无穷级数内容小结

1、,称为前n项部分和。1.数项级数:W-I/=1若存在常数S,使s = limsn,则称级数收敛，s为该级数的和；否则级数发散。g/r-l8rt-lBrt-l2 数项级数性质：1）二 C:2）若级数/J收敛于s9a,则级数8ZX 土"”收敛于zs±a:3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变:4）收敛级数任意加括号所得 的级数仍收敛，且其和不变。5）若级数On=收敛，必有lim 幵=0幵»*3两个重要级数：1)儿何级数:(00a + aqaq2 +-+aqn1 +aO)若g|vi,级数收敛，其和为a,若Qi,级数发散。2) p级数：® iy,iii1

2、+1+2P Vnp(p>0)若P>1,级数收敛；若,级数发散；当P二1时，调和级数日n 发散。4.正项级数审敛法：对一切自然数n,都有 说(I为正项级数方法：1）比较审敛法：设和W-I都是正项级数，且（n二1,2,）若级数g/J收敛，则级数8/J收敛；若级数ODW-I发散，则W-I发散。2）比较审敛法的极限形式:8/J若,则ulim 丄=In->oo V n(0</< +oo)和Brt-l8/J同时收敛或同时发散。3）比值审敛法：若28 U，则若PCI,级数收敛；若（包括lim"间=oo）/t-HO "前,级数发散；当P二1时，级数可能收敛，也

3、可能发散。4根值审敛法：若lim= P丽T<®,则若pl,级数收敛；若p>（包括lim?你=8）"Too,级数发散；当P二1时，级数可能收敛，也可能发散。5交错级数的莱布尼茨审敛法：设£（-1广&Jt=l为交错级数，若1）对一切N有忍;2）lim 幵=0幵一8兀,则级数ir=l收敛，且其和s<uA6.级数的绝对收敛和条件收敛：若收敛，则级数On=l绝对收敛；若oo/I=l收敛，而发散，则级数条件收敛。7.幕级数的收敛半径收敛区间:,都存在一个R,使对一切都有级数绝对收敛，而当"IO«=|00-0对任意一个幕级数汕”=0

4、0< 7? < +89汕”卜|>/?时级数发散。称R为该幕级数的收敛半径，(-R,R)为收敛区间。当幕级数只在x=0点收敛时，R二0;当 对一切X幕级数都收敛时R +(。8.收敛半径、区间的求法：对幕级数00，若为非零正数时,R = P;当p = 0时，R = +00;当p = +oo时，R二 09 幕级数的性质：1）（和函数连续性）设幕级数的收敛半径R（0 V R S +8），其和函数s（x）在（-R, R）内连续。若它在x二R（或-R）处收敛，则s（x）在上连续。2）（逐项积分）（-儿耶或-儿筒）（茲皿 n=0f丄一严,且前后收敛半径相同3）逐项可导：如（茲刊 ir=0i

5、rOzr0,且前后收敛半径相同10 函数的幕级数展开式：f（X）在点附近有任意阶导数，称幕级数fM+/'（心）（*-斗）+n十为/（兀）在点X。处的泰勒级数，并称（11加n =）为/（工）在点X。处的泰勒系数，特别地，当x0 = 0时，称幕级数/(0)+叫2!+/w(0)n!十为的马克劳林级数，并称为的马克劳林系数。r（x）= jr(o)片r（x） 常用函数幕级数展开式:8 /V 二 1+X + X2 +2!x e (-qo+oo)sinxy JdT 严 幺(2刀+ 1)!X 6 (yO+oo)COSX2!x e (-00,+oo)ln( + x)£ (-旷兀"x1

6、 XsX1丄I- XCC心1 + x + x2 + -1 < x< 111 +X1-X+ X1-1 < x< 1(1+h乙川兀It=o"=1+9一 a(a-l) J , ax x + 2!-1<X<112.求函数幕级数展开式的方法:1)直接展开法求各阶导数，代入泰勒级数并检查泰勒余项Rn(x) -> 0(“ -> oo)的区间。2)间接展开法利用函数与已知幕级数展开式的函数之间关系及其在收敛区间的性质求得。13傅里叶级数：设/(x) 是以2托 为周期的周期函数，山公式an = p f(x)conxdxn-0丄2,) 严bn = J f(x)sinnxdx/I = 1,2，)所确定的系数称为/(x)的傅里叶系数，称山上述傅里叶系数确定的级数COSWX +hn sin nx)为的傅里叶级数。14.傅里叶级数的收敛定理：设r(x)是以2洱为周期的周期函数，若满足1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2)在一个周期内至多有有限个极值点，则r(x)的傅里叶级数在(GO,+oO)收敛