命题与证明的知识点总结

1、命题与证明的知识点总结知识结构梳理二、知识点归类知识点一 定义的概念 对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如： “两点之间线段的长度， 叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。注意 ：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些” 、“大概”、“差不多”等不能在定义中 出现。知识点二 命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句） ，要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命 如“你是一个学生” 、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。注意：（1）命题必须是一个完整的句子。（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。 知识点三 命题的结构每个命题都

2、有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命 题都可以写出“如果 ，那么 ”的形式。有的命题表面上看不具有“如果 ，那么 ”的形式，但可以写成这种形式。如： “对顶角相等” ，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 。例 把下列命题改写成“如果 ，那么 ”的形式，并指出条件与结论。1、同角的余角相等2、两点确定一条直线知识点四 真命题与假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题 注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。知识点五 证明及互逆命题的定义1

3、、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理） ，得出它的结论成立，这个过程叫作证明。注意： 证明一个命题是假命题的方法是举反例， 即找出一个例子， 它符合命题条件， 但它不满足命题的结论， 从而判断这个命题是假命题。2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题 叫作另一个命题的逆命题。注意 ：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。例 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。（1）直角三角形的两锐角互余；（2）全等三角形的对应角相等。类型一：例、 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作

4、出判断？(1) 对顶角相等； (2) 画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；() ， 两条直线平行吗 ? (5)鸟是动物； (6) 若，求 的值； (7)若 ，则 思路点拨 :通过本题熟悉命题的定义解析： 句子 (1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子 (2)(4)(6) 没有对事情作出判断其中(1)(3)(5) 判断是正确的，(7)判断是错误的【变式 1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1) 若a<b，则； (2)三角形的三条高交于一点； (3)在 ABC中，若 AB> AC，则 C> B 吗?(4) 两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1 23

5、【答案】(1)(2)(4)(6)是命题，(3)(5)不是命题类型二：例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果 那么 ”的形式：(1) 三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3) 对顶角相等；(4) 同角的余角相等；(5) 三角形的内角和等于 180°；(6) 角平分线上的点到角的两边距离相等思路点拨 : 找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句 子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去解析：(1)“三条边对应相等 ”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形 ”这句话添加上去，即命题的

6、条件是 “两个三角形的三条边对应相等 ”，结论是 “这两个三角形全等 ”可以改写成 “如果两个三角形有三条边 对应相等，那么这两个三角形全等 ”( 2)“等角对等边含义 ”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 ”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件： “在一个三角形中 ”，在改写时不 能遗漏(3)这个命题的条件是 “两个角是对顶角 ”，结论是 “两个角相等 ”这个命题可以改写成 “如果两个角是对顶角， 那么这两个角相等 ”( 4)条件是 “两个角是同一个角的余角 ”，结论是 “这两个角相等 ”这个命题可以改写成 “如果两

7、个角是同一个 角的余角，那么这两个角相等 ”( 5)条件是 “三个角是一个三角形的三个内角 ”，结论是 “这三个角的和等于 180°”这个命题可以改写如果 “三 个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；(6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。 ” 总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。【变式 1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假 (1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3) 若 a=0，则 ab=0；(4) 两条直线不平行，则一定相交；【答案】

8、 (l) 对顶角相等 (真)；相等的角是对顶角 (假)；不是对顶角不相等 (假)；不相等的角不是对顶角 (真)(2) 两直线平行，同位角相等 (真)；同位角相等，两直线平行 (真 )；两直线不平行，同位角不相等 （真）；同位角不相等，两直线不平行 （真 ）（3）若 a=0，则 ab=0（真 ）； 若 ab=0，则 a=0（假 ）； 若 a0，则 ab0（假） ； 若 ab0，则 a0（真）（4）两条直线不平行，则一定相交 （假） ； 两条直线相交，则一定不平行 （ 真）； 两条直线平行，则一定不相交 （真 ）； 两条直线不相交，则一定平行 （假 ）【变式 2】判断正误：（1） 如果两个角是对顶

9、角，那么这两个角相等。（）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（）（3）如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。（）（4）如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。（）（5）如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。（）（6）如果两个角的和是 180°，那么这两个角是邻补角。（）（7）对顶角的角平分线在同一条直线上。（）（8）如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。【答案】：（1） ；（2） ×；（3） ×；（4） ×；（5） ；（6） ×； （7） ；（8） ×。 注：判

10、断题如果是正确的命题需要加以说明或论证，找出依据，如果是错误的命题，只要举出一个反例即可。知识点六 公理与定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的 真命题叫做公理。 以基本定义和公理作为推理的出发点， 去判断其他命题的真假， 已经判断为真的命题称为定理注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；（2 ） 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。例 填空：（ 1）同位角相等，则两直线；（ 2 ）平面内两条不重合的直线的位置关系是；（ 3）四边形是平行四边形。知识点七 互逆定理如果一个定理的逆命题也是定

11、理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如： “对顶角相等”就没逆定理。知识点八 证明的含义从一个命题的条件出发， 通过讲道理 （推理），得出它的结论成立， 从而判定该命题为真， 这个过程叫做证明。 推理证明的必要性： 判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进 行推理。证明命题的步骤： 由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每 一步推理都要有根据，不能 “想当然 ”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定 理。（证明命题的格式一

12、般为： 1）按题意画出图形； 2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知 ”中写出条件，在 “求证”中写出结论； 3）在 “证明 ”中写出推理过程） 证明的四个注意（1）注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题： 公理可以作为判定其他命题真假的根据 .（2）注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理， 可以以它们为根据推证其他命题 . 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的 .（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如 “两直线平行，同位角相等 这个命题，如果只采用测量的方法

13、 . 只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的 . 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等 .（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然 ”. 论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；论据的真实性不能依赖于论证的真实性；论据应是论题的充足理由 例 1. 证明：两直线平行，内错角相等。已知： a b,c 是截线求证： 1= 2分析：要证 1= 2只要证 3=2 即可，因为 3 与 1是对顶角，根据平行线的性质，易得出3=2证明： ab（已知 ） 3=2（两直线平行，同位角相等 ） 1=3（对顶角相等 ）1=2（等量代换

14、）例 2. 如图所示，已知： A= F， C= D，求证： BD CE分析：要证 BD CE，只需证得 D= CEF 或 D+ CED=18°0 即可，由于 C=D，因此只要 C=CEF 或 C+ CED=180°，这就需要有 AC DF ，由已知条件中的 A= F，可以得出 AC DF，故此题可证证明： A=F（已知 ）AC DF（内错角相等，两直线平行 ） C=CEF（两直线平行，内错角相等 ） 又 D= C（已知 ） D=CEF（等量代换 ） BDCE（同位角相等，两直线平行 ）变式】 已知：如图正方形 ABCD 中，E为 CD边上一点， F为 BC 延长线上一点，且

15、 CECF （ 1）求证： BCE DCF（ 2）若 FDC 30°，求 BEF 的度数。知识点九 反证法反证法： 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题成立，这 种证明方法叫做反正法。反证法的基本步骤：1.假设命题的结论不成立2.从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。3.有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确结论的反面不止一种情形的反证法 ：应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论，再全面地否定 结论，如果结论的反面不止一种情形，那么

16、必须把各种可能性都列出来，并且在逐一加以否定之后，才能肯定原结 论正确。例 1、已知：如右图，直线 l1，l 2， l 3在同一平面内，且 l1l2，13与 11 相交于点 P. 求证： 13与 l2相交（使用反证法）思路点拨 : 仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。 解析： 证明：假设， 13与 l2 不相交，即 l3 l2 ，又 l1 l2 （已知）， 过直线 12外一点 P 有两条直线 11,13与直线 12平行，这与 “ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ”相矛盾，假设不成立，即求证的命题成立，13与 12相交【变式 1】用反证法证明不是有理数【变式 2】我们年级有

17、367 名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日巩固训练, 那么”的形式是1. 把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果2. 命题“如果 a2 b2 , 那么 a b”的逆命题是3. 命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一个命题 （填“真”或“假”4.如图, 已知梯形 ABCD中, AD BC, AD3,AB CD4, BC 7, 则 B5.用反证法证明“ b1b2”时, 应先假设6. 下列语句中 , 不是命题的是A. 直角都等于 90° B.面积相等的两个三角形全等 C. 互补的两个角不相等D.作线段 AB7. 下列命题是真命题的是（A.两个等腰三角形全等B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等C.同位角相等D.两边和一角对应相等的两个三角形全等8. 下列命题的逆命题是真命题的是（221)x a1, 则 x 1A.两直线平行同位角相等 B. 对顶角相等 C. 若 a b, 则 a2 b2 D.若（a9. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等