113角平分线的性质

1、1.1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理分线的性质定理及其逆定理2.2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理通过测量操作，发现角的平分线的性质定理3.3.能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定理及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力理及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力. . 4.4.能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题几何问题. . 5.5.通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的通过合作交流

2、、自主评价，促进良好的学习态度的形成，养成永无止境的科学探索精神形成，养成永无止境的科学探索精神. . 二、教学二、教学重点、难点重点、难点： 1.1.教学教学重点重点：掌握角的平分线的性质：掌握角的平分线的性质定理及其逆定理定理及其逆定理. . 2.2.教学教学难点难点：角平分线定理和逆定理角平分线定理和逆定理的应用的应用 探索如图是一个平分角的仪器如图是一个平分角的仪器, ,其中其中AB=AD,BC=CD .AB=AD,BC=CD .将将点点A A放在角的顶点放在角的顶点,AB,CD,AB,CD沿着角的两边入放下沿着角的两边入放下, ,沿沿ACAC画一条放射线画一条放射线AE,AEAE,A

3、E就是角平分线就是角平分线. .你能说你能说明它的道理吗明它的道理吗? ?经过上面的探索，你能得到作已知角的经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？平分线的方法吗？ 在在ADCADC和和ABC ABC 中中 AB=ADAB=AD AC=AC AC=AC DC=BC DC=BC ADCADCABC (SSS)ABC (SSS) DAC=BAC DAC=BAC AE AE平分平分BADBAD 证明证明 ：BDACE尺规作角的平分线尺规作角的平分线画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为

4、半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求老师提示老师提示: :作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图,这种方这种方法要确实掌握法要确实掌握.为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？ O O想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分

5、AOBAOB探索探索 将角将角AOBAOB对折对折, ,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形( (使第一条使第一条折痕为斜边折痕为斜边),),然后展开然后展开, ,观察两次折叠形成的三观察两次折叠形成的三条折痕条折痕, ,你能得到什么结论你能得到什么结论? ?OABAOBED 操作操作测量题测量题:OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P是射线是射线OC上的任意一点，上的任意一点， 1. 操作测量：取点操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点的三个不同的位置，分别过点P作作PDOA，PE OB,点点D、E为垂足，为垂足，测量测量PD、PE的的长长.将三次数据填入下表：将三次数据填入下表：

6、2. 观察测量结果，猜想线段观察测量结果，猜想线段PD与与PE的大小关系，的大小关系， 写出结论：写出结论：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED已知：已知：OC平分平分AOB，点，点P在在OC上，

7、上，PDOA于于D， PEOB于于E求证求证: PD=PEAOBEDP PC例例1 1： PDPD， PEOB,PEOB,证明：证明： PDO= PEO= 90在在PODPOD和和RtRtPEOPEO中中 PDO PEO（AAS） PDOPEO AOCBOCOP=OP PDPE角平分线的性质：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等 到角的两边的距离相等的点在角到角的两边的距离相等的点在角平分线上。平分线上。结论：结论：到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平

8、分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE用数学语言表示为：思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路例例 2 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交相交于点于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直于垂直于A

9、B、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3：角平分线的判定结论：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 做一做做一做w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC. :EB=FC. 老师期望老师期望: :做完题目后做完题目后, ,一定要一定要“悟悟”到点东到点东西西, ,纳入到