和差化积,积化和差

1、.-37积化和差、和差化积（理）【教学目标】1经历积化和差、和差化积的复习过程，进一步掌握三角公式系统的逻辑结构；2能够用积化和差、和差化积公式，半角公式解决有关的三角计算、化简与证明问题；3体会三角问题中角度的变化，体会半角与倍角的相对性，感受辩证唯物主义的思想；【教学重点】积化和差、和差化积公式，半角公式的推导与应用。【教学难点】正确运用积化和差、和差化积及半角公式解决问题。【知识整理】1积化和差公式sincos1 sin()sin() ； cos cos1cos() cos() ；22sinsin1cos()cos() 22和差化积公式sinsin2sin2cos,sinsin2coss

2、in，222coscos2cos2cos,coscos2sinsin。2223半角公式sin1cos1cos1cos；,cos2, tan21cos222tansin1cos。1cossin24万能公式2tan2 ,cos1tan22 ,tan2tansin21tan21tan221tan222.-【例题解析】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 填空：（ 1）计算 sin12cos 512（2）若 cos3，且0,2，则 tg2.5（3）函数 ysin( x) cosx 的最小值等于.6（4）函数 ycos xcos( x) 的最大值等于.13（5）已知 t

3、an，则 sincos.22【解答】23 ；（2）1 ；（3）；（ 4）3 ；（5）（ 1）437 。245【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 求函数 y 2 cos( x) cos(x) 3 sin 2x 的值域和最小正周期44【解答】 因为 2cos(x) cos(x) = cos2x cos,4422所以 y cos2x3 sin 2x 2sin(2x) , 所以 y2,2, T.62【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，易，运算能力【题目】 证明： tan 3xtan x2sin x.22cosx cos2x.-【解答】 证明：略。【属性

4、】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】（ 1）设 32 ，cos() cossin() sin1，求 tan()2342的值（2）已知 sin(364（其中 ,为锐角），求 cot() 的值), cos28554【解答】 (1)32,所以 sin22所以 tansin22,1 cos,3221tan即 tan(2)232 241tan236(2),为锐角 ,(,) ,sin(0,) ,)，所以22852sinsin ()= sin() cossincos(15,) =8sin317计算得 cos,所以 tan,171cos521tan1cot()2241tan42【属

5、性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】 在ABC 中，已知 a2b2c2ab.（1）求C 的大小；3（ 2） 设 sin Asin B，判断三角形ABC 的形状。4【解答】解：（ 1） C60o ；（ 2）由 sin Asin B31 cos(A B) cos(A B)3，424由C60o 得， AB180o60o120o ，所以 cos( AB)1.-即： AB ，三角形 ABC 为等边三角形。【课堂反馈】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 计算 cos20cos40 的值等于sin 20sin 40【解答】3【属性】高三，三角

6、比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 已知是第三象限角，且 sin24等于，则 tan【解答】25243【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 化简： 4sin(60 o) sinsin(60o).【解答】 sin3【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 已知2,0,0 ，求 ysinsin的最大值与最小值。3.-【解答】 当时， ymax30 时， ymin 0 。；当34【课堂小结】1 半角的正弦、余弦和正切公式前面的号不表示有两解，表示符号不确定，需要选择；2 万能公式的作用是将异名三角比，转化为同名三角比，

7、 将三角比转化为代数问题来解决；3 “异角化同角” 、“复角化单角” 、“异名化同名”以及“切割化弦”等思想方法，是解决三角问题常用的思想方法；4 形如 sinsin;coscos;sinsin;coscos的三角比计算式，习惯上当为常数时，可以尝试用和差化积或积化和差公式来解决问题。【课后作业】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 计算 sin5cos7 的值等于88【解答】1224【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，易，运算能力【题目】 函数 fxsinxsinx的最小正周期是32【解答】。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易

8、，运算能力.-【题目】 已知 0，化简1cos1cos【解答】 2 sin()24【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 已知 cos()1) 的值，求 sin sin(643【解答】 sinsin()1cos(2) cos()3233又 cos()1， cos(2)2 cos2 () 176411368所以 sinsin()1631 cos(2)1，234，【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 已知函数 f ( x)tan x ， x 0,，且 x1, x20, , x1 x2 ，求证：22f ( x1x2 )1 f (x1)

9、f ( x2 ) 。22【解答】 证明：略。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，难，运算能力【题目】 已知 coscos1 , sinsin1，求 sin() 的值。23【解答】 因为 cos cos11 得， ， sinsin ， 23.-1) sin()1即 sin() cos(1(sin 2 sin 2，) 1，2662+2得， 22 cos()13，所以 sin()12.3613【题目资源】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 若 sin(x) cos(x)1，则 cos4x444【解答】12【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空

10、题，易，运算能力【题目】 如果 cos132 , 则 cos，252【解答】155【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 已知 f ( x)=1x .若, , 则 f (cos )f ( cos ) 可化简为 .1x2【解答】 2 csc【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力.-22。【题目】 cos()cos cos() 化成和差的结果等于331【解答】cos3【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 若 tant ，则cos2。等于21 sin2t 22t1【解答】t22t。1【属性】高三，三角比，和差化

11、积与积化和差，选择题，易，运算能力【题目】 已知是第三象限角，并且24等于（）sin =，则 tan2524334（A）（ B）（C）（ D）3443【解答】（ D）【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，选择题，难，运算能力【题目】 已知 coscos1 , sinsin1，则 sin() 的值等于（）55212312（A）（ C）（ B）（D）13131313.-【解答】 因为 coscos1， sin1， 得，2sin1131sin()即 sin() cos()1(sin 2 sin 2 )，2662+2得， 22 cos()13，所以选36【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，选

12、择题，中，运算能力【题目】 设是第二象限角，则必有（）（A） tancot（ B） tancos（ D） sincos2222【解答】（ A）【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 不用计算器求值：cos2 10cos2 50cos2 70 【解答】 原式 =1cos201 cos1001 cos140 2cos80 o cos 60o cos100o2233sin 10sin1032222【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，中，运算能力如果2，则函数 ysin cos 的最大值等于【题目】,032.-【解答】 y1sin()sin() 31 si

13、n() ，又因为 0，24222，所以,2 ，2,，36333所以最大值等于3 2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】 在 ABC 中，已知 tan A tan B 33 tan A tan B ，且 sin Asin B3，4试判断 ABC 的形状【解答】解：在 ABC 中tan Atan B3(1 tan A tan B) ，得 tan( AB)3 ，因为A B (0,) ，所以A B2，31 cos(A11 cos(A C)3又 sin A sin BB)cos(AC) ，所以，2424即 cos( A B) 1，因为AB( ,)，A B0，所以 A B

14、，即 ABC 为等边三角形【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 在 ABC 中，求证： sin Asin Bsin C4sin A sin B cos C 222【解答】 证明：略。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力.-【题目】 若等腰三角形的顶角的正弦值为24 ，求这个等腰三角形底角的余弦值25【解答】 设顶角为，底角为，所以2，又因为 sin24，25所以 sin(2 )247或 cos 271 cos2，即 cos225， 又 cos，25252所以 cos43或55【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能

15、力【题目】 已知 sin() sin()1 ，（，） ,求 sin 4的值 .4462【解答】 由 sin(4) sin()1cos2cos2 =1 cos2.4221又（，） , 2(,2) , 因为 cos20 ,所以 cos 232所以 2（ 3，2），因此 sin 22 2,23所以 sin 42 sin 2cos 242.9【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 证明： sinsin 3sin 5sin 2 3sin【解答】 证明：略。.-【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】 已知 ABC的三个内角112A， B， C

16、满足： AC 2B，cosC，cos AcosBAC求 cos的值 .2112cos A cosC2【解答】 由cosCcosB, 得cos Bcos Acos A cosC2 cos A C cos AC2AC22cos A cosC， cos2cosB又 A+C=2B , 所以B1,cos, cos B322cos A cosC ，2cos2 BAC2 cos( AC )cos( AC )2所以 cos AC = 2 2 2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】 把 1 sin 2cos(2 )sinsin(2 ) 化简所得结果等于。231212【解答】 sin2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力sin10 ocos70o。【题目】 计算cos20osin80 o【解答】 23.-【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 化简： cos(120o)cos(120o)cos(12