整数裂项题库教师版#精选

1、整数裂项基本公式1(1) 1 2 2 3 3 4 . (n 1) n (n 1) n (n 1)3(2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 . (n 2) (n1) n -(n2)( n 1) n(n 1)4目IM 隹例题精讲【例 1 】1 2 2 3 3 4 川 49 50=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。设 S= 1 2 2 3 3 4 川 49 501 >2 X3= 1 >2 X32 X3 X3= 2 X3 X (4 1)= 2 X3 XI- 1 >2X33X4X3= 3X4X ( 5 2)= 3X4拓2

2、X 3X 449 X50 X3= 49 X0 X ( 51 48) =49 X50 X51 48 >49 X503S= 1 X2 X3+ 2 X3 X3 + 3 X X3 + + 49 X50 X3= 49 >50 X51S= 49 X50 X51 七=41650【答案】41650【巩固】12233445566778899 10 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然 不能这样进行计算对于项数较多的情况，可以进行如下变形：nn1n2 n1nn111n n1 n n1 n 2 n 1 n

3、n 1 ,333所以原式11 2 312314123HI 1910 1118 9 103333-9 10113303另解:由于2n n 1 nn，所以原式121 22 2bl9291222III 92 12III9丄9610191 9 102330采用此种方法也可以得到1223 IIInn11n n 13n 2这一结论.【答案】330【例 2 】1 4 4 7 7 1049 52=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】设S= 1 4 4 7 7 1049 521 X4 >9= 1 用 X7+ 1 X4 >24 X X9= 4 X X (10 1)= 4 X X0 1 X4

4、 X7X0 X9 = 7X0 X (13 4)= 7X0 X3 4>7X049 X52 >9= 49 X2 X ( 55 46)= 49 X52 X55 46 X49 X2 9S= 49 >52 >55 + 1 X4 XS= ( 49 >52 >55 + 1 X4 X) 为=15572 【答案】15572例 3 】1 2 3【考点】整数裂项2 3 4 3 4 59 10 11【难度】3星【题型】计算【解析】n n 1 n 21一 n 1 n n 1 n 2，所以，41原式 12 3 44III1 9 10 11412 - 8 9 10 114一 9 10 1

5、1 1229704从中还可以看出,【答案】2970123234345 川 n n1n2 一 nn1n2n34【例4】计算：1 3 5 3 5 7 |【考点】整数裂项【难度】仃 19 21 .3星【题型】计算【解析】 可以进行整数裂项.c3 5 7 9 1 3 5 73 5 785 7 9 11 3 5 7 95 7 9817 19 2117 19 21 23 15 17 19 21所以原式17 19 21 23 15 17 19 21817 19 21 23 1 3 5 7817 19 21 23 1 3 58也可适用公式.原式 3 233 25 255 2 川 19 21919 232 22

6、352225I” 192221933 53川193435 | 1913 33 53 川 19341 3 5 III 19323 43 63203而 133353卅193132333I”20312 2 12 2-20218 101119900,441 3 5 川 19 102 100，所以原式19900 4 100 3 19503.【答案】19503【巩固】计算：1234 3456567897 98 99 100 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上， 再进行计算.记原式为 A，再设 B 2 3 4

7、5 4 5 6 7 6 7 8 9 H 96 97 98 99 , 则 A B 1234234534597 98 99 100197 98 99 100 101 1901009880 ,5现在知道A与B的和了，如果能再求出A与B的差，那么A、B的值就都可以求出来了.AB 1234234534564567 567897 98 99 1004 (1 23345567. 97 98 99)42 (22 1) 4 (42 1) 6 (62 1)卅 98 (982 1)4 (23 43 63 卅 983)4 (2 4 698)4 8 1 492 502 4 1 100 494801020042所以，A

8、1901009880480102002974510040 .【答案】974510040【例 5 】2004 2003 2003 2002 2002 20012001 2000【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算2【解析】原式2003 2 2001 221 3 5 川 203 2 1220032 120031002 22008008其中也可以直接根据公式 1 3 5 7卅 2n 1n2得出1 3 5 川 20012003 10022【答案】2008008【例 6 】1 1! 2 2! 3 3!2008 2008!【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】观察发现2 2!2 2 1(3 1) 2 13! 2!,3 3! 3 3 2 1 (4 1) 3 2 1 4! 3!,2008 2008! 2008 2008 2007 川 2 1 (2009 1) 2008 2007 卅 2 1 2009! 2008! ?可见，原式 1! (2! 1!) (3! 2!) 川(2009! 2008!)2009!【答案】2009!例 7】计算：1 2 3 4 5肾川99 100 2 3 4 598 99【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】设原式=旦AA B 1 2 2 3 3 4 川 98 99 99 1001 1 2 3 0 1 22 3 4 1 2