从一题多解中学方法

1、从一题多解中学方法求抛物线的解析式是第二十七章的一个重点和难点，也是中考的一个热点亲爱的同学，现以2008年的一道中考题为例介绍求抛物线解析式的方法，供你学习时参考抛物线的解析式有以下三种常见的形式：一般式：y二ax2 bx c（ a， b， c为常数，且a =0），其特点是：等式右边是二 次三项式的一般形式.2顶点式：y = a（xh） +k（a，h，k为常数，且a式0）,其特点是：（h，k）是抛 物线的顶点坐标.交点式：y =a（x xj（x X2）（a， Xi， X2为常数，且a鼻0），其特点是：等式右边的常数Xi，X2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，即两个交点坐标是（Xi，0）和（X

2、2，0）.例（2008年山东临沂市中考题）如图1，已知抛物线与x轴交于A（- 1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）略；（3）略.分析一：因为已知抛物线的三点坐标，故可选用一般式来 求其解析式2解法a - b c = 0, *9a+3b+c=0,c = 3.（1）设其解析式为y二ax +bx + c，由题意，得2y = -X +2 x+3.a 1,解得b = 2,故此抛物线的解析式为2 = 3.点评：用待定系数法求a， b， c需三个独立条件，若已知图象经过的三点的坐标或三对x，y的对应值，则可选用一般式来求其解析式，即建立关于a，b，c的三元一次

3、方程组，求出a，b，c的值后再回代即可.这种方法是求抛物线解析式最基本的方法，务必熟 练掌握.分析二：因为抛物线与y轴交于点C（ 0，3），即当x =0时，y = 3.故可直接设抛物线的解析式为y =ax +bx+3,然后根据它过 A（- 1, 0）、B（3, 0）两点建立方程组求出 a , b 即可.、2方一b + 3 = 0,解法二：设抛物线的解析式为y = ax + bx +3，则由题意，得解得0a+3b + 3 = O.a = _1,2故抛物线的解析式为 y = -x +2x+3.2 点评：当抛物线与y轴的交点坐标已知时，马上就可得出解析式 y=ax +bx + c中c的值，从而只需根

4、据问题所给的另外两个条件求出a，b的值再回代即可1亠3分析三：由已知条件易求得抛物线的对称轴是直线x1，故抛物线的顶点的横坐标是1，因此可设抛物线的顶点坐标是（1, k），从而可选用顶点式 y二a（x - h）2 k来求其解析式一1 +3 解法三：由抛物线经过点 A（- 1，0）、B（3, 0），可知其对称轴是直线 x1，2广20=a(_1_1) +k, 3 二 a(0 -1)2 k.由此可知抛物线顶点的横坐标是1,故可设其解析式为y =a（x-1）2 k，则由题意，得解得 _1,故其解析式是 y = (x1)2+4，即 y = x2+2x+3. k = 4.点评：当抛物线的顶点坐标已知或容易

5、求出时，可选用顶点式y二a（x - h）2 k来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出a，k，然后回代，并把它化为一般式即可.此外,应注意这种情况的变式， 即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式分析四：因为A（- 1，0）、B（3，0）两点是抛物线与 x轴的两个交点的坐标，故可选用交点式来求其解析式解法四：因为抛物线交x轴于A（- 1，0）、B（3，0）两点，故可设其解析式为 y = a（x+1）（x-3）.又因为它交y轴于点C（0，3），故3= a（0+1）（ 0-3），解得a =-1.故所求解析式是2y = -( x +1)( x-3)，即 y =+2x

6、+3.点评：当抛物线与x轴的两个交点或交点的横坐标已知时，常常选用交点式来求其解析现在就练：(2008年湖南常德市中考题) 如图2,已知四边形(1) 求直线BM的解析式；(2) 求过A、M、B三点的抛物线的解析式.ABCD 是矩形，且 MO=MD= 4, MC= 3.y*DMCAOBx图2参考答案：0)，设直线BM的解析式为ykx b，则;4"°+b，Q= k 汉 3 + b.解得43,故BM的解析解：(1)因为 MO=MD= 4，MC=3,故 M、A、B 的坐标分别为(0，4)，(-4, 0)，(3，式为y x 4.30 = 16a - 4b 十 c(2)解法一：设抛物线的解析式为y = ax2+bx + c，贝U «0 = 9a+3b+c，解得= ca=b , c=4，故 y x x