十五讲格林公式及其应用-一连通区域ppt课件

1、一、连通区域一、连通区域二、格林公式二、格林公式三、曲线积分与途径无关的条件三、曲线积分与途径无关的条件四、二元函数的全微分求积四、二元函数的全微分求积第三节第三节 格林公式及其运用格林公式及其运用复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、连通区域一、连通区域. 称称为为复复连连通通区区域域则则为为平平面面单单连连通通区区域域，否否，则则称称的的部部分分都都属属于于内内任任一一闭闭曲曲线线所所围围成成为为平平面面区区域域，如如果果设设DDDD. (1) . (1) )( ),( ),( 格林公式格林公式叫做叫做公式公式的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线是是其中其中续偏导数，则有续偏导数

2、，则有上具有一阶连上具有一阶连在在及及成，函数成，函数围围由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线设闭区域设闭区域定理定理DLQdyPdxdxdyyPxQDyxQyxPLDLD 二、格林公式二、格林公式连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL2LD1L2L1LD边境曲线边境曲线 L L 的正向的正向: : 当察看者沿边境行走时当察看者沿边境行走时, ,区域区域 总在察看者的左边总在察看者的左边. .D, ),()( ),(21bxaxyxyxD 证明证明: :. ),()( ),(21dycyxyyxD . )1( 至多交于两点至多交于两点和和平行于坐标轴的直线平行于坐标轴的直线型，即型，

3、即型又是型又是既是既是若区域若区域LYXD yxO abDcd)(1xy )(2xy CE)(2yx )(1yx BAdxxQdydxdyxQyydcD )( )( 21 dcdcdyyyQdyyyQ 1 2),(),( CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(.),( LdyyxQ同理可证同理可证.),( LDdxyxPdxdyyPyxO abDcd)(1xy )(2xy CE)(2yx )(1yx BAL1L2L3LD1D2D3D两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( DdxdyyPxQ)(. , )2( 如图所示如图所

4、示段光滑的闭曲线围成段光滑的闭曲线围成由按由按若区域若区域 D. , 321DDDYXD型型的的区区域域型型又又是是分分成成三三个个既既是是将将 .)(321 DDDdxdyyPxQ 1)(DdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx). ,(321来来说说为为正正方方向向对对DLLL 3)(DdxdyyPxQ )(2 DdxdyyPxQL1L2L3LD1D2D3DGD3L2LFCE1LAB由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3. , , , , , . , )3( 32构成构成及及的边界曲线由的边

5、界曲线由则则线段线段闭曲线所围成，添加直闭曲线所围成，添加直若区域不止由一条若区域不止由一条CGAECLCEAFCBALABDCEAB LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx). ,(321来来说说为为正正方方向向对对DLLLGD3L2LFCE1LAB格林公式的本质格林公式的本质 ：沟通了沿闭曲线的曲线积分与：沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联络二重积分之间的联络 . LDQdyPdxdxdyQPyx格林公式也可以写成格林公式也可以写成xyOLABDBOABOAL 解解 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy ABxdy00 Ddxdy 取正向的边境曲线取正向的边境

6、曲线. 412r . 1 第一象限部分第一象限部分的圆在的圆在是半径为是半径为曲线曲线，其中，其中计算计算例例rABxdyAB ，则则应应用用格格林林公公式式，令令xQP , 0 引入辅助曲线：引入辅助曲线：.,OABO BOABOAyDydyxedxdye22 1 0 22dxxedyxexOAy).1(211 e解解.2yeyPxQ 那么那么，令令2, 0 yxeQP 运用格林公式运用格林公式, 有有 . )1 , 0()1 , 1()0 , 0( 2 2为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域，是是以以，其其中中计计算算例例BAODdxdyeDy xyOB11DA解解.)(22222yP

7、yxxyxQ ，令令 , 2222yxxQyxyP . 1DL所围成的闭区域为所围成的闭区域为记记时，有时，有则当则当 0 22 yx. 3 22为为逆逆时时针针方方向向的的方方向向的的连连续续定定的的闭闭曲曲线线分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点为为一一条条无无重重点点，其其中中计计算算例例LLyxydxxdyL xyOLD. 022 LyxydxxdyL1Drlyxo时，时，当当 )0, 0( )1(D 由格林公式知由格林公式知时时，当当 )0, 0( )2(D 运用格林公式运用格林公式,得得,: 222ryxlD 内内的的圆圆周周作作位位于于. 1所所围围成成和和由由记记lLD l

8、Lyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL, 02222 lLyxydxxdyyxydxxdy.2 (留意格林公式的条件留意格林公式的条件) 2 0 22222sincosdrrr( 其中其中 l 的方向的方向取逆时针方向取逆时针方向 ), 2 LDydxxdydxdy利用格林公式计算平面图形的面积利用格林公式计算平面图形的面积 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( ：格格林林公公式式. 21 LydxxdyAD的的面面积积闭闭区区域域 , 得得取取xQyP , 0 ，得得取取xQP 0, ，得，得取取 QyP. LxdyA. )( LdxyA解解 LydxxdyA21 2 0

9、 22)sincos(21dabab. sin , cos 4 的面积的面积所围成图形所围成图形求椭圆求椭圆例例 byax 2 0 21dab. ab 1LQdyPdx 2LQdyPdxGyxO1L2LBA 三、曲线积分与途径无关的条件三、曲线积分与途径无关的条件. , 否否则则与与路路径径有有关关内内与与路路径径无无关关在在则则称称曲曲线线积积分分GQdyPdxL 内有内有如果在区域如果在区域 G. )1( ) ( ),(),( 内恒成立内恒成立在在的充要条件是：的充要条件是：分为零分为零内任意闭曲线的曲线积内任意闭曲线的曲线积或沿或沿内与路径无关内与路径无关在在曲线积分曲线积分，则，则内具

10、有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数在在，数数是一个单连通区域，函是一个单连通区域，函设开区域设开区域定理定理GxQyPGGQdyPdxGyxQyxPGL 证明证明 充分性由格林公式直接得证充分性由格林公式直接得证 . 下面证明条件下面证明条件(1)是必要的是必要的 . 用反证法用反证法 . . 0)(0 MyPxQ. 0 yPxQKKMGGyPxQ上恒有上恒有，使得在，使得在域域半径足够小的圆形闭区半径足够小的圆形闭区为圆心，为圆心，内取以内取以内连续，在内连续，在在在、由于由于 0，使使得得内内存存在在一一点点不不妨妨设设在在MG由格林公式及二重积分的性质有由格林公式及二重积分的性质有 )

11、( KdxdyyPxQQdyPdx. 0 QdyPdx这与假设相矛盾，即条件这与假设相矛盾，即条件(1)是必要的是必要的. 的的面面积积，是是的的正正向向边边界界曲曲线线，是是这这里里KK 所以所以四、二元函数的全微分求积四、二元函数的全微分求积. )2( ),( ),(),( ),(),( 内内恒恒成成立立在在全全微微分分的的充充要要条条件件是是：的的内内为为某某一一函函数数在在，则则内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在，数数是是一一个个单单连连通通区区域域，函函设设开开区区域域定定理理GxQyPyxuGdyyxQdxyxPGyxQyxPG 证明证明 ),( ，使得，使得假设存在某函

12、数假设存在某函数yxu, ),(),(dyyxQdxyxPdu 那么必有那么必有. ),( , ),(yxQyuyxPxu 从而有从而有. , 22xQxyuyPyxu 由定理的条件，有由定理的条件，有. xQyP 即条件即条件(2)是必要的是必要的 .先证必要性先证必要性.再证充分性再证充分性.(3) ),(),(),(),( )( 0,0dyyxQdxyxPyxuyxyx ),(),( 是连续的，因此证明是连续的，因此证明、因为因为yxQyxP.),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu . ),( , ),(yxQyuyxPxu 下面证明下面证明写写作作曲曲线线积积分分可可内内与与路

13、路径径无无关关，把把这这个个曲曲线线积积分分在在的的终终点点为为可可知知，起起点点为为定定理理内内恒恒成成立立，则则由由在在设设条条件件 ),( , ),( 2 )2( 000GyxMyxMG由偏导数的定义，有由偏导数的定义，有. ),(),(lim0 xyxuyxxuxux 由由(3)式，得式，得 ),(),(), (), ( )( 0,0dyyxQdxyxPyxxuyxxyx 积分路径就有积分路径就有作作到到，然后从，然后从无关，可以取先从无关，可以取先从由于积分与积分路径由于积分与积分路径 0NMMMOxy),(000yxM),(yxM), (yxxN Oxy),(000yxM),(yx

14、M), (yxxN ),(), (yxuyxxu. ),(),(), ( )( ,dyyxQdxyxPyxxyx 所以所以),(), (yxuyxxu ),(),(), ( )( ,dyyxQdxyxPyxxyx . ),( dxyxPxxx 由定积分中值定理，得由定积分中值定理，得).10( , ), (),(), ( xyxxPyxuyxxu因此得到因此得到. ),(yxPxu , xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx则则dxyxPxx),(10 0 dyyxQyy),(10 0 dyyxQyy),(10 1 .),(10 1dxyxPxx 同理可证同理可证. ),( yxQyu 即条件即条件(2)是充分的是充分的 .),(01yxC ),(11yxB xyO ),( 00yxA ),(10yxD 解解.1523 所以原积分与途径无关，所以原积分与途径无关，xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 xQyP 1 0 1 0 42)1(dyydxx原式原式=. 2sin )1 , 1( )0 , 0( )()2( 5 422xyBOLdyyxdxxyxL 的的曲曲线线弧弧到到点点由由点点为为，其其中中计计算算例例解解, 2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2