无穷积分收敛的概念

1、第-节瑚辦枷金一、无穷积分收敛与发散概念二、无穷积分与级数基本积分公式 基本积分公式(1) kdu = ku + C(2) juadu =a + 1(3) du = lnu +C J uU(4) audu =+ CJInai (6) J cos udu = sinu + Csinudu = -cosu + C(9)Ji (8) | sec wrfw = tanw + C esc2 udu = -cotw + C(10) j secw tsinudu = secw + C（呵cscwcotwJw = -cscw + C(12)Jdu= = sinu + C u2(13) - = arctanw

2、+ CJ 1 + u一、无穷积分收敛与发散概念1定义1设函数/（兀）在区间偽+8）（或 （-00,* ,（-00,+00）有定义，符号J°°/（x）rfx （或巳/（兀）必J二心冷）称为函数/（兀）的无穷积分。定义2设X/pwR,p>a,函数f在p可积, 若极限 lim P/（x）rfxPT+8存在（不存在），则称无穷积分J；°°/（x>Zx收敛（发散）,其极限称为无穷积分的值)，即£hoo/(x)rfx= lim J： f(x)dxp>+oo定义3设PqwR,q<S函数f(x)在q,b可积，若极限存在(不存在)，则称无

3、穷积分j'jMdx 收敛(发散)，其极限称为无穷积分CfMdx（的值）,即（工加=Um ff（x）dx.gT-8 4定义4若3c e两个无穷积分匚/（兀冷与J；°°/（x>Zx都收敛（至少有一不发散）， 则称无穷积分J/（x）rfx收敛（发散），且芷:/（兀）必=匚/（兀冷+/（兀冷几何意义：V注：若要考察/(X)S区间(-oo，+oo)的可积性 要验证下面两个极限lim p f(x)dx 与 lim Cf(x)dx 都存在.2.例题例1求下列无穷积分：+8丄x(lnx)dx.+°°xex2dx; J：仁-仏；览例2求下列无穷积分：

4、7;+oo dx°°l + x2edx0°°l + xr+ooJodx 1 + X计算方法：若函数/（兀）在区间。，+8）存在原函数F(x),即Fx) = /(x),=lim f/(x)rfxp-»+8厂7（兀"兀=lim F(p)-F(a)PT+8= F(+oo)-F(«)3练习dx2兀2 + 2x +1f00dxx2(l + x)11 + x2arctanx >e 必;例3判别无穷积分ff (a > 0) 的敛散性.例4判别无穷积分+8 dxI圖尹的敛散性.二.无穷积分与级数t:/(兀冷，匕/(兀冷的敛散性都

5、可归结为形如f；°°/(x)rfx的无穷积分.+8 dx x1f1n=inA1 2>1收敛收敛2<1发散发散于（乂皿收敛O定理1无穷积分对任意数列A,MwN,有人Wa,+oo),而 £ = a, lim An = +8,级数+1 f(x)dx收敛于同一数，且£hoo/(x)rfx =+i f(x)dx.证明必要性已知无穷积分收敛，即(兀冷=(兀冷un->oo uf(x)dx =+1 f(x)dx.充分性 已知对任意数列An,而£之,lim Atl = +死Too时，级数自腐 fx)dx 收敛于同一个数，即它的部分和数列f(x)dx收敛于同一个数。由海涅极限定理，无穷 积分仃。0于（兀）心收敛，且Jf/U)rfx = lim+1/(x)rfx*H>QO00 4= zCv(xwx k=l令 p(p) = J/(x)dx,证明 fa f