实验十一z变换及离散时间系统z域分析资料

1、z变换及离散时间系统的 Z域分析、目的(1) 掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法(2) 掌握离散时间系统的零极点分析方法(3) 掌握用MATALB实现离散系统频率特性分析的方法(4) 掌握逆Z变换概念及MATLAB实现方法 、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即NM(8-1)(8-2)(8-3) ay(n -i) = bjX(n - j)i =0j =0其中y(k)为系统的输出序列，x(k)为输入序列。 将式(8-1)两边进行Z变换的M送 bjZ-jH(z)=d 二二曲 X(z) v _l A(z) aizi =0将式(8-2)因式分解后有:丨【(z-qj)H

2、(z) =C j；丨丨(z- Pi)其中C为常数，qj(j =1,2J|,M)为H(z)的M个零点，p(i =1,2JH,N)为H (z)的N个极点。系统函数H(z)的零极点分布完全决定了系统的特性， 若某系统函数的零极点已知, 则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系 统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应h(n)的时域特性； 离散系统的稳定性； 离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析1 零极点图的绘制设离散系统的系统函数为H(z严A(z)则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数ro

3、ots()来实现，调用格式为： p=roots(A)其中A为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p则是包含多项式所有根的列向 量。多项式根的MATLAB命令举例如下：A=1 3/4 1/8;P=roots(A)运行结果为：P =-0.5000-0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分 母多项式均按z的降幕次序排列；另一种是分子、分母多项式均按zJ的升幕次序排列这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。(1) H(z)按z的降幕次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幕开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如H(z)z + 2zz4 3z3 2z2 2

4、z 1其分子、分母多项式系数向量分别为 A=1 0 2 0、B=1 3 2 2 1(2) H(z)按z二的升幕次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则z = 0的零点或极点就可能被漏掉。如H(z)=1 2zJ其分子、分母多项式系数向量分别为A=1 2 0、B=1 1/2 1/4。用roots()求得H的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的 MATLAB实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位 圆。function ljdt(A,B)% The fun cti on to draw the pole-ze

5、ro p=roots(A); q=roots(B);p=p; q=q; x=max(abs(p q 1); x=x+0.1;y=x; clf hold on axis(-x x -y y) w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) axis(square) plot(-x x,0 0) plot(0 0,-y y) text(0.1,x,jlmz) text(y,1/10,Rez) plot(real(p),imag(p),x) plot(real(q),imag(q),o) title(pole-zero diagram for discrete system

6、) hold off%求系统极点%求系统零点%将极点列向量转置为行向量%将零点列向量转置为行向量%确定纵坐标范围%确定横坐标范围%确定坐标轴显示范围%画单位园%画横坐标轴%画纵坐标轴%画极点%画零点%标注标题例1绘制如下系统函数的零极点(1)H(z)323z _5z 10zz -3z 7z-5(2)H(“八48解：MATLAB命令如下(1) A=1 -3 7 -5;B=3 -5 10 0; ljdt(A,B)绘制的零极点图如图8-1 (a)所示(2) A=1 3/4 1/8;B=1 -0.5 0;ljdt(A,B)pole-zero diagram for discrete system绘制的

7、零极点图如图8-1( b)所示(a)( b)图8-1离散系统的零极点图2.离散系统零极点分析(1)离散系统零极点分布与系统稳定性信号与系统课程已讲到离散系统稳定的条件为：时域条件：离散系统稳定的充要条件为送h(n)Y，即系统单位样值响应绝n Z3-：:对可和；Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数 H(z)的所有极点均位于Z平面 的单位圆内。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系 统的稳定性。例2

8、:系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性。解：由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第(1)个系统不稳定； 第(2)个系统稳定。(2)零极点分布与系统单位样值时域特性的关系从信号与系统课程中已经得知，离散系统的系统函数H(z)与单位样值响应h(n) 是一对Z变换对；因而，H (z)必然包含了 h(n)的固有特性。离散系统的系统函数可以写成M丨【(z-qj)H(z)二 cj1( 8-4)丨丨(z- pji 4若系统的N个极点均为单极点，可将H(z)进行部分分式展开为：N kzH(z)1( 8-5)y z 口由Z逆变换得：Nh(n ) ki pi nU n( )(8-6)从式(8-

9、5)和(8-6)可以看出离散系统单位样值响应 h(n)的时域特性完全由系统 函数H(z)的极点位置决定。从信号与系统的学习中已经得出如下规律：H (z)位于Z平面单位圆内的极点决定了 h(n)随时间衰减的信号分量；H (z)位于Z平面单位圆上的一阶极点决定了 h(n)的稳定信号分量；H (z)位于Z平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了h(n)的随时间增长的信号分量；下面以例子证明上述规律的正确性：例3:已知如下系统的系统函数 H(z)，试用MATLAB分析系统单位样值响应h(n)的时 域特性。(1) H(z)二，单位圆上的一阶实极点；z11(2) H(z)二，单位圆上的一阶共轭极点

10、；2応z -2zcos() 18(3) H(z)J，单位圆上的二阶实极点；(z-1)(4) H(z)二 ，单位圆内的一阶实极点；z-0.81(5) H(z) -2，单位圆内的二阶实极点；(z-0.5)21(6) H(z)二 ，单位圆外的一阶实极点；z -1.2解:利用MATLAB提供的函数impz()绘制离散系统单位样值响应波形，impz()基本调用 方式为(其他方式，请读者参看 MATLAB帮助):impz(b,a,N)，其中，b为系统函数分 子多项式的系数向量，a为系统函数分母多项式的系数向量，N为产生序列的长度；需 要注意的是，b和a的维数应相同，不足用0补齐，例如H (z)1 2二丁

11、的(z1) z 2z + 1MATLAB 命令:b=0 0 1, a=1 1。下面是求解个系统单位样值响应的(1) a=1 -1;b=0 1;impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (a)所示。(2) a=1 2*cos(pi/8) 1;b=0 0 1;impz(b,a,50)运行结果如图8-2 (b)所示。(3) a=1 -2 1;b=0 1 0;impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (c)所示。(4) a=1 -0.8;b=0 1;impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (d)所示。(5) a=1 -1 0.25;b=0 0 1;impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (

12、e)所示。(6) a=1 -1.2;b=0 1;impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (f)所示。6 4 aOL P3一-d3 2 10 pnuuv t* * * * *0,2 T丨！丨n f&amnl&s)2C 3040n (samples)(a)(b)图8-2系统的单位样值响应10(c)0 6 4 2 xtpr4_-dEn fs amp les)(d).a.6丄.2 o.a a3 2 apo左言4n (samtiles)L024BB(f)n (samnlas)(e)图8-2系统的单位样值响应(续)四、离散系统频率特性分析1 离散系统的频率响应H(e) 对于某因果稳定离散系统，如果激励

13、序列为正弦序列：x(n) = Asin( 0n)u(n)则，根据信号与系统课程给出的结果有，系统的稳态响应为：yss(n) =A H (e鬥 sinn +砂(m)u(n)定义离散系统的频率响应为日严)*(轧*十釣e%其中，H (e闹)一一称为离散系统的幅频特性； )称为离散系统的相频特性；H(e是以2兀为周期的周期函数，只要分析 H(e熾)在|兰兀范围内的情况，便可 分析出系统的整个频率特性。2用MATLAB实现离散系统的频率特性分析方法(1)直接法设某因果稳定系统的系统函数H(z)，则系统的频响特性为：H(e) = H(z) z仝妁= |H(e如)e曲国MATLAB提供了专门用于求离散系统频

14、响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种：H,w=freqz(B,A,N)B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N为正整数， 返回量H则包含了离散系统频响H(e)在二范围内n个频率等分点的值，向量w则 包含二范围内N个频率等分点。调用中若N默认，默认值为512。H,w=freqz(B,A,N, whole该调用格式将计算离散系统在2二范围内N个频率等分点的频率响应H(ej)的 值。因此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()函数及plot()函数，即可绘制出系统在二或2二范围内的频响曲线。例4：绘制如下系统的

15、频响曲线H(z)二z -0.5z解：MATLAB命令如下：B=1 -0.5;A =1 0;H,w=freqz(B,A,400,whole);Hf=abs(H);Hx=a ngle(H);clffigure(1)plot(w,Hf)title(离散系统幅频特性曲线)figure(2)plot(w,Hx)title(离散系统相频特性曲线) 运行结果如图8-3所示。图8-3系统的幅频特性曲线和相频特性曲线(2)几何矢量法 利用几何矢量求解示意图如图8-4所示。e_qj =Bje时 e血_口 =Ae旧 有：M-bm -m)H (e屹)= H j口 A(日弋如也)i A则系统的幅频特性和相频特性分别为：

16、MH (ej )(8-7)(8-8)II Bjj=1Nil Ai AMN：()八j ij 4iA根据式(8-7)和(8-8),利用MATLAB来求解频率响应的过程如下: 根据系统函数H定义分子、分母多项式系数向量 B和A ； 调用前述的ljdt()函数求出H(z)的零极点，并绘出零极点图；定义Z平面单位圆上的k个频率分点； 求出H(z)所有的零点和极点到这些等分点的距离;求出H (z)所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角； 根据式(8-7)和(8-8)求出系统的H (e切和 (豹)； 绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；下面是实现上述过程的实用函数 dplxy()。有四个参数：k为用户定

17、义的频率等分点 数目；B和A分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r为程序绘制的频率特性曲 线的频率范围(0 r二)。function dplxy(k,r,A,B)%The fun cti on to draw the freque ncy resp onse of discrete systemp=roots(A); q=roots(B);figure(1) ljdt(A,B) w=O:r*pi/k:r*pi; y=exp(i*w);N=le ngth(p);M=le ngth(q); yp=o nes(N,1)*y; yq=o nes(M,1)*y; vp=yp-p* on es(1,k

18、+1); vq=yq-q* on es(1,k+1); Ai=abs(vp);%求极点%求零点%画零极点图%定义单位圆上的k个频率等分点%求极点个数%求零点个数%定义行数为极点个数的单位圆向量%定义行数为零点个数的单位圆向量%定义极点到单位圆上各点的向量%定义零点到单位圆上各点的向量 %求出极点到单位圆上各点的向量的模)Bj=abs(vq);Ci=a ngle(vp);Dj=a ngle(vq);fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1);H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1); figure(2)plot(w,H);title(离散系统幅频特性曲线) xlabel(角频率)ylabel(幅度) figure) plot(w,f