大物B课后题08-第八章电磁感应电磁场

1、习题8-6 一根无限长直导线有交变电流i=I°sint，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD，a和b,试如图所示，长为I的AB和CD两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为 求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。dS二Idx，载流长直导线的磁场解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元穿过该面元的磁通量为ldx2二 x1通过矩形面积CDEF的总磁通量为A ?怖ldx2二 x2 :#%l°lb + ln cos tan，在管的中心放置一绕了N圈，半dI dt，球小由法拉第电磁感应定律有dt2兀8-7有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为 径为r的圆

2、形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为 线圈中感应的电动势。解 无限长直螺线管内部的磁场为B = %nl通过N匝圆形小线圈的磁通量为 m = NBS 二 N% nl 二 r2由法拉第电磁感应定律有dmz 2 dI一二-N 丄0n二 rdtdt8-8 一面积为S的小线圈在一单位长度线圈匝数为n，通过电流为i的长螺线管内，并与螺线管共轴，若i =i0sin t，求小线圈中感生电动势的表达式。#解 通过小线圈的磁通量为由法拉第电磁感应定律有亍加證忌。® "8-9如图所示，矩形线圈面的法线方向之间的夹角为ABCD放在B =6.0 10和的均匀磁场中，磁场方向与线

3、圈平-60 ，长为0.20m的AB边可左右滑动。 若令AB边以速率v = 5.0m *s4向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。解利用动生电动势公式B0.20-(v B)dl5 0.6 sin ( ? - 60 )dl = 0.30(V)感应电流的方向从A > B .8-10如图所示，两段导体 AB和BC的长度均为10cm，它们在B处相接成角30 ；磁场 方向垂直于纸面向里，其大小为B =2.5 10，T。若使导体在均匀磁场中以速率v=1.5ms，运动，方向与 AB段平行，试问 AC间的电势差是多少？哪一端的电势高？解 导体AB段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产

4、生。BC段产生的动生电动势为C1.1023(v B)dl 1.5 2.5 10 cos60dl=1.9 10 (V)AC间的电势差是UAC = 二-1.9 10"(V)C端的电势高。8-11长为l的一金属棒ab,水平放置在均匀磁场 B中，如图所示，金属棒可绕O点在水平面内以角速度旋转，O点离a端的距离为L k。试求a,b两端的电势差，并指出哪端电势 高（设k>2）解建立如图所示的坐标系，在Ob棒上任一位置x处取一微元dx，该微元产生的动生电动势为d ； =(v B)dx - - xBdxOb棒产生的动生电动势为l 丄 k1212；ObxBdxBl (1)02k同理，Oa棒产生的

5、动生电动势为1k12 l2° "购2旧衣金属棒a,b两端的电电势差1 2 l 121 2122Uab =ab 二 6 - ；ObBl2 门Bl2（1 -）2Bl%-；）2 k 2k 2k因k>2，所以a端电势高。8-12如图所示，真空中一载有稳恒电流I的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径为r，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径cd的延长线与长直导线相交，导线与圆心O之间距离为I，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度v垂直纸面向外运动时，求：（1）回路中感应电动势的大小；（2）半圆弧导线cd中感应电动势的大小。解 （1）由于无限长直导线所产生的磁场方

6、向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势0。（2）半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以可由直导线计算感应电动势的大小选取x轴如图8.7所示，在x处取线元dx,dx中产生感应电动势大小为d ； = v B «dl%12二 x导线cd及圆弧cd产生感应电动势的大小均为l rI vBdx =2 二58-13在半径R=0.50n的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且dB dt =1.0 10T *sJ，圆柱体外无磁场，试求离开中心O的距离分别为0.1m,0.25 m,0.50 m,1.0m

7、和各点的感生电场的场强。解变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有E感dl 弓dSLS HFB而.-E感感2二r,- -BdS =LS :：tdBdt: r#当r : R时，dB 2E感 2 二 rr感dtl1 dBE感r _2 dt所以r =0.1m时，E感=5.0 10，V m，； r = 0.25m时，。E感二 1.3 10V *mE感裁22r dt所以r =0.50m时,E感=2.5 10V *m;r =1.0m时 E感=1.25 10，Vm，8-14如图所示，磁感应强度为 B的均匀磁场充满在半径为R的圆柱体内，有一长为l的金属棒ab放在该磁场中，如果 B以速率

8、dB dt变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒两端的电动势等于B!l R2 1dt 2 Y (2 丿证明方法一连接Oa,Ob,设想Oab构成闭合回路，由于 Oa,Ob沿半径方向，与通过该处 的感生电场处垂直，所以Oa,Ob两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路Oab的总电动势就是棒 ab两端电动势。根据法拉第电磁感应定律-abodB"'Oab - -SdtdB1LR2dt 2 ,(1】6#方法二变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为dBdt棒ab两端的电动势为blE感 *dx = ：0 E感 cosrdx -dt rdB1dt 2R2(1 丫I- f丿#8-1

9、5如图所示，两根横截面半径为a的平行长直导线，中心相距 d,它们载有大小相等、方向相反的电流，属于同一回路，设导线内部的磁通量可以忽略不计，试证明这样一对导线ld . a长为l的一段的自感为L01 l nd a 。兀a解两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为#穿过两根导线间长为dx的一段的磁通量为d -ad -a 巴 I巴 IIdx2 - x 2二 d - xm = .a BdSa 2ji所以，一对长为的一段导线的自感为© LI8-16 一均匀密绕的环形螺线管,环的平均半径为 R，管的横截面积为S，环的总匝数为N，管内充满磁导率为.L的磁介质。求此环形螺线管的自感系数L。解当环

10、形螺线管中通有电流通过环形螺线管的磁链为I时，管中的磁感应强度为B='- nlJIN2 - R#JIN 2S7r，外径为r dr的同轴薄圆筒的体积dV =2二rldr中磁场能量为dWm1 B；dVdr则环形螺线管的自感系数为L '-mJN2SL =二I2jtR8-17由两薄圆筒构成的同轴电缆，内筒半径R,外筒半径为R,，两筒间的介质=1。设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I相等，求长度为丨的一段同轴电缆所储磁能为多少？解 有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为r : R 时，B =0R c r cR；时，B2二钿2兀rr R；时，B3 = 0在长为L

11、 ,内径为8#所以，长度为l的一段同轴电缆所储能为补充在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P的电场强度为E，磁感应强度为 B，此空#间区域介质的介电常数 ：-.0，磁导率- 。求P点处电场和磁场的总能量体密度w。解电场能量密度为磁场能量密度为1we :2；°E21 B2wm =2 %#总能量密度为w = WeWmNj =50，把它28-19 一小圆线圈面积为S -4.0cm，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为放在另一半径R； =20cm， N； =100匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的电流每秒减

12、少50A，试求小线圈中的感应电动势。解 当大圆形线圈通有12时，它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为1 I'- m *代3対也2 S2R2两个线圈之间的互感为M -I2NWS 50 100 0 估丄 10伽2 0.29如果大线圈导线中的电流每秒减少50A，则小线圈中的感应电动势为di_64= 6.28 1050 =3.14 10_(V)dt8-20 一螺线管长为 30cm。由2500匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率7 -100，当它的导线中通有 2.0A的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。解

13、螺线管中的磁感应强度为螺线管中的磁场能量密度为1 b21.74 105J/m30 rI，且I均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为I的一段8-21 一根长直导线载有电流 导线内部的磁场能量。解 有安培环路定理可得长直导线内部的磁感应强度为卩IrB J2 二 R在长度为I的一段导线内部的磁场能量1 b2W,=dV'02I 2 42兀rldr 0 4 R4R%l2r%|2|16：#8-22 同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，它们之间充满了相对磁导率为Jr =1的介质，假定导线的半径为R,，圆筒的内外半径分别为R2和R3，电流I由圆(1)在空间各个范围内的筒流出，由直导线流回

14、，并均匀地分布在它们的横截面上，试求:磁能密度表达式;(2)当R =10mm, & = 4.0mm, R3 = 5.0mm, I =10A时，在每米长度的同轴线中所储存的磁场能量。解（1）有安培环路定理可得在空间各个范围内的磁感应强度为r :R1时B12 ； R| ： r : R2 时 B22R2二 rR2: r :R3 时氏=%1 戌-r2R3 - R22rR3时B4 -011#相应地，空间各个范围内的磁能密度为r : R 时Wm1 B；%12r2 ；一2人一 8二 2R2 ；R ： r .R2 时 wm2 2rR2: r :R3 时WmC 22-.228北 ri R3 R?rRj

15、时 wm = 0。#（2）每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为Wm =WmdV =WimdV 亠 | | | W2mdV 亠 | | | WjmdV 亠 | | | W4mdV =零%dr及毡2二rdro Q2O2尺 8 2r2&2 R2丄+ln R +R；I门抵R ) 戌,4R1-打2U2'b “2r2R_R22 丿戌I2 L22 二 rdr 0龙 _ 育 2 r| - r22 4 r3-R2= 1.7 10，(J)#dU8-23证明电容C的平行板电容器，极板间的位移电流强度Id =C ，U是电容器两极板dt间的电势差。证明由于平行板中D =：;，所以穿过极板位移电位移通量d

16、 = D * dS = ；丁 S = q = CUS平行板电容器中的位移电流强度.d dd CU_dUI dCdt dtdt5d8-24设圆形平行板电容器的交变电场为E =720sin 10二t V，电荷在电容器极板上均匀分布，且边缘效应可以忽略，试求： （1）电容器两极板间的位移电流密度；（2）在距离电容器极板中心连线为r =1.0cm处，经过时间t=2.0 10s时的磁感应强度的大小。jWct吐解（1）电容器两极板间的位移电流密度为-2.00 10 “cos 105 二 t Am2（2）以电容器极板中心连线为圆心，以r = 1.0cm为半径做一圆周。由全电流安培环路定12律有HdlLd ddi所以13#2 dEH 2二 r -二 r ；0dt1 dEHr ；o -2 dt5经过时间时t =2.0 10 s，磁感应强度的大小为.L0r ；0 dE B - -'oH 1.26 10 T2 dt8-25 试确定哪一个麦克斯韦方程相当于或包括下列事实：（I）电场线仅起始或终止与电荷或无穷远处；（2 ）位移电流；（3）在静电平衡条件下，导体内部可能有任何电荷；（4）一变化