数列的概念与方法

1、仅供个人参考第 11 讲数列的概念与方法（一）知识归纳：For personal use only in study and research; not for commercial use1数学列的通项公式：数列的每一项an 与项数 n 的函数关系式an=f(n)称数列通项公式 .n2数列的前 n 项和： Sna1a2anak 称数列 an 的前 n 项和 .k 13数列的单调性：设D 是由连续的正整数构成的集合，若对于D 中的每一个 n 都有an+1>an（或 an+1<an），则数列 an 在 D 内单调递增（或单调递减） .4 an 与 Sn 的关系：a1S1.anSnSn

2、 1 (n2)5两个重要的变换： an a1( a2a1 )( a3 a2 )(an an 1 );ana2a3an .a1 a1a2an 1（二）学习要点：1求数列的通项公式与求数列的前n 项和是数列的两个最基本问题，解决问题时必须特别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁.2 数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用高等方法讨论数列的单调性，不能直接对an=f(n) 求导，应先对函数 y=f(x) 求导，然后再分析f(n)的单调性 .3 an 与 Sn 的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公式都必须从“ n2”开始讨论，千万不要错了一项

3、 .4上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换.【例 1】解答下述问题：（I）数列 an 中, a11an1，求数列 an 的通项公式 ., an 14n221解析 11 ( 2n11 (111),4n21)(2n 1)22n2n1不得用于商业用途仅供个人参考an a1(a2a1 ) ( a3a2 )(anan 1 )11(11)(11 )(11 )(11)22335572n32n111)4n3.( 22( 2n22n11)（ II ）在 1000 ， 2000内，被 4除余数1且被 5除余数为2 的整数有多少个？说明理由 .解析 设在 1000，2000被4除余 1.被5除余

4、 2.被4除余数1 且被 5 除余数为2 的整数构成的数列分别为 ak 、 bm 、 cn ， ak=4k+1 , bm=5m+2(k、 m N*) ， ak= bm，得 k5m15(4n1)15n144 cn= a5n 1=20n3 , 100020n 3200050 3n 100 351n100,2020所求的整数共有100 50=50 个 . 评析 根据条件求数列的通项公式是数列学习的最基本的内容，也是解决许多数列问题的基本过程 .【例 2】解答下述问题：（ I ）已知数列 an 的通项为 an=(n+1) · ( 9 ) n ，问是否存在正整数 M ，使得对任意正10整数 n

5、 都有 an aM？并说明理由 . 解析 问题等价于数列 an 是否存在最大项aM，若对函数 f( x)=( x+1) · ( 9 ) x 求导，10在求解 f (x)= 0时需要查表得到 ln9的值，因此应通过考察数列 an 的单调性解决 .10an 1an( n 2) ( 9 ) n 1(n 1) ( 9 ) n( 9 )n 8 n ,10101010当 n<8 时 an 1 > an， an 单调递增；当 n>8 时 an 1 < an， an 单调递减；而 a8=a9, 即 a1 <a2< <a8=a9>a10>a11&g

6、t; ， a8 与 a9,是 an 的最大项，故存在 M=8 或 9，使得 an aM 对 nN + 恒成立 .（ II ）已知函数f(x)=2 x 2x,数列 an 满足 f(log 2an)= 2n ,不得用于商业用途仅供个人参考（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）证明数列 an 是单调递减数列.解析 （1）由条件得2log 2 an2log 2 an2nan12nan22na n10,anan0, ann 21n;an 1n21n1,an 1 an .(2)an(n 1)21 1 (n 1)(另证 ) an 1an( (n 1)21n 21) 1( n2n 1n211) 211(n

7、2n 1n212n 1 1 0, an 1an .1) 22n1（ III ）求正整数a 最大值，使得不等式：11112a 5对 nN* 恒成立 .n1n2n33n1解析 记f (n)1111, 考察 f (n) 的单调性，n1 n2n33n1f (n1)f (n)11111123n23n33n4n 13n23n 43n 320,f ( n1)f (n),(3n2)(3n3)(3n4)评析 数列的单调性是探索数列的最大、小项及解决其它许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握求数列单调性的程序.【例 3】解答下述问题：（ I ）设数列 an 的前 n 项和为 Sn=3 n2 65n ,求数列 |

8、an | 的的前 n 项和 Tn ;解答当 n 2 时， an= Sn Sn 1=（ 3n2 65n） 3（ n 1） 2 65（ n 1） =6 n 68，而 a1=S1 = 62 也适合，当 n N* 时， an=6 n 68，令 an 0 得 n>11， an 的前 11 项为负数，从第12 项开始各项为正数，当 1 n 11时,TnSn65n 3n 2 ;不得用于商业用途仅供个人参考12时,n()23265 704 ；当nTnS11akS11SnS11SnS11nnk 12（ II ）设数列 an 的前 n 项和 Sn=2 an 1(n=1, 2, 3, ),数列 bn 满足：

9、b1=3 , b k+1=ak+bk (k=1, 2, 3 ,)， 求数列 bn 的通项公式 .解析 当 n 2 时， an= Sn Sn 1= 2an2an 1an2an 1 ,而a1S12a11a11, an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， bk+1 bk= ak，bn b1(b2b1 ) (b3b2 )(bn bn 1 ) 3 (a1 a2an 1 )32n 112n 12,21 bn 的前 n 项和 Tn 2n2n 1.（ III ）已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 log2(1+Sn)=n+1，求 an 的通项公式 .解析 由条件得 Sn=2n+1 1, a1=S1

10、=3 ,当时n 1nn不适合，n 2 ,anSnSn 1 (21) (2 1) 2 , a13( n1)an(n.2 n2)（ IV ）已知数列 an ： 1，3，6，15， 的前 n 项和 Sn 公式是 n 的三次多项式求数列的通项公式与前 n 项和公式 .解析 设 Snan3bn2cnd,当n2时, anSnSn 13an2( 2b3a) n abc,a1S1 1, a b c d 1, 7a3bc3a23, a36,a415,19a5bc6 ,37a7bc15得 12a+2b=3，得 18a+2b=9 ，由、解得a=1 ， b= 9，代入得 c= 19 ，代入得， d= 5，22 a1=

11、1，而当 n 2 时 an=3n 12n+15,而 Sn=n3 9n2+19n 5.22不得用于商业用途仅供个人参考评析 an 与 Sn 的关系式是数列学习中使用率最高的公式，必须熟练掌握它的应用，使公式时必须认真检验a1 的值是否适合 .训练题一、选择题：1数列 1， 3，6， 10， 的一个通项公式是（）A n2 n+1B n(n1)C n( n 1)D n(n 1)222已知数列的通项公式为an=n(n 1),则下述结论正确的是（）A 420 是这个数列的第20 项B 420 是这个数列的第 21 项C 420 是这个数列的第22 项D 420 不是这个数列中的项3在数列 an 中，已知

12、 a1=1,a2=5, an+2=an+1 an,则 a2000=（）A 4B 5C 4D 54设数列 an 的首项为1，对所有的 n2，此数列的前 n 项之积为 n2，则这个数列的第 3项与第 5 项的和是（）25B 2161256A 25CD9162755在数列 an 中， anan, 其中 a, b, c, 均为正实数，则 an 与 an 1 的大小关系是（）bncA an < an 1B an > an1C an = an 1D不能确定6数列 an 的前 n 项和Sn2n1, 则a12a22an2（）A (2n 1)2B 1 (2n 1)C 4n 1D 1 (4n 1)33

13、二、填空题：7数列 an 中， a1=3,an +1=an+2n+3，则 an=8已知数列 an 满足： a1=1, an= an 1+ an 2+ + a2 + a1（ n 2），则该数列的通项公式an=9已知 an 的前 n 项和 Sn=n2 4n+1,则 |a1|+|a2 |+ +|a10|的值为10已知 an 中， a1=1, an=an1(n1)，则 a12=12an 1三、解答题11已知数列 an 的前 n 项和为 Snn22，pn ，数列 bn 的前 n 项和为 Tn=3 n 2n+1（ I ）若 a10=b10，求 p 的值；（ II ）取数列 bn 的第 1 项，第 3项，第

14、5 项， ，第 2n 1项， 作一个新数列 cn ，求数列 cn 的通项公式 .不得用于商业用途仅供个人参考12设数列 an 的首项为 1，前 n 项和为 Sn 与通项 an 之间满足：2Sn22an Sn an (n 2),（ I ）求证：数列 1 是等差数列；Sn（ II ）求数列 an 的通项公式 .13已知数列 an 的前 n 项和为 Sn， a1=1,且对一切正整数n 有 2 Sn=( n+p) an,p 为常数 ,（ I ）求 p 值； （ II ）求数列 an 的通项公式 .n23n 1log 2 (n1)( n N* ），试讨论数列 an 的单14已知数列 an 的前 n 项和

15、 Sn2调性 .15设数列 an 的各项为正数，若对任意的正整数n, an 与 2 的等差中项等于其前n 项和 Sn与 2 的等比中项，求 an 的通项公式 .答案与解析一、 1D2B3B4C5A6D二、 7 2n+3n 28 an1( n1)12n1 (n,9 67,10.2)3211 (I) an SnSn 1 2np 1, bn2(n1)6n5( n, 由 a10=b10 得 p=36；2)（II ）当 n 2 时， cn 1cnb2n 1b2n 1等差数列,c12.12cn12n11(n 2)12（ I ）当 n 2 时，由 2Sn22an Snan2Sn22( SnSn 1 ) Sn

16、( SnSn 1 ),2Sn Sn 1Sn 1Sn112, 1 是公差 d=2 ，首项11 的等差数列；SnSn 1SnS1（II） 12n 1,即 Sn1,当 n2时 anSnSn 1(2n2,而 a1 1.Sn2n11)(2n3)13（ I ）取 n 1得2S1 (1p)a1, 得p1;不得用于商业用途仅供个人参考(II )2Sn(n1) an,两式相减得 annan1 ,2Sn 1nann11annn132 a1n(n2),而a1也适合 .n 1 n22114当 n2时, anSnSn1n 1log 2nn , 而 a1S11 ,12n22n 1n22n当 n2时, an 1an1 l

17、o g2n21 l o g221 0,2nn2n而 a2a1 log 2160,3对 nN* 有 an+1 >an ,即 an 为单调递增数列 .15an22Sn , Sn1 ( an2)2,28当时SnSn 11( an2)2( an 12)28an(an 2)2(an 12)2n 2 an8(an2) 2(an 12) 20(anan1 )(anan 14)0, an的各项为正数 ,anan 14( n2), an 为等差数列 由S112)2 得a12, a1(a18an2 4(n1)4n2.不得用于商业用途仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study a