例说圆锥曲线中证明直线过定点的问题

1、对圆锥曲线中证明（求）直线过定点的问题探讨漆绍杰在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明（求）直线过一定点，对于这一类问题如何去思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的 呢？下面让我们一起来探讨一下。既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方 程，过一定点P（xo，y°）的直线系方程可以写成的 y y° k（x x°），那么我们先可写出 直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下面通过具体例子来说明。例1已知抛物线y2 2px（p 0）上有两动点A,B及一个定点M（Xo,y。），F为 抛物线的焦点

2、，且I AF 1,1 MF 1,1 BF I成等差数列。（1 ）求证线段AB的垂直 平分线经过一定点 Q（xo p,0） ； （2）若1 MF I 4 ,I OQ I 6 （ O为坐标原点）， 求此抛物线的方程。分析：(1 )设 A(X1, yd B(X2, y2),''- I AF IX1 X2,I MF I,I BF I成等差数列，xo，由此可设弦 AB的中点坐标为结合定义得x-iP2X2卫22(Xo子）(xo,b)。y122y22p(X1X2)kABy1y2套°p ,弦AB的X1X2y1y2 b中垂线方程为：by b(xxo)yb(xXop)，故弦AB的中垂线过

3、疋点（p Xo,o）。（2）Pp略。例2:在双曲线y2122X131的一支上有不同的二点人仕,), B(.26,6), CXm)与焦点F（0,5）的距离成等差数列。（1）求y1 y2的值。（2）证明线段AC的垂直平分线经 过一定点，并求该定点的坐标。分析：（1 ）vI AF I ,I BF I,I CF I成等差数列，则结合定义得(2)由此，可设弦AC的中点坐标为(x°,6)2X213kAC% y212(xi X2)12xo2xoXiX213(力y2)13 613弦AC的中垂线方程为:y 6132xo(X X0)13X2xo13213x2xo252故弦AB的中垂线过定点25(。2)。

4、例3 :过抛物线x2 y上的定点C(1,1)作两条互相垂直的弦CA、CB ,求证直线AB过定点。22分析：设uu uuuOA OBA%, yj, B(X2, y2)，则 2pxy?2 px?uuu uuuOA ob o(X1 1)(X2 1) (y1 1)(y2 1)所以直线AB过定点(1,2)。(x11)(X21)(X"1)(x；1)0(X11)(X21)(X11)(X21)(X11)(X21)0(X11)(X21)(x1 X22)0因为点A、B与点C 不、重合,所.以(x11)(X21)0 故 X1 x2 20y22X12X2kABy1y2X1X2，直线AB 的方程为：X1X2y

5、1(为X2)(XX1)y(X1 X2)X2X1X1X2y1y(X1x2)x X：1X2y(X1 X2)XX-IX：2 2y2(X1X2)(X1)评析：直线方程虽然被我们“强行”写了出来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一定 点，为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以 达到我们的目的。例4: A,B是抛物线y2 2px (p 0)上的两点，满足 OA OB( O为坐标原点)，求分析：(1 )设 A(x1,y1), B(X2,y2)，则 yj又由UJU OAUJU OBULUOAUJUOB 0X1X2y2(2)2y12y22p(X1X2)Ky1K ABy2X1X

6、22pxi,目；2px2 (y2)2 4p2XM2 20X1X2 4p , y°24p2py y2（2）直线AB经过一定点。证：（i）A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值;直线AB的方程为y y12 P ,、2 p2 pX1(XX1 )y1y2yXy1y2y1y1y22p X y122 pmyy2p(x2p），故直线过定点(2p,0)。y1 y2y1 y2* y2评析：和上题一样我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形,才可以达到我们的目的。例5 :设抛物线 寸 2pX （p 0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于点，点C在抛物线的准线上，且 BC /

7、 X轴，证明直线 AC经过原点。分析：设A（X1,yJ, B（X2,y2），则C（号，y?），直线AC的方程为y *X X1% y2 卫 2X1(y y1)(X1 子)®y2)(xX1)(y2 y1)X (X1y1X1 y2要证直线 AC经过原点，只需证（yy1)(X1 自 0号 y1 X1 y222py1py1 y2y122p2严y22p2 p)尹评析：此处不是由方程直接看出直线经过原点,而是转化为证常数项为0,这样就避免了直接证带来的困难。例6 :已知椭圆2C :X2a21(a b0)的离心率为仝且在X轴上的顶点分别为2A,（ 2,0） A2（2,0）。（1）求椭圆C的方程；（2

8、）若直线l ：X t （ t为大于2的一个定值）与x轴交于点T , P为I上的异于T的任意一点，直线 PAi, PA2分别与椭圆C交于两点M,N，证明直线 MN经过一个定点。分析：（i）Qe C 3,a 2 c .3,b ia 22X o故椭圆C的方程为一 y i4(2)设 M (xi, yj, N(Xi, y2),直线 AM的斜率为ki，则直线AM的方程为yki(x 2)y k(x2x42)消去 y 得(4ki2 i)x2i22i6ki x i6ki 40判别式16 0，解得Xiyi8ki24ki24ki2 ，4ki i所以点M的坐标为（8 k：4ki22 4kii '4ki2 i)，同理可设直线A2M的斜率为k2,则直线AM的方程为yk2 （x 2），所以点N的坐标为（竺4k：2i ' 4k貪），由于直线AM 与直线a2m的交点 P(t, yp)在直线1上，又yki (t2),ypk2 (t2)所以 ki (t2)k2(t2)kik2kik222t由两点式得直线MN的方程为y yiy2yi，令y0得x I"2y y2x x X2 x44将代入得 x -，故直线MN经过定点（一 ,0）。tt评析：此题的计