必要条件是(B

3、)<1。10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x012y=f(x)-2-1211.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1, ,n)来实现的，其中的残差r i (bi-ai1 x1-ai2x2- -ainxn)/aii，(i=0,1, ,n)。13.在非线性方程 f(x)=0 使用各种切线法迭代求解时， 若在迭代区间存在唯一解， 且 f(x)的二阶导数不变号，则初始点 x0 的选取依据为f(x0)f”。(x0)>014. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断

4、题（ 10×1）1、 若 A 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 AX b 一定可以使用高斯消元法求解。 (× )2、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 x* 附近是平方收敛的。()3、 若 A 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式naiiaij (i 1,2,., n)j1ji则解线性方程组 AXb 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。(× )4、 样条插值一种分段插值。()5、 如果插值结点相同， 在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、 解线性方程

5、组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。(×)8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(× )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)三、计算题（ 5× 10）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1x2x345x14 x23x3122x1x2x311解答：（1，5，2）最大元 5 在第二行，交换第一与第二行：5x14 x23x312x1x2x342x1x2x311L 21=1/5=

6、,l 31=2/5= 方程化为：5 x14x23x3120.2x20.4 x31.62.6x20.2x315.8（,）最大元在第三行，交换第二与第三行：5 x14x23x3122.6x20.2x315.80.2x20.4 x31.6L32=, 方程化为：5 x14 x23x 3122.6x 20.2x315.80.38462x30.38466回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P (x)，并写4出其截断误差的表达式 (设 f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f (xi )

7、15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1F+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛， 写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由。2x1x2x41x1x35 x46x 24x3x48x13 x2x 33解答：交换第二和

8、第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：2x1x 2x 41x13x 2x 33x 24 x 3x48x1x 35 x46雅克比迭代公式：2x1x 2x 41x13x 2x 33x 24 x 3x48x1x 35 x46计算机数学基础 (2)数值分析试题一、单项选择题 (每小题 3 分，共15 分)1.已知准确值x* 与其有 t 位有效数字的近似值ns(a10)的绝对误差* x ()x a × 10x(A)×10s 1 t(B) × 10st(C) × 10s1 t(D)× 10st2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()2100521012101

9、410(A)121，(B)14101001200125210421114211410(C)141(D)14122001213153. 过 (0，1) ，(2， 4)， (3， 1)点的分段线性插值函数P(x)=()(A)3 x 10x 2(B)3 x 10 x 2223x102x33x 2102x 330x2310 x2(C)x 1(D)x223x102x3x42x34.等距二点的求导公式是()f ( xk )(A)f ( xk 1 ) f ( xk )(C)f ( xk 1 )1 ( ykyk 1 )f (xk )1 ( ykyk 1 )h(B)h1 ( yk1 ( ykyk 1 )f (x

10、k 1 )yk 1 )hh1 ( ykyk 1 )h(D)1 ( yk 1 yk )h5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是yk 11( y p yc )2那么 yp,yc 分别为 ()y pykhf (xk , yk )(B)y pykhf (xk 1 , yk )(A)ykhf (xk 1 , yk )ycykhf ( xk , y p )ycy pykf ( xk , yk )y pykhf ( xk , yk )(C)ykf ( xk , yp )(D)ykhf ( xk 1 , y p )ycyc二、填空题(每小题 3 分，共15 分)6. 设近似值x1,x2 满足

11、(x1 )=， ( x2)=，那么 (x1x2)=7.三次样条函数 S(x)满足： S(x) 在区间 a,b内二阶连续可导， S(xk)=yk(已知 )，k=0,1,2, ,n，且满足 S(x)在每个子区间 xk,xk+1 上是bnn8.牛顿科茨求积公式f ( x) dxAk f ( xk ) ，则Ak .ak 0k09.解方程 f(x)=0 的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值： y k 1ykhf ( xk , yk ) ，校正值： yk+1=三、计算题 (每小题 15 分

12、，共 60 分 )11. 用简单迭代法求线性方程组8x13x22x3204 x111x2x3336x13x212x336的 X(3)取初始值 (0,0,0) T，计算过程保留4 位小数12. 已知函数值f(0)=6 ， f(1)=10 ， f(3)=46 ， f(4)=82 ，f(6)=212 ，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6) 和二阶均差f(4，1， 3)313.将积分区间8 等分，用梯形求积公式计算定积分1x 2 dx ，计算过程保留4 位小数114. 用牛顿法求115 的近似值，取x=10 或 11 为初始值，计算过程保留4 位小数四、证明题 (本题 10 分 )15. 证明求常

13、微分方程初值问题yf ( x, y)y( x0 )y0在等距节点a=x0<x1<<xn=b 处的数值解近似值的梯形公式为hy(xk+1) yk+1=yk+f(xk,yk)+f( xk+1,yk+1)2其中 h=xk+1 xk(k=0,1,2,n 1)计算机数学基础 (2)数值分析试题答案一、单项选择题 (每小题 3 分，共15 分)1. A2. B3. A4. B5. D二、填空题(每小题 3 分，共 15 分 )6. x+ x17.3 次多项式28. b a9.(x) r<110. yk+ h f (xk , yk ) f ( xk 1 , y k 1 ) hf(xk

14、 1, y k 1 ) 2三、计算题 (每小题 15 分，共 60 分 )11. 写出迭代格式x1( k1)0 0.375x2(k )0.25x3(k )2.5x2( k1)0.363 6x1( k)00.090 9x3(k )3x3( k1)0.5x1( k )0.25x2(k)03X(0)=(0,0,0) T.x1(1)00.37500.2502.52.5x2(1)0.363 6000.090 9033x3(1)0.500.250033得到 X(1)， 3， 3)Tx1( 2)00.37530.2532.52.875x2(2)0.363 62.500.090 9332.363 7x3(2)

15、0.52.50.253031.000 0得到 X(2)=， 7， 0)Tx1( 3)00.3752.363 70.2512.53.136 4x2(3)0.363 62.87500.090 9132.045 6x3(3)0.52.8750.252.363 7030.971 6得到 X(3)= 4， 6， 6)T.12. 计算均差列给出xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4, 1, 3)=613. f(x)= 1 x2,h=0.25 分点 x =， x =， x=，

16、x=，x=， x=， x =， x =， x =.20123456788函数值： f= 2， f= 8， f= 8， f= 6， f= 1， f= 2， f= 6， f= 2，f= 33h f ( x0 )f (x)dx122( f ( x1 )f (x8 )f ( x2 )f ( x3 )f ( x4 )f ( x5 )f ( x6 )f ( x7 )(9 分 )= 0.25 × 2+ 3+2 × 8+ 8+ 62+ 1+ 2+ 6+ 2)=× 5+2× 3)= 114. 设 x 为所求，即求 x2 115=0 的正根 f(x)=x2 115因为 f

17、(x)=2 x， f (x)=2 ， f(10) f (10)=(100 115)× 2<0， f(11)f (11)=(121 115)× 2>0取 x0=11有迭代公式xk+1=xkf ( xk )= xkxk2115xk115f ( xk )2xk2(k=0,1,2, )2xk111115 3x =2211x2=10.727 3115 82210.727 3310.723 8115 8x =2210.723 8x*8四、证明题 (本题 10 分 )15. 在子区间 xk+1,x 上，对微分方程两边关于x 积分，得ky(xk+1) y(xk)=xk1xkf

18、( x, y(x)dx用求积梯形公式，有y(xk+1) y(xk)=h f ( xk , y( xk )f ( xk1, y( xk 1 )2将 y(xk),y(xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到hy(xk+1) y =y+f(x ,y)+f( x ,y )( k=0,1,2, ,n 1)k+1 kk kk+1 k+12数值分析期末试题一、填空题（21020 分）152（1)设 A210，则A382_13_。（ 2) 对于方程组2 x1 5x 2102.510x 14x 2， Jacobi迭代法的迭代矩阵是 B J。32.50（ 3) 3 x * 的相对误差约是x *的相对误差的1 倍。

19、3（ 4）求方程 xf ( x ) 根的牛顿迭代公式是x n 1x nxnf ( x n ) 。1f ' ( x n )（ 5）设 f ( x)x 3x1 ，则差商f 0,1,2,31 。（ 6）设 nn 矩阵 G 的特征值是1 ,2 ,n ，则矩阵 G 的谱半径(G )maxi。1 in（ 7）已知 A12，则条件数 Cond( A)901（ 8）为了提高数值计算精度，当正数 x 充分大时 , 应将 ln( xx 21)改写为ln( xx 21) 。（ 9） n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n1 次。（ 10）拟合三点 ( x1, f ( x1 ) ， ( x 2 ,

20、 f ( x 2) ， ( x 3 ,f( x 3 ) 的水平直线是 y13f ( x i ) 。3 i12x 1 x 2x 31二、（ 10 分）证明：方程组x1x 2x 31使用 Jacobi迭代法求解不收敛性。x1x 22 x 31证明： Jacobi迭代法的迭代矩阵为00.50.5B J1010.50.50B J的特征多项式为0.50.5det(IB j )11(21.25)0.50.5B J的特征值为10 ，21.25i，31.25i ，故(BJ )1.25 1，因而迭代法不收敛性。三、（ 10 分）定义内积( f , g)1f ( x ) g( x )dx0试在 H1Span 1,

21、 x中寻求对于 f ( x)x 的最佳平方逼近元素p( x ) 。解：0 ( x )1 ， 1 ( x )x ，(0 ,0 )dx1 ，(1 ,0 )xdx1，(1 ,1 )x 2 dx1，(0 , f )x dx2，11110020303(1 , f )1xx dx20。5法方程11c022311c12235解得 c0412， c115。所求的最佳平方逼近元素为15p( x)412 x ， 0 x 11515四、（ 10分）给定数据表x-2-1012y试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解 : y( x ) c0 c1 x c2 x 2c3 x 31248501001111010034A

22、1000， ATA111110034003401301248A T y( 2.9,4.2,7,14.4)T法方程AT Ac AT y的解为 c00.4086 ， c10.39167 ， c20.0857 ， c30.00833得到 三次多项式y( x )0.40860.39167 x 0.0857 x 20.00833 x 3误差平方和为3 0.000194五. (10 分) 依据如下函数值表x0124f (x)19233建立不超过三次的 Lagrange插值多项式，用它计算f (2.2) ，并在假设 f ( 4 ) ( x)1 下，估计计算误差。解:先计算插值基函数l 0 ( x)( x 1

23、)( x 2)( x 4)1 x 37 x 27 x 1(01)(02)( 04)884l 1 ( x )( x 0)( x2)( x 4)1 x 32 x 28 x(10)(12)(14)33l 2 ( x)( x 0)( x 1)( x 4)1 x 35 x 2x(2 0)( 2 1)(2 4)44l 3 ( x)( x 0)( x 1)( x 2)1 x 31 x 21 x(4 0)( 41)(4 2)24812所求 Lagrange插值多项式为311x 345x 21L 3 ( x )f ( xi )l i ( x )l 0 ( x )9l 1 ( x)23l 2 ( x )3l 3

24、( x )x1 从 而i 0442f (2.2)L 3 (2.2)25.0683 。据误差公式R3 ( x )f (4 ) () ( xx0 )( x x 1 )( xx 2 )( xx 3 ) 及假设f ( 4 ) ( x )1 得误差4!估计：R3( x )f ( 4 ) ( )0)(2.2 1)(2.22)(2.2 4)10.03964!(2.20.95044!六. (10 分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组1020x150101x 231243x 3170103x47解 设1020110200101l 211u22u23u 241243l 31l 321u33u 340103l 41

25、l 42l 43 1u 44由矩阵乘法可求出uij 和 l ij11l 21101l 31l 321121l 41l 42l 43 1010 110201020u22u23u 24101u33u 3421u442解下三角方程组1y1501y23121y3170101y47有 y15 ， y23 ， y36 ， y4 4 。再解上三角方程组1020x15101x 2321x 362x 44得原方程组的解为x 1 1 ， x 21 ， x 32 ， x 42 。七. (10 分) 试用 Simpson 公式计算积分21e x dx1的近似值 , 并估计截断误差。解：121112(e4e1.5e 2 ) 2.0263e x dx611f ( 4)(1123624 )e xx 8x 7x 6x 5maxf (4) ( x)f ( 4) (1)198.431 x 2截断误差为(21)5maxf(4 )( x)0.06890R 228801 x 2八. (1