初中数学常见辅助线的做法VIP

1、初中数学常见辅助线的做法一it中点模型的构造L已知任意二角形一边上的中点，可以考虑:(1)借长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形？如图1图2所示.I)图1(2)三角形中位线定理.2 .已知宜角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线3 .已知等腰二用形底边中点，可以考虑与顶点连接用篁三线合一二4 .有些题H的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题H中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点，等般三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候?可以用辅助线添加.二丸角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型.已知”是SONP分线上一点，(1)若PA_L0M于点4，如图

2、1,nf以过P点作PB_L0/V于点艮则PB=PA可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线二(2)若点A是射线0M上任意一点，如图2可以在ON上截取二fM，连接P乩构造OPBU 0/如可记为和图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现=小点可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看I若过户点作交0M于点(人如图4,可以构造P0Q是等腰三角形,可记为篥角平分线+-可编辑-Av入轴对称模型的构造K血给出几种常见考虑冬用或作轴对称的基本图形.(1)线段或角度存在2倍关系的，可考虑对称，(2)有互余、互补关系的图形J考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4路径最短问题基本匕运用轴对称将

3、分散的线段集中到两点之问冬从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题”需考虑轴对称?几何最值问题的几种题型及解题作图方法如下表所小.作法图形原理A在/上找一 点只使出十 出?最小BPA +PB 最 小值为AB, 两点之间， 线段最短在直线作A关于/ 的对称点连 接4'艮与/的 交点即为点FX/I P +RP ="艮两点之I求,点化便表）问题作法图形原理分别作P关在直线上分别求亿M使周长最/'FMN于两宜线对称点儿连接口儿两直线交即为伍/V的严，与%:PW+lfV+FN叩、两点之间.线段最短在宜线上分别求点使四边形PMNQI长杲小BA*P/在I线1

4、上求两点忆/V（M在左），使得分别作点fQ关于两直线人亿的对称点rQ.连接P0与直线的交点即为M.N将川向右平移a个单位到从作川关于/的对称点八役连接半亿与/交点即为MN=a.并使A点M将点N向M+VV+A7?最左平移柑个小单位即为M江N'QAAf/V-/M'7yArtlAQ+PMA12MN+NQT0,两点之间*线段最短BAM+MN+NB=aAAfB,!两点之间.线段最矩间题作法图形（续表）原理1在直线1上求点巴使AP-BP最*4连接BA并延长与直线/的交点即为点PAP-RP瓦三角形意两边之小于第三?/?在百线1上求点只便14P-HP|e_R-作点B关于直线1的对称点、作直线A

5、B与1的交点即为占P八、I*5|AP-HP=ARJ二角形任意两边之差小于第三边1在直线/1：求点匕使IP4-PR|最连接4瓦作AB中垂线与/的交点即为点P4/:U点P在锐角LAOH|八|部，在（怡边上求作一点D,在OA边匕求作一点C,使PD+C®力、|PA-PB|二o,ir:a平分线上的点与线段两端点距离相等作点关于宜线M的对称点巴过口向克线04作垂线与M的交点为所求点巧垂足即为点CPI）+C7;的最小值为PrC氐度？点P到直线0A的距离，垂线段最短四礼圆中辅助线构造在平而几何中，解次与罔有关的问题时冬常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易顺其自然地得到

6、解次，因此，灵活常握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学住分析问题和解决问题的能力是大有帮助的，1 .构造等腰三角形利用半径相等构造等腰三角形（如图）2 .见弦作弦心距有关弦的问题一常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理.来沟通题设与结论间的关系（如图）3 .见直径作罔周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所文寸的圆周角，利用“贞轻所对的圆周角是宜角这一特征来证明问题（如图所示）.4 .见切线作半径（1）命题的条件中含有圆的切线.往往是连结过切点的半径.利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题（如图所示）.（2）证切线：有交点：连半径J正垂直无交点：作垂宜，证半径5 .两

7、相切作公切线对两圆相切的间题？一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线？通过公切线可以找到与圆有关的角的关系（如图所示）.6 .两Bl相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来.乂可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来(如图所示)7.圆心角与圆周角倒角/ /(/(X (/0 / ：1!/ - - BAL0=2/-A 4力 + 乙8=18()。乙A = CBCD五、旋转图形中辅助线的做法0-/L AL施转中的常乩题型？在解这类题目时M "么时候碍 要构造旋转，怎么构造旋转？下而，就不同类型的 旋转问题?给出构造旋转图形的解题方法:遇中点，旋180

8、S构造中心对称；遇90S旋9(凡造垂直;遇60S旋60。，造等边;遇等腰？旋顶角.综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转.2图形旋转后我们需要讦明旋转全等？而旋转全等中的难点实际上是倒角下而给出旋转常用倒角纺只要是旋转/必然存在这两个倒角之一.如图1,若乙40BWCOW、有AA0C=乙HOD反之亦然.如图2,若乙4二乙ZA必有乙/二乙C.图1图2小提示:倒角是在初中数学学习中常用的名司其意思就是通过角之间的等量关系得到我们所需要的角的关系的过程.六、三角形问题添加辅助线方法L在利用三用形三边关系证明线段不等关系时，若直接讦不出来，町连接两点或延长某边构成三角形？使结论H>

9、;出现的线段在一个或儿个三角形中.再运用三角形三边的不等关系证明.例如：已知如图：0E为乙ASL内两点，求证Sfi+AC>BD+DE+CE/JrJFTh/x/x/BCR2.在利用三角形的外角大丁任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时连接两点或延长某边”构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位登上小角处于这个-：角形的内角位置二再利用外角定理；例如：如图：已知D为ZUBC内的任一点，求证：ABDC>ABACG/:£/iX一tL/JX»/RN；-0cr3.有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.例如：如图：已知AD为ZUBC的中线，且乙1二

10、乙2.zL3=r4,求证：BEG'EF.上有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线构造全等三角形.例如：如图为/!/(;的中线，且乙1二乙2上3乙4,求证:BE+C卜、EF.D、M5.有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形.例如：如图：AD为ZVIBC的中线，求证：ABAAC>2AI).4A6,在证明三角形三边不等关系时，常用截长补短法作辅助线.例如：已知如图：在ABC川>4C,乙1二乙2/为M上任一点.求证：.4R-A(:>PB-PC.7,在还叨线段相等或角相等时豺常延长已知边构造二角形利用三3白形全等证明线段或侑和等.例女口：如图：已知AC=B1),AD

11、LAC1"CXBD于乩求证：4f尸BC,/0DC&连接四边形的对角线讨巴四访形的问题转化成为三角形来解决.例如：如图348CD,/0/?C求证：4月"C9|AQ5/；'j/,、"、2/L_kHBC氏有和角平分线垂宜的线段时，通常把这条线段延任例如：如图：在RtZUBC中,Afi=4C,ZB4c=90乙1=A2,C£±ED的延氏线于E求证/D二2CE,10.连接已知点，构造全等三角形.例如：已知：如图：AGBD®交于0点，且"CMC二用人求证：乙A二3(：1L取线段中点构造全等三有形*例如：如图：A/i=/)C

12、3 = /./).求证msLDCB.1fffjf/jff / *I科J).1/12?特殊角直角三角形.当图形中出现30°,45°,60°,135。50。特殊角时可添加特殊角直角二角形.利用4亍角直角角形三边比为1门：VT;33角直角三角形三边比为J：2：A/T进行证明.七鳖平行四边形问题添加辅助线方法平行四边形（包括炬形止方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法I?也有共同之处.目的都是造就线段的平行、垂直？构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例如下：1.连对角线或

13、平移对角线如图hIA.7B4心7厂7、/'*/'X/"/</*/DCB7X图12.过顶点作对边的垂线构造育角角形如图2.AI）Z"/:/:/3?C图2鼻连接对角线交点与边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线，如图图34?连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段.构造三角形相似或等积三角形如图4/7。70/'/"/bL_r，cRTc图4E5.过顶点作对角线的垂线.构成线段平行或一角形全等,如图5?八初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难.难点就在辅助线0辅助线，如何添？把握定理和概念P还要刻苦力11钻研？找fl'

14、;r规律凭经验二三角形图中有角平分线”向两边作垂线二也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等月重：匚角形来添。角平分线加垂线，二：线台一试试看。线段亟立平分线，常向两端把线连。线段和建及倍半，延丘缩短町试验C线段和差不等式.移到同一三角去。二角形中两中点，连接则成中位线c三角形中有中线，延长中线等中线c四边形平行四边形出现，对称11心等分点C梯形问题巧转换，变为和口。平移腰，移对角，两腰延性作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线°上述方法不奏效，过腰：中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键C直接证明有闲堆，等最代换少麻烦C斜边I:面作高线，比例中项一大片C圆形半径与弦氏计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。耍想证明是切线，半径耀线仔细辨。是直径，成半圜，想成直角轻连弦。弧有中点圆心连，垂优妃理要记全。圆周角边两条弦，宜径和弦端点连。弦切