数列的概念及简单性质教学设计与反思

1、课题：数列的概念及简单性质福建省三明市第二中学李平香一、 教材分析：“数列”是人教（ A）版必修 5 第 2 章“数列”第一课时，是继函数的基本概念、性质和几个连续函数的函数模型（指数函数、对数函数和三角函数）之后，学习的一类新的、离散型的函数模型，是函数概念和性质的进一步深化与运用 . 通过“数列”起始课的学习，在让学生充分认识到数列是一类特殊函数的同时，将函数的研究内容和研究方法，类比迁移到数列之中，让学生了解数列的研究内容与研究方法，促进学生形成系统的数学知识体系.二、 学情分析：学生已经学习了集合、函数的概念、函数的表示方法（列表法、解析法、图象法）、函数的一般性质（单调性、奇偶性、周

2、期性）和几个连续的函数模型，通过这些内容的学习，不仅对函数有了较深刻的认识，而且还初步形成了建立新的数学概念的一般方法，具备了抽象与概括、类比与迁移、归纳与演绎等数学能力，这为学生学习数列概念创造了良好的条件.本节课的授课对象是实验班学生，他们的思维能力、迁移类比能力等较强，他们积极上进，善于思考，课堂上敢于发表自己的见解 .三、 教学目标：1.通过生活实例，了解数列的概念和表示方法，数列的分类，了解数列是一个特殊的函数.2.运用已有的研究数学概念的经验，理解数列的通项公式，单调性及应用.3. 在学习过程中感受类比迁移、归纳演绎等数学思想方法，学会用联系的观点学习数学，形成系统的知识链，将新知

3、识顺利纳入已有的知识体系.四、 教学重难点：1.教学重点：数列概念及表示、通项公式、单调性.2.教学难点：数列概念的深层次理解，即数列是特殊的函数.五、 教学方法：采用问题引导下的探究教学，即通过设计相关问题，启迪思维， 在学生的探究活动中，学习新知， 积累方法 .六、 教学过程： . 回顾典故，导入新课师：章节引入：有人说，大自然是懂数的. 不知你注意过没有，树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列 ，都遵循了某种数学规律. 想知道这种规律，就要进入第二章：数列的学习.数列是如何定义的呢？我们还是先看看具体的实例. 传说古希腊毕达哥拉斯派的数学家，他们经常在沙滩上画点或用小石子来表示数. 比如

4、，他们在沙滩上研究过多边形数：1,3,6,10， ，可以用图中的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数 ；类似地： 1,4,9,16, ，被称为 正方形数 ，因为这些数可以用图中的正方形点阵表示.师：今天，这节课让我们一起沿着古人的足迹，进入数的世界，继续数的研究. 这两列数中数字之间能否调换顺序？为什么？1生：不能调换顺序，调换了顺序后，表示的意义就不同了. 这两列数共同的特点是：按一定顺序排列的一列数 . . 顺应认知，建构概念一、数列的概念与表示法： 数列的概念 ：按一定 顺序 排列着的 一列数 叫做数列 .数列与数集的比较：数列数集共同点都是研究数(1) 数列中的 数有顺序 ，如数列

5、1,2,3,4, 与数列 (1) 数集中的 数没有顺序，4,3,2,1, 是不同的两个数列如 1,2,3,44,3,2,1不同点(2) 数列中的 数可以相同 ，如：数列 3,3,3 ，3， ，(2) 数集中的 数互不相同 ，如3,3 错误数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 .各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项），第2项， ，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项 .n 为项的序号 .师：类比集合中元素常用小写字母表示，数列中的项可以怎么表示？生：可以 用 a1, a2 , a3, an分别表示数列的第1 项（首项）、第2 项、第 3 项、 第 n 项 .数列的一般形式： a1

6、,a2 , a3 , an, 错误！未找到引用源。简记为数列an ，其中 an 错误！未找到引用源。 是数列的第 n 项 .师：在数列中，符号an 与 an 表示的意义是否相同？生：不同 . 因为an 表示一个数列，不只是一项；而an 只表示第 n 项 .师：对 .an 表示一个数列，不只是一项，通常在前面加上“数列”两字，即“数列an ”；那数列中的项可以有多少个呢？.生：可以有限个，还可以无限个.师：我们可以根据数列中的项数：有限和无限，将数列分为两类.设计意图： 在前面新概念的教学过程中，教师都十分重视发展学生的认知策略，引导学生提炼总结建构新概念的一般方法，学生已经初步具备了建构新概念

7、的基本策略. 因此，在建立“数列”这一新概念时，通过问题 1，引导学生将前面已经初步形成的建立概念的基本策略，类比迁移到建立数列的概念建构之中，以进一步发展学生的元认知 . . 注重联系，理解概念2二、数列的本质：离散函数师：当我们学习新知识时，要关注到所学的新知识与原有的知识之间有无内在的联系，让新知识长在旧知识上，以利于我们从整体上把握数学，构建一个具有强大思维功能的知识体系.问题 . 数列 a中的各项 ak 与各项序号 k 1,2,3, , n,之间存在着如下的对应关系，n这个“对应关系f ”是函数吗？序号 n1234nB项 ana1a2a3anAa4.生：是 .师：为什么？生：因为对数

8、列中的每一个序号1,2,3, n,，都有唯一的项a1 , a2 , a3 , an, 与它对应，所以，数列是一个函数.师：其他同学认同这个结论吗？师：依据函数的定义，可见，数列确实是一个函数. 反之，对于一个函数yfx ，若自变量 x 可以取正整数时，我们就可以得到一个数列：f1 , f2 , f3 , f4 , fn ,，自变量 x1234nfxf 1f2f 3f 4fn数列 ana1a2a2a3an师：如果数列an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么我把 anfnnN的解析式，称为数列的通项公式.数列与函数比较：函数数列 ( 特殊的函数 )定义域R 或 R 的子集

9、N 或它的有限子集1,2,3,n表示法列表法、图象法、解析式法列表法、图象法、通项公式法解析式yfx , xAanfn （称为数列的 通项公式 ）图象可以是连续或离散的点的集合一些离散的点的集合师：我们知道确定一个函数，就是要确定定义域和对应关系，同样，确定一个数列也可以通过确定它的通项公式 .3 . 理解公式，掌握应用三、数列的通项公式及应用：例 1. 根据下面数列 a 的通项公式，写出前5 项：n(1)an3n1;变式： 2016 是数列中的项吗？(2)an1 n n ,变式： an1 n ，变式： an1 n 1由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1， 2，3， 4， 5，即可

10、得到数列的前5 项解： (1)a14, a27, a310, a413, a5 16变式：若3n12016 ， 得 n2015N 所以 2016 不是数列的项 .32 a11,a22,a33,a44, a55，变式： 符号数列：1,1,1,1,，变式： 符号数列：1,1,1,1,，总结：根据通项公式可以算出数列的指定项，判断某个数是否为数列中的项，可见，确定一个数列可以确定其通项公式，还可以有其它方法, 数列的通项公式不唯一, 也可以没有 .例 2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：(1)1,4,9,16， ，变式： 2,5,10,17 ， ，（ 2） 8,8,8,8，

11、 ，1 11,(3) 1, ,234(4)10,100,1000,10000, ，变式： 9,99,999,9999, ，变式： 5,55,555,5555, ，3,1,79,（ 5）, ,210 17规律方法：（ 1）分析项与项的序号 n 的关系，相邻项是如何变化的；（ 2）注意各项符号特征 , 如果是分式要注意分别观察分子、分母的特征；（ 3）若关系不明显时，可以将部分项作适当的等价变形，统一成相同的形式，让规律展现出来；（ 4）常见数列：奇数数列、偶数数列、平方数列、99 数列、倒数数列、符号数列等通项公式.（ 5）分析数列与常见数列的关系，设计意图： 通过问题，引导学生发现数列是一个特

12、殊的函数. 在明确了数列就是函数之后，通过类比函数的研究内容和研究方法，进一步地研究数列. 这样设计的目的是促使学生从整体上认识数学，把所学的数学知识和方法串成一个完整的系统.4 . 深层理解，研究性质四、数列的单调性及应用：问题 . 函数的性质有哪些？数列我们经常研究那些性质呢？生：我们研究了函数的单调性、奇偶性、周期性. 单调性、周期性依然存在，而奇偶性不存在.师：能说说理由吗？生：因为数列的定义域都是正整数，所以，不具有奇偶性；有的数列具有单调性，如例2 中的第（ 1）小题，有的数列具有周期性，如例1 中的第（ 2）小题 .师：总结的很好！你能说出例1 中每个数列的单调性吗？生：（ 1）

13、、（ 4）是递增数列；（ 2）是常数数列（4）是递减数列，（6）是摆动数列 .师：什么叫递增数列？什么叫递减数列？数列的单调性呢？生：递增数列： 从第 2项起，每一项都大于它的前一项的数列.递减数列： 从第 2项起，每一项都小于它的前一项的数列.常数数列： 各项都相等的数列 .摆动数列： 从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.师：我们又一次从具体实例中，抽象概括出了“新概念”，接着咱们又要用数学特有的“符号语言”来表示 . 如何用符号来表示：“数列的每一项与它的前一项”呢？生：数列的每一项即通项an 它的前一项就是an 1师：很好！还要注意一个细节：数列第二项开始才有

14、前一项，这里的下标序号n2.，实际上，就是从第二项起的任意相邻两项选择用an 与 an 1 n2; 还可以如何选？生：用 an 与 an 1, 这里的下标序号 nN即可 .师：非常棒！可见，要判断数列的单调性， 就是要比较任意相邻两项anan 1大小或a n与an 1n 2.与10n例 3. 已知数列an 的通项 annN ，求数列的最大项 .n 111变式：已知数列an的通项 ann29n8，则数列的最小项是第_项.10n 110n10n210n9n解： an 1 an n 2n 110 nn 1111111111111所以，当 n1,2,3,8 时， an 1an0, 即 an 1an ，

15、即 a1a2a3a8a9 ；当 n 9 时， an 1an ，即 a9a10 ；5当 n 10,11,12,13, 时， an1an0, 即 an 1an ，即 a10a11 a12 ,综上： a1 a2a3a8a9a10a11a12a1310所以：数列中的第9项和第 10项最大，最大值为109 .11师：利用数列的单调性可以求最大项或最小项，当然，还可以有其它方法，大家可以自己回去思考. . 总结分类，完善结构五、数列的分类：1根据数列项数的多少分 ：有穷数列 ：项数有限的数列. 无穷数列： 项数无限的数列 .2 根据数列任意相邻两项的大小分：递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列.师：数列

16、还可以按其它的标准来分类.设计意图： 在学习和运用概念过程中，激活某个概念时，其实质是激活这个概念所构成的网络. 因此，教学每一个概念都应当从概念所处的系统出发，促进学生建立新旧概念之间的各种联系，实现概念网络的建构与扩展，使新的概念成为学生内部概念网络的一个有机组成部分. 这样，数学概念教学不再是个别概念的教学，而是通过学生学习概念的各种活动，使学生获得概念域、概念网络，直至完成对概念系统的理解与掌握 . . 课堂小结，作业布置问题 (1) 什么是数列？其本质是什么？（ 2）本节课具体研究了数列的哪些内容？作业（ 1）课本 : 习题 2.1A 组 1、 2、3、 5. (2)求数列3n12

17、的最小项 .3n22（ 3）（ 2013 湖北，理 14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3,6,10 ， ,n n 1n2nn 个 k 边形数为 Nn, kk 3，以下列出了部分k 边形数中第第 n 个三角形数为2. 记第22n 个数的表达式：三角形数N n,3n2n ,22正方形数Nn,4n2 ,五边形数Nn,53n2n ,22六边形数N n,62n2n, 可以推测 N n, k 的表达式，由此计算 N 10,24_6设计意图： 通过课堂小结，总结所学习的知识，提炼研究问题的方法，在帮助学生加深对数列概念理解的同时，进一步领会研究数学概念的基本方法，让学生在

18、学会知识的同时，学会研究问题的方法，让学生在“学会”的同时，逐步做到“会学” . 补充以“多边形数”为背景的考题，与课堂引入相呼应，让数学文化自然渗入课堂 . . 教学反思问题是驱动学生思维的源泉！在数学教学中好的问题，可以驱动学生的思维、形成有效的数学探究活动 . 因此，所设计的问题应当符合学生的实际，否则，如果问题过大、过难，学生往往无从下手，难以形成有效的探究活动；同样地，也不能过小、过碎，如果教师为学生设置了许多的“台阶”和“路径”，学生只要遵循教师所指引的路线，最终都会到达目的，学生似乎“发现”或“捡到”了什么，但实际上教师早就把结果放在了探究的必经之路上，这样的引导在很大程度上就失去了发现的意义. 所以，本节所设计的问题都在“学生的就近发展区”上设问，不仅包含了知识层面，而且还包含了认知层面.数学教学不仅仅是传授知识，更重要的是发展学生的认知结构、完善学生的认知体系. 认知策略不仅影响着学生学习、 记忆和思维的任何一个阶段，而且在一个情境中已经获得的概念学习策略可以迁移到另一个新概念