《基本不等式》教案

1、基本不等式教学设计教材：人教版高中数学必修 5 5 第三章一、教学目标1 1 通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2 2 进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3 3 结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4 4借助例 1 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式-的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略.

2、以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式丿的证明过程;难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.1.动手操作，几何引入如图是 20XX20XX 年在北京召开的第 2424 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数 和几何是紧密结合、互不可分的.探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗?在正方形-3.7S-3.7S

3、 中有 4 4 个全等的直角三角形.设直角三角形两条直角边长为-，4 4 个直角三角形的面积之和丄二探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构 造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠)假设两个正方形的面积分别 为；和 9 9 ( ( = = 3:)3:)，考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗?通过学生动手操作，探索发现：-2 2 代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论:若乩比用，则 a a3 3十沪2ab则学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系

4、中的相 等条件，从而进一步完善不等式结论:+a * 、価玄士(1)(1)若工厂，则工厂二山；(2 2 )若工厂，则二那么正方形的边长为曰是,若二正方形的面积亠T 1 1请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法）cP +0-L； L二衣，当二=上时取等号.（在该过程中，可发现 厂的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于二二：，于是要证明,只要证明-： -,即证 I I - - - - - -,&十b 區即 1,该式显然成立，所以-，当左时取等号.得出结论，展示课题内容基本不等式：若= ,贝 U U（当且仅当-时，等号成立）若则丁丨-二-工（当且仅当左八时，等号成立）深

5、化认识：称、匚为的几何平均数；称 -为的算术平均数基本不等式-又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3 3 几何证明，相见益彰探究三：如图，3 3 三是圆二的直径，点是 3 3 三上一点，上二=二，耳= 过点匸作垂直于二三的 弦连接 J J - - 根据射影定理可得：-z;由于 Rt_Rt_匚二二中直角边 K ：斜边応，应 V 土于是有-当且仅当点 匸与圆心二重合时，即 =-时等号成立.故而再次证明：当时，-（当且仅当二=?时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4 4 应用举例，巩固提高例 1.1. （1 1）用篱笆围一个面积为100100 平方米的矩形菜

6、园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2 2）段长为 3636 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？（通过例 1 1 的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征，实现积与和的转化）（1 1）若（定值），则当且仅当h时，有最小值- -；（2 2） 若（定值），则当且仅当- =-时，刁有最大值（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神）7 7 = = 1+1+ 丄 g g 0 0）例 2.2.求.1的值域.I 1变式 1.1.若：，求的最小值.尸=X X +

7、 + 2 2（H H # # 0 0）在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示-的函数图象，使学生再次感受 数形结合的数学思想.并通过例 2 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式1 1 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略.练一练(自主练习)：1.1. 已知厂；L L，且，求门的最小值.2.2. 设 T -:且八，求下的最小值.5.5.归纳小结，反思提高基本不等式：若-，则-八十/二亠上(当且仅当=上时，等号成立)* 個 W 竺迪若二:=-:,则-(当且仅当二=-时，等号成立)(1)基本不等式的几何解释(数形结合思想)；(2)运用基

8、本不等式解决简单最值问题的基本方法.媒体展示，渗透思想：_ _ E E 十 F F若将算术平均数记为：，几何平均数记为 J J_ _利用电脑 3D3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面-在曲面- 的上方6.6.布置作业，课后延拓(1) 基本作业：课本 P100P100 习题二组 1 1、2 2 题(2) 拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流.(3) 探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托 盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量这种说法对吗？并说明你的结论

9、.基本不等式教学设计说明一、内容和内容解析本节课是人教版高中数学必修5 5 中第三章第 4 4 节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续 的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。 基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是 对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要 自主探究、动手实践、合作交流、阅

10、读自学，师生互动，教师发挥组织者、弓 I I 导者、合作者的作用，弓 I I 导学生主体参与、揭示本质、经历过程。就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公 式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究 中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生 创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。二、教学目标和目标解析教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下

11、探究基本不等式的证明过程，理解基本 不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景 的初步了解。学生已经学习了不等式的基本性质， 可以运用作差法给出基本不等式的证明， 同时， 介绍并渗透分 析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例1 1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2 2,

12、引导学生领会运用基爲5玄空色本不等式J的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用， 并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的 能力，体会方法与策略。三、教学问题诊断在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导， 学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活 学生的思维，增强数形结合的思想意识。另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立

13、的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时， 学生往往容易忽视基本不等式J使用的前提条件洽 I I，同时又要注意区别基本不等式匸二一 I I 的使用条件为 n。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。 而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。四、教学支持条件分析为了能很好地展示几何图形，体会基本不等式的几何背景，教学中需要有具体的图形来帮助学生理 解基本不等式的生成， 感受数形结合的数学思想， 所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要， 同时演示动画帮助学生

14、验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑3D3D 技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。五、教学设计流程图教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线， 探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解, 明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现 在教学活动之中。六、教法和预期效果分析本节课通过 6 6 个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究 等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为 主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。同时，以多媒体课件、几何画板、电脑3D3D 技术作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变