2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试_附详细解答)VIP

1、2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1不等式的解集为2过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为_. 三角形 正方形 梯形 五边形 六边形3直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_ _.4复数，使，则的所有可能值为 _ _5所有的满足条件的正整数对的个数为 6设为方程的根（），则 _.7将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为. 则使不等式成立的事件

2、发生的概率等于 8已知A, B, C为ABC三内角, 向量,.如果当C最大时,存在动点M, 使得成等差数列, 则最大值是_ _.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9对正整数，记，求数列an中的最大值10给定正实数k，圆心为()的圆至少与抛物线有三个公共点，一个是原点(0, 0)，另两个点在直线上，求的值（用表示）11已知函数其中为实数，求所有的数对(a, n)(nN*),使得函数在区间内恰好有2011个零点2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_考试号：_得分：_一、（本题满分40分）在中，是斜边上的高，

3、记分别是ADC, BCD,ABC的内心，在边上的射影为，的角平分线分别交于，且的连线与相交于，求证：四边形为正方形ABCPQID O1I1I2二、（本题满分40分）给定正数a, b, c, d, 证明：三、（本题满分50分）设，定义，证明：当时，为整数，且为奇数的充要条件是四、（本题满分50分）试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案1 由得，原不等式可变为解得故原不等式的解集为2答案：，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且可以截得3提示：, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，2），数形结合可得.4答案：

4、0，1， 解：=，当 时，满足条件，当 时，设 ，由(2) 1） 代入(1) 整理得：2），则 代入(1) 得：，经检验复数均满足条件. 的所有可能值为0，1，.5解：显然由条件得，从而有即，再结合条件及以上结果，可得，整理得，从而即，所以当时，不符合；当时，（不符合）综上，满足本题的正整数对只有，故只有1解6答案：，由题意， 由此可得，以及7提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当

5、b=6时，a可取3、4、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为8解: ,等号成立仅当.令|AB|=2c,因,所以 M是椭圆上的动点.故点C(0,), 设M(x,y), 则|MC|2x2+()2.当y时, |MC|2max=, |MC|max. 即max.9解：经计算知，下面用数学归纳法证明：当时，有假设，则 所以数列an中的最大值是10解：设O: 即抛物线与直线的两个交点坐标为，则，即 , 这两点亦在圆上，即Þ同理 , 即 比较，知：11解：首

6、先，函数以为周期，且以为对称轴，即，其次，关于对称，在及上的零点个数为偶数，要使在区间恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若，则，考虑区间及上的零点个数当时，令则，解得（舍），故在内有两解当时，令，则，解得（舍），（舍），故在内无解因此，在区间内有三个零点同理可得满足条件 加试题 一 证明：不妨设，由且分别是其内心，得 且，所以 则 设的内切圆半径分别为，的三边长为，在边上的射影为，并且 ，则，所以 ， ， ，因此且，则四点共圆 （由知）所以， 同理 ，又由角平分线性质得ABCPQID O1I1I2同理，另一方面，又，而，所以， 同理，所以四边形为平行四边形，由知四边形为正方形二解

7、：由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数x,y,z,下式成立x3+y3+z3x+y+zx2+y2+z23.因为如果上式成立, 则原式的左边不小于a2+b2+c23+b2+c2+d23+c2+d2+a23+d2+a2+b23=a2+b2+c2+d2.不失一般性, 可以在x+y+z=1的假设下证明上述不等式. 如果x+y+z1, 只要将不等式两边同除(x+y+z)2, 令X=x/(x+y+z), Y=y/(x+y+z), Z=z/(x+y+z). 于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件X+Y+Z=1的正数X, Y, Z, 证明X3+Y3+Z3X2+Y2+Z23. 此不等式证明如下：3X3+

8、3Y3+3Z3X3+Y3+Z3+X2Y+X2Z+XY2+Y2Z+XZ2+YZ2=X2X+Y+Z+Y2X+Y+Z+Z2(X+Y+Z)=X2+Y2+Z2.三证明：注意到 得反复运用上式，得，其中，得，从而可知，因此是整数. （1）当时，由有奇数个奇数项知为奇数，所以为奇数. （2）当时，故，所以为偶数 （3）当时，故，所以为偶数综上所述，命题成立，证毕.四解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，999，1000，1001，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，.再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数，称如下10个数所构成的集合:为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属