数列题型及解题方法归纳总结

1、知识框架数列的概念数列的分类数列的通项公式J函数角度理解数列的递推关系等差数列的定义“” 一 4“_1 = </(« n 2) 等差数列的通项公式5=6 +(“-1) 等差数列的求和公式s=-(t/,=+也二2/2 2等差数列的性质5 + "加=ap + a(/ (m + n = p + q)等差数列彳两个基本数列"等比数列<数列求和等比数列的定义上匚=q5 > 2)5-1等比数列的通项公式4=5/1® -7 = 5(1-/)叶)1 1(/ 畀“(q = 1) 等比数列的性丿贡】=apag(m + /i = p + y)等比数列的求和公

2、式几=5公式法分组求和 错位相减求和裂项求和 倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款 其他数列的应用2掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、 求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确立的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等 差数列或等比数列问题。递推式为力Zn + d及“沪qs （d,q为常数）例1、 已知aj满足*二a»+2,而且6=1。求a.。例1、解 a“一a!F2为常数Z. a J是首项为1,公差为2

3、的等差数列°. a二 1 +2（n 1 ）即 a-=2nl例 2、己知an满足 5+1 =，而 q=2,求 a 二？解丑，量常数兀2是以2为首项，公比为扌的等比数列an = 2 * （舟）U_1 =（2）递推式为 a n+i=ao+ f （n）例3、已知如中“冷，勺+户是求解：由已知可矢叽-“小）；2冷乔T茹）令 n=l, 2, t （n-1）,代入得（n 1）个等式累加即（a：-ai） + （a a-a：） +1 /1、 /I 1、/11飞（1-p - （丁弓） 2心的）Cln = 5+(l_4/7-34/?-2 说明 只要和f(l)+f (2)+-+f(n-l)是可求的，就可以由

4、纸厂=a a+ f (n)以n= 1, 2 ,，(n-1)代入可得n-l个等式累加而求a。递推式为"产Pd+q (P,q为常数)例4、%中，q=l,对于 n>l(nG N)有=3%+2,求坷解法一：由已知递推式得比产3s+2,务二3 a+2。两式相减:轴,一8匸3 (比- a n I)因此数列 a -an是公比为3的等比数列，其首项为a=-ax=(3X 1 + 2)-1=4Aa1-an=4 3戸T a 卅二3鮎+2 A3 a n+2-a= 4 3旷 即比=23円一1解法二：上法得a沖-务是公比为3的等比数列，于是有任一a：=4,a,-a：=43,灯2a a as=4 3&quo

5、t;,，an-an -i=4 3把n-1/. an=2 3n- 1 -1个 一番=4 (冉3十32昇十势2)/ 丫厂(4 )递推式为an+1=P a °+q n (p, q为常数)【例5】己知aj中'a2=|, an+1=jan+ (舟)n+1,求略解 在务+】二十£)的两边乘以2珀】得2n+1 * a”】=-(2XlaJ 十 1,令=2n an9则bn+1=jbn+l,于是可得 入_叽=专(叽一1治) 由上题的解法，得：仇=3-2(訶说明对于递推式如二P益+屮，可两边除以常，得霭二q-#企十丄，引辅助数列bj, （bn =）,得bn+1 =-bn +后用 q q

6、qq q递推式为+2 = M+i + g思路：设 5+2 = PG + qg > 可以变形为：孤2 一 aan = 0（©+1 一 Q©），CL 4- B = t>就是厂2T）也-。陆，则可从；解得J B,Ct p = -q于是4厂a务是公比为B的等比数列，就转化为前而的类型。_ 21【例6】己知数列aj中，幻=1, a2 =2, an+2 =-aft+L + -an,a 分析a=p a +=-q卜 a. p=|2 1lft2 -2%+1+列=两边减去益+1,得(an+1 - a J是公比为-+ ,首项为a2 aL =啲等比数列。益弋严(冷)(冷)1+-+)心3

7、 14=1+討-c-pn_1(6)递推式为S .与An的关系式此类型可利用省(n = l)1)求】与耳的关系;k 1【例d设心J前"项的和sn = 4 - %尹(2) 试用n表示a *2解(1)由Sn=4 -an -y得S«+ = 4 - + 一 Q»-i1 1 z Sn ("fl d) +(2”-2 2n,)1an = an _ 5+1 +1 1% _严+应上式两边同乘以2戸得2如吐二2尅+2则21"是公差为2的等差数列。/. 2nan= 2+ ( n 1 ) 2=2 n .n数列求和的常用方法：1、拆项分组法:即把每一项拆成几项，重新组合分

8、成几组，转化为特殊数列 求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果©等差，hn等比，那么 匕化叫做差比数列） 即把每一项都乘以化的公比q,向后错一项，再对应同次 项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使英正负抵消，只余有限几项, 可求和。适用于数列（其中%等差）可 裂 项等差数列前项和的最值问题:1若等差数列©的首项勺0,公差则前“项和二有最大值。an 0 （i ）若已知通项©，则最大= ” 川 0（ii）若已知S“ = pn2 + qn ,则当取最靠近-亠的非零自然数时S“最大； 2p2、若等差数列©的首项q<0,

9、公差>0,则前项和S“有最小值a <0（i ）若已知通项则S“最小of "一 ;如1 n °（ii）若已知= pn2 + qn，则当n取最靠近一的非零自然数时S “最小:数列通项的求法：公式法:等差数列通项公式;等比数列通项公式。（2）已知s“ （即®+“2+Q” =/（”）求"”，用作 差法： “=枫,=1）°&一九,（心2）°/（MT）已知®W©=/（"）求"“，用作商法:=/（"）（n>2）°-1）八-已知条件中既有S“还有"”，有时

10、先求S”，再求山:有时也可直接求。 若 an -an= f（n） 求 用 累 加 法：Ctn =（an an-）+（4-1 一 5-2 ）+ + （。2 一 5）+5 （n > 2） a已知也= /（）求©,用累乘法：% = 丘也負5（舁22）。 55-2已知递推关系求用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，形如an=kan+b. J=kfb”（k、b为常数）的递推数列都可以用待宦系数法转化为公比为k的等比数列后，再求5:形如5=耐一 +kn的递推数列都可以除以疋得到一个等差数列后，再求心o(2)形如© =也r的递推数列都可以用倒数法求通项。(3)形如6/+1 = a

11、k的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到。卯-。心=或4 = q时，分奇数项偶数项讨论，结果可 %能是分段形式.数列求和的常用方法：(1)公式法:等差数列求和公式;等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和。(3) 倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组 合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等 差数列前料和公式的推导方法).(4) 错位相滅法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的 通项相乘构成，那么常选用错位相

12、减法(这也是等比数列前和公式的推导方 法).(5 )裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后 相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：一I一 =丄_ ：一I=丄(丄一 1 )n(n + ) n n + 1n(n + k) k'n n + k 八1 1 _1, 1 1 'F<ra = 2(TTTT)，1 1 1 1 1 1 1=< < = k £ + 1 伙 + 1冰 k2 伙一1 沐 £一1 k=打 1 _n(n +1)(/7 + 2)2 n(“ +1) (n + l)(n + 2)(ii +1)! n!

13、(/i+ 1)!2(Jn + l -亦)=匕 < -|=< i 2/2(亦-厶-1)5+5 + 1 >Jn yjn +yJn-二、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由S川求(n=l时，a! =Sj, n > 2时，an = Sn )3、求差俩)法如：aj满足-a! +22 +Tan = 2n + 5< 1 >解:n = l时，a. =2x1 + 5, /.a. = 142n > 20寸， -a. +5-a? + !-ran . = 2n 1 + 5< 2 >2 1 22 22". zv 1 > - <

14、2 > 得：a = 22n14 (n = 1)r " |2n+, (n>2)练习数列aj满足Sn +Sn+1 =|an+1, a, =4,求a“(注意到an+1=Sn+1-Sn代入得：孕=4又S,=4, /.Sn是等比数列，Sn =4nn»2吋，an = Sn Sn_( 3 4n_l4、叠乘法例如：数列aj中，a, =3, 学=沽，求J解：£1丑2 = 1？上二1,.空=丄»| a2 an_) 23n3) n3又哲=3, />an =n5、等差型递推公式由an -an-I = f(n),= a0,求用迭加法n > 2时，一 a】=

15、f(2)a3-a2=f(3)，两边相加，得：an-ai =f(2) + f(3) + +f(n)an =a° +f(2) + f(3)+f(n)练习数列an, a】=l, an =3n"! +an_)(n>2),求6.等比型递推公式an = can_ +d d为常数，cHO, cHl, d H 0)可转化为等比数列，设an+x = c(an_1+x)=can-i +(c-l)x令(c- l)x = d, Ax = c- 17n+丄是首项为a,+ ，C为公比的等比数列a, + cT/c练习数列aj满足a【=9, 3an+l +an =4,求7、倒数法例如a.=n &qu

16、ot;噩求叫由已知得:丄为等差数列, lanjy公差吋2.数列求和问题的方法(1) 、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下 公式对求和来说是有益的。1+2+3+n(n+l)1 + 3+5 + (2n- 1 ) = n "十+八.+宀如1)+1);613 + 23 + 33+卫=上2尹尸；乙【例8】 求数列b (3+5), (7+9+10), (13+15+1 7+19 )，前n项的和。 解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+-+n =-n(n + l)个奇数，2最后一个奇数为:1+丄n(n+l) -lX2=n+n-l2因

17、此所求数列的前n项的和为sn = (a + 1)1+ (n2 +n-l)=卜2 Q+1) 2。(2) 、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S= 1 (n 1)+ 2 (n2-22) +3 (nc- 32) + +n (n:-n ) 解S二n( 1 + 2+3+n ) (1?+2 +3”+n )=n2 (n +1) -n2n十 1) °。24=-n2n 十 1) Cn -1)十(n2-l)(3) 、倒序相加法适用于给左式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列.采取把正着写与倒 着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn=3G+6C：+

18、 + 3nC：例 10、解 S” = 0 © + 3C： + 6C： + + 3nC；XSn二3nC：十3 (n 1) C阳】十十0C® 相加，且运用c>crw2Sn = 3n (從斗叫+匚)=3Z2” Sn=3n 2n l（4）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的.可把和 式的两端同乘以上而的等比数列的公比，然后错位相减求和.例 11、求数列 L 3x, 5x：（2n- 1 ） x1 前 n 项的和.解设 Sn=l + 3+5x2+-+(2n-l )(1)当 £ = 1瞅A屮汀）"就(2) x= 0 时,Sn =

19、 l.(3) 当xHO且xHl时，在式两边同乘以x得xSa=x+3x:+5x3+(2n-1) x得 (1 x)S«=l+2x+ 2 x"+2 x3+ 2 xn *-(2n-l)x*.八卡斤12x（1 - xn-L）r由公式知 S“ = 1 + 一（ 2n -1）尹1 -x1-zl+z-（2n + l）xn + （2n-l）+1（5）裂项法:把通项公式整理成两项（式多项）差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：1n + k1 11 1 1n(n + l)(n +2) = 2 n " nT_ n +2例12.求和亦十q/tl十k1 1 1H+F15 37 591(2

20、1)(2”+ 3)求和1 1十P 5 3*7(2n-l)(2n+3)n = (2n-l)(2n + 3) = 4(2n-l _ 2n 4.s= n十+ 十十十1n 4L 5 3 7 5 92n-3 2n+l 2n -1 2n + 3J心丄丄-亠4l 3 2n +1 2n + 3Jn(4n + 5)=3(2n + lX2n + 3)注:在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负 项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问 题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列心的首项a：0,前n项的和为S=,若SfS, ( 1 k)问n为何值时Sn最大？解依题意，设F (以)=Sn =na1 + nd此函数以n为自变量的二华単谀。0 Sx=Sk (lk) , Ad<0故此