2019-2020同步人A数学必修第一册新教材讲义：第2章+2.3+第1课时一元二次不等式及解法及

1、2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-1 - / 122.3 二次函数与一元二次方程、不等式第 1 课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1掌握一元二次不等式的解法(重点). 2能根据“三个二次”之间的关系解决 简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学 运算素养.自主预习新Ml匚新担初探二1. 一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不2. 一元二次不等式的一般形式2ax + bx+ c 0工 0).(2) ax2+ bx+ c 0工 0).2(3) a

2、x+bx+cv0工 0).99(4)ax+bx+c0 是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元 二次不等式.3. 一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值， 叫做这个一元二次不等式的解， 其解 的集合，称为这个一元二次不等式的解集.2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-2 - / 12式成立”.不等式 x21 的解集及其含义是什么？提示：不等式 x21 的解集为xX1，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立4.三个“二次”的关

3、系设 y= ax2+ bx+ c(a0),方程 ax2+ bx+ c= 0 的判别式 = b2 4ac判别式A0A0Av0解不等式 y 0或 yv0的步骤求方程 y= 0 的解有两个不相等的实数根 X1, X2（X1vx2）有两个相等的实数根 X1= X2= b2a没有实数根画函数 y = ax + bx+ c(a 0)的图象1V则h丈得等的集不式解y0 xlxvX1或 X X2A-着Ryv0 x|X1vxvX2?思考 3:若一元二次不等式 ax2+ X10 的解集为 R,则实数 a 应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知,若一元二次不等式 ax2+ x 10 的解集为 R,解得 a ?,

4、所以不存在 a 使不等式 ax2+ x 10 的解集为 R.匚 j初试身手口1.不等式 3+ 5x 2x2 3 或 xv1思考 2:类比“方程 x2= 1 的解集是1， 1，解集中的每一个元素均可使等a0,则 1 + 4a0,A. xx 3 或 x 12019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-3 - / 122 21C 3 + 5x 2x 0? (x 3)(2x+ 1) 0? x 3 或 x0 的解集为()A.cx 卜 1vxv* rB.ix gvxv1 rC. ?D. RD 因为= ( 2)2 4 3 为=4 12=

5、 8v0,所以不等式 3x2 2x+ 10 的 解集为 R.3 .不等式 x2 2x 52x 的解集是_ .x|x5 或 x2x,得 x2 4x 50 ,因为 x2 4x 5= 0的 两根为一 1,5,2故 x 4x 50 的解集为x|x5.4 .不等式3x2+ 5x 40 的解集为_.?原不等式变形为 3x2 5x + 40.因为= ( 5)2 4X3X4= 230,所以3x 5x + 4 = 0 无解.2 2由函数 y= 3x 5x + 4 的图象可知,3x 5x+ 40;281(2) 4x + 18x匚 0;(3) 2x2+ 3x 20,所以方程 2x2+ 7x+ 3 = 0 有两个不等

6、实12根 X1= 3, x2= 2.又二次函数 y = 2x + 7x+ 3 的图象开口向上,所以原不等式的12019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-4 - / 12解集为cx x - 2 或 XV 3 |.原不等式可化为?x 2 J 0,因为= 9 4X2X2= 70;2(2) x 4x+ 40;2(3) x + 2x 30，方程 2x2 3x 2= 0 的根是 X1= 2, X2= 2，不等式 2x2 3x 20 的解集为* x22 = 0,方程 x 4x + 4 = 0 的根是 X1= x2= 2,不等式 x2

7、4x + 40 的解集为x|x2.(3) 原不等式可化为 x2 2x+ 30,2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-5 - / 12一 3x + 5x 20.2由于A0,方程 x 2x+ 3= 0 无解， 不等式x2+ 2x 30 的解集为 R.2原不等式可化为 3x 5x+ 20,方程 3x 5x+ 2 = 0 的两根为 xi= 3，x2= 1,不等式3x2+ 5x 20 的解集为 ix |x1r.含参数的一元二次不等式的解法类型 2 丿-【例 2】 解关于 x 的不等式 ax2 (a+ 1)x+ 10.思路点拨

8、对于二次项的系数 a 是否分 a= 0, a0 三类进行讨论？当 a 0 时，是否还要比较两根的大小？解当 a = 0 时，原不等式可化为 x1.当 a 0 时，原不等式可化为(ax 1)(x1)0.当 a0，1 1T一1， x1.a，a当 a0 时，原不等式可化为 x1(x1)0.1 1若 a1，则 ax1，即 0a1，则 1x；.aa综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为?|x1；当 a= 0 时，原不等r2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-6 - / 121式的解集为X|x1;当 0a1 时，原不等式的解

9、集为1x1 时，原不等式的解集为fvxvl解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集2解关于 x 的不等式：ax2 22x ax(a 0,化简为(x+ 1)(ax 2) 0.Ia0,. (x+ 1) x 丫 0.2当一 2a0 时，孑三 x 1;当 a= 2 时，x= 1 ；2当 a 2 时，一 Kxw.a综上所述，跟踪训2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-7 - / 12f、2当2a0 时，解集为 xw 1 :当 a= 2 时，解集为x|x= 1;r、2当

10、 a 2 时，解集为cx 1wxwa 0、y0 时自变量 x 组成的集合,亦即二次函数 y=x22x3 的图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合x|x3;同理，满足 y0 时 x 的取值集合为x| 1x0(a0)或 ax2+ bx+ c0)是 函数 y= ax2+ bx+ c(a 0)的一种特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当 y =0 时，函数 y= ax2+ bx+ c(a0)就转化为方程，当 y0 或 y0 的解集分别是什么？观察结果你 发2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-8 - / 12现什么

11、问题？这又说明什么？提示：方程 x2 2x 3 = 0 的解集为 1,3.2 2不等式 x 2x 30 的解集为x|x3，观察发现不等式 x 2x 30解集的端点值恰好是方程 x2 2x 3= 0 的根.3.设一元二次不等式 ax2+ bx+ c0(a0)和 ax2+ bx+ c0)的解集分别为2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-9 - / 12xXX2， x|X1XX2(X10(a0)和 ax12+ bx+ c0)的解集分别为Fbx1+ x2=一 一 ,axxx2 , xx1XX2(X10 的解集为x|2x3，

12、求关于 x的不等式 cx2+ bx+ a0 的解集为x|2x3可知，a0,且 2 和 3bc是方程 ax2+ bx+ c= 0 的两根,由根与系数的关系可知匚=一 5, = 6.由 a0 知 c0,aa三=百,故不等式 cx2+ bx+ a0,即 x2-14x+ 60,解得 x2 所以11 2 2程 ax + bx+ c= 0 的两根，所以 ax + bx+ c= a(x- 2)(x- 3) = ax 5ax+ 6a? b= 5a, c= 6a,故不等式 cx2+ bx+ a0,即 6ax2 5ax+ a2 :母题探究母题探究1. （变结论）本例中的条件不变，求关于 x 的不等式 cx2 bx

13、+ a0 的解集.思路点拨由给定不等式的解集形式确定a0用 a 表示 b, c一代入所求一不等式2求解 cx + bx+ a0的解集2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-10 - / 12不等式 cx2+ bx+ a1C2法二：由不等式 ax + bx+ c0 的解集为x|2x3可知，a0,且 2 和 3 是方2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-11 - / 12bc解由根与系数的关系知 a= 5,6 且 a0.b 52 c0,即 x

14、15 ?x+a0,即 x16 17+18x+ 20.cc66 1 1、解之得cx 2x0 的解集为 x|2x 0 的解集是,x!x 2 r.求不等式cx2+ bx+ a0 的解集为孑gwx0.12又3, 2 为方程 ax + bx+ c= 0 的两个根，15又tav0,二 2x + 5x 3v0,所求不等式的解集为 lx 3vxv*. 法二：由已知得 av0 且:1+ 2= b， fjx2=:知 c0,设方程 cx2+ bx+ a = 0 的两根分别为 xi, x2,5-35-3 2 2 3 3 - - - -b-a-b-a- - c-c- a a二又- - - b-ab-a b bc c=

15、=2323a a2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-12 - / 12av0,2即 2ax + 5ax 3a 0.则xi+x2=-；axix2=c,不等式变为-5ax+2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-13- / 1211223不等式 cx + bx+ av0 的解集为 x 3vxv ；we fr n必J, .J_ X已知以 a, b, c 为参数的不等式 如 ax2+ bx+ c0 的解集，求解其他不等式 的解集时，一般遵循：1

16、 根据解集来判断二次项系数的符号；2 根据根与系数的关系把 b, c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式；3 约去 a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.匚课堂小结1 解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：1化不等式为标准形式：ax2+ bx+ c0(a0)或 ax2+ bx+ cv0(a 0);2求方程 ax2+ bx+ c= 0(a0)的根，并画出对应函数 y= ax2+ bx+ c 图象的简图;3由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当 m0,则可得

17、x|x n 或 xvm；若(x m)(x n)v0,则可得x|mvxvn.有口诀如下：大于取两边，小于取中间.其中32,3, X22 -2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-14 - / 122.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做2019-2020 同步人 A数学必修第一册新教材讲义：第 2 章+2.3+第 1 课时 一元二次不等式及解法及答案-15- / 12到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0, av

18、0, a = 0.关于不等式对应的方程根的讨论：两根(40), 根(4 0),无根(A X2,X1=X2,X1vX2.3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与X 轴的交点坐标.当堂达标1 思考辨析(1) mX2-5X0,则一元二次不等式 ax2+ 10 无解.()2若一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 的两根为 X1, X2(X1X2)，则一元二次不等式ax2+ bx+ c0 的解集为XX1X0 的解集为 R.()提示(1)错误.当 m = 0 时，是一元一次不等式；当 m 0 时，是一元二次不等式.错误.因为 a0,所以不等式 ax2+ 10 恒成立，即原不等式的解集为 R.2 _错误.当 a0 时，ax + bx+ c0 的解集为X|X1XX2,否则不成立.