备战高考数学求圆锥曲线方程

1、难点11求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法._难点磁场22F1、F2, P为双曲线上一点， |OP|<被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1.()双曲线全一学二1(bCN)的两个焦点5,|PFi|,|FiF2|,|PF2|成等比数歹U,贝Ub2=._)如图，设圆P满足：截y轴所得弦长为2；1,在满足条件、的所有圆中

2、，案例探究_(即双曲线的虚轴)旋转所成例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴的曲面，其中A、A'是双曲线的顶点，C、C'是冷却塔上口直径的两个端点，B、B'是下底直径的两个端点，已知AA'=14m,CC'=18m,BB'=22m,塔高20m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程._(2)求冷却塔的容积(精确到10m2,塔壁厚度不计，兀取3.14)._命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属级题目._知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐

3、标适合方程；积分法求体积错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA'在x轴上，AA'的中点为坐标原点O,CC'与BB'平行于x轴._221设双曲线方程为勺-y=1(a>0,b>0),则a=AA'=7a2b22又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有1£仁_1YW_172一b2一1，72'2一1由题意，知y2yi=20，由以上三式得：yi=-12,y2=8,b=7<2故

4、双曲线方程为-y=1.4998(2)由双曲线方程，得x2=gy2+49_8811设冷却塔的容积为V(m3),则V=兀fj2x2dy(-y2+49)dy=n(-y3+49y)|812，经计算，得V=4.25X103(m3)_答：冷却塔的容积为4.25X103m3._例2过点(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为停的椭圆C相交于A、B两点，直线y=1x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与2椭圆C的方程._命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目._知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆

5、锥曲线问题，对称问题,错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理._-29a22解法一":由e=，得2=,从而a=2b,c=b.a2a22设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(X1,y1),B(X2,y2)在椭圆上.一贝Ux12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,1二-一.x1-x22(y1y2)x11x设AB中点为（xo,yo

6、）,贝（JkAB=，又（xo,yo）在直线y=-x上,yo=-xo,于是一2y02.22y01,kAB=1，设l的方程为y=x+1._右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x',y'),_则x'by =122'y一一解得x11J=1-b由点（1,1一b）在椭圆上，得1+2（1b）2=2b2,b2=且,a2=2.1682所求椭圆C的方程为上十一y2=1,1的方程为y=-x+1.99c解法二：由 e=a设椭圆C的方程为,得a-上-=，从而a2=2b2,c=b.2a22将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，贝U4k2x1 +x2=子,y

7、1+y2=k(x1 1)+ k(x2 1 2k2x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),_2k1)=k(xi+x2)2k=2-.12k2直线l： y=1x过AB的中点(2Xi X2 Vl V22k2一 -2，解得k=0,或k=1 2k2-1.F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是舍去，从而k=-1,直线l的方程为y=-(x-1),即y=x+1,以下同解法一._27OPi、OP2例3如图，已知P1OP2的面积为27,P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线为渐近线且过点P的离心率为以3的双曲线方程.2命题意图：本题考查待

8、定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属级题目._知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出P1OP2的面积是学生感到困难的.技巧与方法：利用点P在曲线上和P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值.解：以。为原点，/P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系._设双曲线方程为2 y ，=1(a>0,b>0) b,2 cb由 e2=F =1 (-)一a,13r.两渐近线OPi、OP2方程分别为y= m x 和 y=

9、 - - x22设点Pi(xi,33 x1),P2(x2,x2)(x1 > 0次> 0),则由点P分P1P2所成的比入=22RP r ，一=2,得P点坐标为PP2(x1 +2x2x1 -2x224 2，又点P在双曲线 多%=1上，所以a 9a2(x1 2x2)(x1 - 2x2)9a29a22=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2又|附寸2十*,131，|0P| =2x292一 x24.13x22sinROP 二2tanPQx1 tan2 P1Ox2 3291 -412131 1312SP1OL210P1110P2|sinp1op2 =2 Zx

10、1X2 为274一9即x1x2=一a2=4,b2=92由、得22故双曲线方程为上一匕=1.49锦囊妙计一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0).定量一一由题设中的条件找到“式”中特定系数白等量关系，通过解方程得到量的大小歼灭难点训练_一、选择题1 .()已知直线x+2y3=0与圆x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q两点，0为坐标原点，若0P±OQ,则m等于

11、()_A.3B.-3C.1D.-12 .()中心在原点，焦点在坐标为(0,±5，2)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的，1横坐木°'则椭圆万程为()-a2x22y2彳A.=i257522cxy/C.=i2575,2x22y2.B.1=i752522xy/D.L=i7525二、填空题3.(*)直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P,若过点P且以双曲线i2x24y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为.4.()已知圆过点P(4,2)、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4J3,则该圆的方程为.三、解答题5.(kkkkk)已知椭圆的中

12、心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M是椭圆上的任M1和M2,且.MiM2|=4y0，试求椭圆的方程.的方程和椭圆C2的方程.7.()已知圆22xxy为方+%=i(a>b>0),ab6.(*)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.点，且线段AB恰为圆Ci的直径，求直线AB难点磁场1.解析：设Fi(c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则|PFi|2+|PF2|2=2(|PO|2+|FiO|2)v2(52+c2),即|PFi|2+|PF2|2

13、50+2c2,又|PFi|2+|PF2|2二(|PFi|PF2|)2+2|PFi|PF2|,依双曲线定义，有|PFi|PF2|=4,依已知条件有|PFi|PF2|=|FiF2|2=4c2.i6+8c250+2c2c2<"'3'又c2=4+b2<,b2<,/.b2=i.3,3,答案：i2.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|圆P截y轴所得弦长为2,.r2=a2+i因此, 当且'a =b一 222b2 -a2得=1a =1或1b =1a - -1b = 1又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心

14、角为90°,故弦长|AB|=”r,故r2=2b2,从而有2b2a2=l又二点P(a,b)到直线x-2y=0的距离d=|a二b155d2=|a2b|2=a2+4b24ab>a2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1,仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有r2=2b2,r2=2于是所求圆的方程为：解法二：设所求圆 Pyr y2是方程a2+(yb)2=r2的两根,(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2的方程为(xa)2+(y-b)2=r2(r>0)设A(0,yi),B(0,y2)是圆与y轴的两个交点，则,y1,2=b±.

15、r-a由条件得|AB|=2,而|AB|=|y1一y2|,得r2a2=1设点C(x1,0)、D(x2,0)为圆与x轴的两个交点，则x1,x2是方程(xa)2+b2=r2的两个根,x1，2=a±.r2-b2由条件得|CD|=J2r,又由|CD|=|X2-Xi|,得2b2=r2,故2b2=a2+1设圆心P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=|a2b|.5.a-2b=±vd,得a2=(2b±75d)2=4b2±475bd+5d2又a2=2b2T,故有2b2±4j5bd+5d2+l=0.把上式看作b的二次方程,.方程有实根.A=8(5d21)>

16、0,得5d2>1.dmin=-y，将其代入2b2±4.5bd+5d2+1=0,得2b2±4b+2=0，解得b=±1.从而r2=2b2=2,a=±Vr2-1=±i于是所求圆的方程为(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2歼灭难点训练一、1.解析：将直线方程变为x=32y,代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0,得(32y)2+y2+(32y)+m=0.整理得5y220y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)12my1y2=-,y+y2=4.又二P、Q在直线x=32y上，1-x1x2=(32y1)(32y2)

17、=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9=m3=0,故m=3.答案：A222.解析：由题意,可设椭圆方程为:yx日222+-2=i,且a=50+b,ab2x十 一 =ib22即方程为_L_50b2将直线3x-y-2=0代入，整理成关于x的二次方程.由xi+x2=i可求得b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为Fi(1,0),F2(1,0),2a=|PFi|+|PF2|.欲使2a最小，只需在直线22答案：. y_ =i 544.解析：设所求圆的方程为4 -a)2 +(-2 -b)2则有 <_i a)2 +(3b)2 |a|2

18、 +(2J3)2 =r2l上找一点P.使|PFi|+|PF2|最小，利用对称性可解.(x a) 2+(y b)2= r22 =r2 二ra =14b=0或也=4 j2=i3 J2 =27由此可写所求圆的方程.答案：x2+y22xi2=0或x2+y2i0x8y+4=0三、5.解：|MFmax=a+c,|MF|min=ac则(a+c)(ac)=a2c2=b2,22.b2=4,设椭圆方程为xy+-=ia24设过Mi和M2的直线方程为y=-x+m将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设Mi(xi,yi)、M2(X2,y2),MiM2的中点为(x°,yo),4mxo+ m=4 a22_i,、amx0=(xi+x2)=2,yo=24a2代入y=x,得2a