第九章_多元函数微分法及其应用ppt课件

1、多元函数一般概念多元函数一般概念( (定义域定义域, ,极限极限, ,连续连续) )偏导数及其求法偏导数及其求法( (复合函数求导复合函数求导, ,隐函数求导隐函数求导) )全微分及其求法全微分及其求法多元函数极值及其求法多元函数极值及其求法用多元函数微分法及其应第九章 多元函数的基本概念第一节 区域一.邻域. 1以点 为中心, 以 为半径的圆内部点的全体称为 p0 的 邻域.),(000yxp),(0p记作)()(| ),(),(20200yyxxyxpU即记 (p0, ) = U (p0, ) p0 , 称为 p0 的去心 邻域.如图p0p0U (p0, ) (p0, )2.区域区域.)(

2、的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的的内内点点属属于于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通

3、的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点

4、点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx3.聚点聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.* 内点一定是聚点；内点一定是聚点；* 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点* 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(2

5、2 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合4.n维空间维空间* n维空间的记号为维空间的记号为;nR* n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ * n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可

6、定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(， 变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. . 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数二、多元函数的概念定义. 1

7、的定义域求函数例221:1yxz1| ),(:22yxyxD定义域为解的定义域求函数例49. 22222yxyxz94| ),(:22yxyxD定义域为解例例3 3 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 2.二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,球面球面.),(222ayxyxD 22

8、2yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:代表一个平面cbyaxz11 xxz代表一条直线1111yyxxz01zx)0, 1 , 1(代表一个点三、多元函数的极限一元函数的极限. )(lim0语言表示用Axfxx就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | 0, 0, 当, )()(02020时yyxx对应的函数值满足| f (x,y) A | 则称 A 为z = f (x,y), 当 P 趋近于P0时(二重)极限.记作Ayxfyxyxpp),(lim),(),(000或,),(lim00Ayxfyyxx二元函数的极限说明：说明：（1定义中定义中 的方式是任意的；的方

9、式是任意的；0PP （2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例1 1 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立xxyyx)sin(lim. 220求例0),()sin(),(:1xyxDxxyyxf在区域这里解.0),(2内部都有定义和区域xyxD.)2 , 0(210的边界点及同时

10、为DDp.,21下列运算都是正确的内考虑内还是在但无论在DD2lim)sin(lim)sin(lim22020yxyxyxxyyyxyx例例3 3 求极求极限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 证明证明 不存不存在在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303li

11、mxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在000),(:52222yxyxyxxyyxf例不不存存在在则则),(lim00yxfyx时时轴轴趋趋于于沿沿证证：当当)0,0(),(xyxp000lim)0,(lim2200 xxxfxx时时轴轴趋趋于于沿沿当当)0,0(),(yyxp000lim),0(lim2200 yyyfyy0但但不不能能说说明明极极限限为为yx 令令212lim),(lim220000 xxyxfyxyx21),(,)0 , 0(yxfxyp时趋于沿说明当yx2 令令5252lim),(lim220000 yyy

12、xfyxyx52),(,)0,0(2yxfyxp时趋于沿说明当不不存存在在),(lim00yxfyxxoy（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有：定义1DPDyxfyxP0000)(),(),

13、(且或边界点一个内点的的定义域为函数设),(),(lim0000yxfyxfyyxx若连续在点则称函数),(),(000yxPyxf上连续在则称中每一点连续在定义域若DyxfzDyxf),(,),(点点不不连连续续的的点点就就叫叫做做间间断断),(yxf四、多元函数的连续性 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数

14、数)(Pf的的间间断断点点.定义定义2 2是间断点)0,0(11222yxz：例上各点均为间断点122 yx000),(:12222yxyxyxxyyxf例性性质质：且取得最大值与最小值上有界在则上连续在有界闭区域设函数. ),(,),(. 1DyxfDyxfkyxfyxPDkyxfkyxfyxfyxfDyxPyxPDyxf),( ),(. ),(),( ),(),(),( ),(,),(. 20000022112211222111使得中的点必存在的实数则对任何满足不等式中两点，且为与上连续在有界闭区域介值定理：设函数均为连续函数，商（分母不为零）连续函数的和，差，积 . 3连续函数连续函数的

15、复合函数是. 4是连续的定义区域内各点都一切多元初等函数在其 . 5)cos(1yxyxezyx：例定义域内处处连续此函数为初等函数，在解:0)0 , 0(),(lim00fyxfyx解：先证处处连续例 000),(:22222yxyxyxxyyxf|0|222222yxyxxyyxxy 2 取取0 2 取取时时当当 22)0()0(0yx2222)0()0(|yxyxxy22)0()0(21yx令成成立立有有 |0|22yxxy)0 ,0(0),(lim00fyxfyx 点点连连续续在在)0,0(),(yxf.),(),(.022处处连续在定义域内处处连续是初等函数时yxfyxfyx例例1

16、1.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义多元函数的定义偏偏导导数数第第二二节节 .偏导数的定义及其算法一.同理可定义同

17、理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，xf ，xz或或),(

18、yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 处处的的偏偏导导数数在在求求例例)2 , 1(3:122yxyxz yxyz23 21yxxz21yxyz,82312.72213 ,32yx 把把 y

19、 看成常量看成常量把把 x 看成常量看成常量 xz:解xz解：;2sin2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 zyxrrrzyxr,3222求：例rxzyxxrx 22222解：解：rzrryrzy 0242yxyxzyzxez求证：例212yezyxx证：)2(32yxezyxy0)2(122232yxyxeyxyeyxyxzyzx266PxTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz 偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0

20、, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，)00lim)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(00 xxxxfxff偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：

21、、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 内有偏导数在区域设函数Dyxfz),(),(yxfxzx 的二阶偏导数就叫它们是函数),(yxfz ),(yxfyzy .数也存在如果是两个函数的偏导的函数yxyxfyxfDyx,),(),(一般仍是内显然在二、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx),(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx),(22yxfyzyzyyy33222222xzyzyxzxyzxz及求yyyxxz32233:解xxyyxyz23922226x

22、yxz196222yyxxyz131323yxxyyxz：设例196222yyxyxzxyxyz1823222336 yxz从上述例子中得到xyzyxz22.我们说并不是如此都具有此性质，是否所有的二阶偏导数定理：导数必相等在该区域这两个二阶偏则内连续在区域及.22Dxyzyxz的两个二阶偏导数如果),(yxfz 满足方程其中：证明例222,1 2zyxrru0222222zuyuxu322221rxzyxxrxrruxu证：xrrxrrxxxu43322312224331zyxxrxr52331rxr由对称性得：5232231ryryu5232231rzrzu0)(3352223222222

23、rzyxrzuyuxu方程这个方程叫作拉普拉斯全微分第三节.)()()(xoxAxfxxfy对于一元函数增量可可微微 的的全全增增量量在在点点定定义义：设设),(),(yxyxfz 可可表表示示为为),(),(yxfyyxxfz yyxBxyxAz),(),(0,0)()(22当其中yx全微分的定义一.),(),(),(yxfzyyxBxyxA称为即记作的全微分在点.),(dzyxyyxBxyxAdz),(),(.内可微分那么称这函数在内各点处都可微分，如果函数在区域DD处可微在则称),(),(yxyxfz 有关而仅与不依赖于yxyxBA,是可微的例：证明：xyyxfz),(),(),(:yx

24、fyyxxfz解yxyyxx)(yxyxxyyxyx2222)()()()(yxyxyxyxxyyBxAxByA,其中：22)()(yxyx（由第一节例）时0000yxyxxydzyxxyz.),(处可微在高阶无穷小差一个比全微分与全增量之间相xyxy70.P偏增量偏微分得得增增量量与与微微分分的的关关系系，可可根根据据一一元元函函数数微微分分学学中中xyxfyxfyxxfx ),(),(),(yyxfyxfyyxfy ),(),(),(的的偏偏微微分分和和对对做做二二元元函函数数对对偏偏增增量量，而而右右端端分分别别叫叫的的和和做做二二元元函函数数对对上上面面两两式式的的左左端端分分别别叫叫

25、yxyxAxfxfxoxAdyxfy)( .)( )()(且存在则可微若在一元函数中)(必要条件定理yyxfxyxfdzyxfyxByxfyxAyxfyxfyxyxyxfzyxyxyx),(),(),(),(),(),(.),(),(),(,),(),(即且存在及的偏导数则该函数在点可微分在点若函数dyyzdxxzdyyxfdxyxfdzyx ),(),(，不一定可微而二元函数偏导数存在可微是一回事对一元函数来说可导与000),(:12222yxyxyxxyyxfz例0)0,0(0)0,0()0,0(yxff及处有在点)(可用定义求得可微在设)0 , 0(),(yxfyfxfyxyxzyx)0

26、 , 0()0 , 0()()(:22则不可微在明接下来我们用反证法说)0 , 0(),(yxf2222)()()()(yxyxyx22)()(yxyx0, 0, 0 ,0但时当yx矛盾处不可微在)0 , 0(),(yxf（充充分分条条件件）定定理理 2则则函函数数在在该该点点可可微微分分连连续续在在点点的的两两个个偏偏导导数数设设函函数数,),(),(),(),(yxyxfyxfyxfzyx 立立呢呢？答答：不不一一定定此此定定理理的的逆逆定定理理是是否否成成 01sin)(),(32222yxyxyxf：例例0022 yxyx点不连续点不连续但在但在点存在点存在在在可微可微在在)0 , 0

27、()0 , 0(),(),(.)0 , 0(yxfyxfyx与可微的关系。存在）续，可导（两个偏导数了解二元函数在一点连非必要条件。分又可导与连续之间既非充导和连续的充分条件，件，而可微是可可导仅是可微的必要条导数连续）偏一个偏导数存在，一个条件（此条件亦可降为分偏导数连续是可微的充二元函数在一点，两个.的推导关系：可用简图表示它们之间偏导数连续可微可导连续极限存在.:222的全微分计算函数例yyxzyxyzxyxz2 2 :2解dyyxxydxdz)2(22.(2,1):3处的全微分在点计算函数例xyez xyxyxeyzyexz : 解2122122 eyzexzyxyxdyedxedz2

28、22应应用用全全微微分分在在近近似似计计算算中中的的二二.近近似似等等式式都都较较小小时时，就就有有并并且且连连续续和和的的两两个个偏偏导导数数在在点点当当|,|.),(),(),(),(yxyxfyxfyxPyxfzyx yyxfxyxfdzzyx ),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(的近似值：求例322)97.1 ()02.2(1322yxz解：令03. 02,02. 02yyxx33222222)(32)(32yxyyzyxxxz322)97. 1 ()02. 2(99667. 1)03. 0()22(32202. 0)22(322222322232

29、2322体积变化的近似值求此圆柱体减少到，高度由增大到发生变形，它的半径由：有一圆柱体，受压后例,9910005.20202cmcmcmcmvhr和高和体积依次为解：设圆柱体的半径，,hrv2则hvrvdvvhrhrrhr22代入把110005. 020hhrr)(200) 1(2005. 020232cmv得3200 cm 约约减减少少了了即即此此圆圆体体在在受受压压后后体体积积则则多多元元复复合合函函数数的的求求导导法法第第四四节节.)()()(xfyxuufy 对对于于一一元元函函数数dxdududydxdy 有有),(),(),(.yxvyxuvufz若对于二元函数),(),(yxyx

30、fz导导数数公公式式呢呢？是是否否也也有有复复合合函函数数的的偏偏定定理理：且可用下列公式计算个偏导数存在的两在点函数合具有连续偏导数，则复在对应点函数的偏导数及对具有对都在点及如果.),(),(),(),(),(,),(),(),(yxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxuxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz 且可用下列公式计算个偏导数存在的两在点函数合具有连续偏导数，则复在对应点函数的偏导数及对具有对都在点及如果.),(),(),(),(),(),(,),(),(),(),(yxyxwyxyxfzwvuwvufzyxy

31、xyxwwyxvyxu几几种种特特殊殊情情况况：只只有有一一个个中中间间变变量量 1处有偏导数存在在数具有偏导数，则复合函具有连续偏导数，而如果),(,),(),(),(yxyxyxfzyxuyxufzxfxuufxz 且且yfyuufyz ),(yxufz ),(yxu ,),(yxyxfz , xv 令, yw , 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw,xfxuufxz .yfyuufyz 只只有有一一个个自自变变量量 2可导且点在偏导数，则复合函数具有连续在对应点函数点可导都在如果ttwttfzwvuwvufzttwwtvtu)(),(),(),(),(.)(),(),(dtdw

32、wzdtdvvzdtduuzdtdz xvvzxuuzxz解：1cossin veyveuu)cos()sin(yxeyxyexyxy yvvzyuuzyz 1cossin vexveuu)cos()sin(yxeyxxexyxy 例例 1 1 设设 vezusin ，而而 xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . . 例例 2 2 设设222),(uyxeyxuf ，而，而.sin2yxu 求求yzxz ,. . xfxuufxz解：2222222sin22uyxuyxxeyxue.)sin21 (22422sin2xxyxeyxxyfyuufyz2222222)(cos22uyxuy

33、xyeyxue .)2sin2(2422sin4xxyxeyxy例例 3 3 设设tuvzsin ，而，而teu ，tvcos ， 求全导数求全导数dtdz. . tzdtdvvzdtduuzdxdz解：ttuevtcossin ttetettcossincos.cos)sin(costttetsincos),(. 4ryrxyxfz其中例22222)(1)()()( zrrzyzxz证证明明：sincosyzxzryyzrxxzrz证：yyzxxzz)cos()sin(ryzrxz222)(1)(zrrz222)cossin(1)sincos(yzrxzrryzxz)(coscossin2)

34、(sin122222222yzryzxzrxzrr22)()(yzxz2222sin)(sincos2cos)(yzyzxzxz22211)(5yzyzyxzxyxyz可微，求证：例22)(yxuuyz证：)2( )(2yyuyzxyxz)2(1)(12111yyyuyxyxyzyxzx222)()(1yzyyxuyyxyxzzeyxfzf,),(622求可微：设例veuyxxy22证：令yefxfxzxyvu2212feyfxxyxefyfyzxyvu)2(212fexfyxyzxwxwfxyzzyxfw2),(7及求具有二阶连续偏导数，：设例zyxvzyxu解：令xvvfxuufxw212

35、11fzyfzyffzfzyfyzfzxw2212zvvfzuufzf111121112111fxyfxyffzvvfzuufzf222222122211fxyfxyff)(2221212112fxyfyzfyfxyfzxw22221211)(fyfzxyfzxyf全全微微分分形形式式不不变变性性dvvzduuzdzvufz 则则具具有有连连续续偏偏导导数数设设：函函数数.),(),(),(,yxvyxuyxvu的函数又是如果的全微分为),(),(yxyxfzdyyzdxxzdz则复合函数续偏导数且这两个函数也具有连.dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz)()()()(dyyvdxxvvz

36、dyyudxxuuzdvvzduuz叫做全微分形式不变性这个性质式是一样的的函数，它的全微分形或中间变量的函数是自变量由此可见：无论.,vuvuz解利用全微分形式不变性例 . 8dvveduveveddzuuucossin)sin(解：dyxdxyxyddu)(代入上式dydxdv)(cos)(sindydxvedyxdxyvedzuuyzxzyxvxyuvezu和求而sindyyxexyxedxyxeyyxexyxyxyxy)cos()sin()cos()sin()cos()sin(yxyxyexzxy)cos()sin(yxyxxeyzxy结结果果相相同同同同例例.1隐函数的求导公式第五节

37、 一个方程式的情形一.022.0),(yxxyxyyxF例函数叫做隐函数的函数，这种为确定由方程0),(0),(,),(),(000000000zyxFzyxFFFFzyxzyxFzzyx且导数的某一领域内有连续偏在设隐函数存在定理：内单值连续某一领域的它在存在唯一的函数则Dyxyxfz),(),(1000),(,2yxfyxF000),(3zyxf85 ,),(4pFFyzFFxzyzxzDyxfzzyzx且内有连续偏导数在dxdyxyyxFyx求例022),(. 12ln22ln2yxyxxyFFdxdy解：yzxzzyx,161224. 2222求例0161224),(222zyxzyx

38、F解：令612362yFxFzzFyxzzxzxFFxzzx4312zyzyFFyzzy236dzyxfzzyx的全微分所确定的函数求由方程例),(1coscoscos. 322201coscoscos),(222zyxzyxF解：zzxxzzxxFFxzzxsincossincossincos2sincos2zzyyFFyzzycossincossindyyzdxxzdzdyzzyydxzzxxsincoscossinsincossincos方方程程组组的的情情况况二二.的函数是考虑方程组yxvuvuyxGvuyxF, 0),(0),(86.P隐函数存在定理）式）雅可比（所组成的函数行列式（

39、且偏导数又量的连续偏导数一领域内具有对各个变的某在点设JacobivuyxGvuyxFvuyxPvuyxGvuyxF. 0),(, 0),(.),(),(),(000000000000vGuGvFuFvuGFJ),(),(不等于零在点),(0000vuyxP并有它们满足条件，具有连续偏导数的函数确定一组单值连续且的某一领域内恒能唯一),(),(),(),(000000yxvvyxuuyxvvyxuuvvuuvvyyvvuuvvxxGFGFGFGFyuGFGFGFGFxu),(0),(0),(0000vuyxvuyxGvuyxF在点则方程组vvuuyyuuvvuuxxuuGFGFGFGFyvGF

40、GFGFGFxvxvxuvuzyxvuzyx求：设例114222220220020001xvvxuuxxvxu解：xxvvxuuxvxu2221uvvxuvxvvuvxxu222221212121uvxuuvuxvuxuxv222221212121法法多多元元函函数数的的极极值值及及其其求求第第八八节节.值值，最最小小值值多多元元函函数数的的极极值值及及最最大大一一.称为极值点值极大值和极小值称为极值小大处取得极在则称且若的某一领域内有定义在定义：设),.(),(),(),(),(),(0,),(),(),(),(000000000000yxyxyxfyxyxMyxyxfyxfyxMyxf有有

41、极极小小值值在在点点：例例)0 ,0(43122yxz )0 , 0(043 .)0 , 0(22fyx 周周围围函函数数值值均均为为正正解解：在在点点有有极极大大值值在在例例)0 ,0(.222yxz 点点为为极极大大值值点点解解：)0 ,0()0 ,0(022 fyx是是极极小小点点，既既不不是是极极大大，也也不不在在：例例)0 , 0(3xyz 1101p（必要条件）定理0),(0),(.),(),(0000000 yxfyxfyxMyxfzyx则则有有极极值值在在点点设设可可微微分分的的函函数数),(),(),(),(),(0),(),(),(00000000yxfyxfyxyxMyx

42、yxMyxf 则则对对取取到到极极大大值值在在证证：设设),(),(0000yxfyxfyy 也也有有取取看看成成一一元元函函数数因因此此把把),(0yxf0),(00yxfx0),(00 yxfy同同样样可可知知：数取得极值必有取得极大值，由一元函在0 xx 的的驻驻点点我我们们称称它它为为函函数数点点同同时时成成立立的的驻驻点点：能能使使),(),(0),(, 0),(00yxfyxyxfyxfyX .不不一一定定是是极极值值点点值值点点必必是是驻驻点点，但但驻驻点点具具有有偏偏导导数数的的函函数数的的极极在在点点并并无无极极值值数数是是这这函函数数的的驻驻点点，但但函函点点例例)0 ,

43、0()0 , 0(xyz 为为极极值值点点呢呢？怎怎样样判判断断一一个个驻驻点点是是否否1111102p（充分条件）定理0),(0),(.),(),(000000 yxfyxfyxPyxfzyx又又设设和和二二阶阶的的连连续续偏偏导导数数的的某某领领域域内内具具有有一一阶阶在在点点设设函函数数2000000),(),(),(BACDyxfCyxfByxfAyyxyxx 记记取得极小值点在时或而当取得极大值在时或则当若),( ),(,)0(0 ),( ),(,)0(0,010000yxPyxfCAyxPyxfCAD的的极极值值点点不不是是则则若若),(),(, 0200yxfyxPD 步步讨讨论

44、论否否取取得得极极值值，需需要要进进一一处处是是在在不不能能肯肯定定若若),(),(, 0300yxPyxfD 处处是是否否取取得得极极值值在在：讨讨论论例例)0 , 0(42xyz 处处在在解解：)0 , 0(22xyzyzyx 0 yxzzxzCyzBzAyyxyxx220 0)0 , 0(2 BAC处在0)0 ,0( z处处在在的的极极值值点点点点不不是是故故可可负负可可正正附附近近而而在在2)0 , 0(,),()0 , 0(xyzyxfz 处处是是否否取取得得极极值值在在：讨讨论论例例)0 , 0()(5222yxz )(4)(42222yxyzyxxzyx 解解：xyzyxzxyx

45、x841222 22124yxzyy 00000 CBAzzyx）处处，在在（02BAC取取得得极极小小值值在在但但)0 , 0()(222yxz 63p求极值的步骤求求得得一一切切驻驻点点解解方方程程组组 0),(0),(.1yxfyxfyxCBAyx和和值值求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的对对于于每每一一个个驻驻点点,),(. 200还还是是极极小小值值是是否否是是极极值值，是是极极大大值值的的结结论论判判定定的的符符号号，按按定定理理定定出出),(2. 3002yxfBAC 的极值点确定函数例 933),(. 62233xyxyxyxf)2 , 3(),0 , 3(),2 , 1(),0

46、 , 1( 驻驻点点为为66),( xyxfAxx0),( yxfBxy66),( yyxfCyy有极小值而处在0120612)0 , 1 (2ABAC故无极值处在. 0)6(12)2 , 1 (2 BAC 063),(0963),(22yyyxfxxyxfyx解解：令令故无极值处在. 06)12()0 , 3(2BAC有极大值而处在012. 0)6()12()2 , 3(2ABAC)2 , 3()0 , 1 (和极值点为的极值求的函数确定由例zyxfzzyxzyx).,(010422. 72220422204222yyxxzzzyzzzx解：61121100zyxzyxzzyx令04220042)(22042)(2222xyxyxyyyyyyxxxxxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzyyyyxxyxxx2)(122)(12241041)6 , 1, 1 (CBA处在604101612有极大值ABAC41041)2, 1, 1 (CBA处在2001612有极小值ABAC最最大大值值和和最最小小值值数数的的利利用用函函数数的的极极值值来来求求函函象象一一元元函函数数一一样样，可可以以112),(PDDyxf值大值，最小的就是最小最比较，其中最大的就是的最大值和最小值相互的边界上值及内的所有驻点处的函数在数