工程力学教学 第2章 轴向拉伸和压缩ppt课件

1、 第7章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 1. 1 7. 1 轴力和轴力图轴力和轴力图轴力和轴力图轴力和轴力图 1. 7. 2 2 横截面上的应力横截面上的应力横截面上的应力横截面上的应力 1. 7. 3 3 斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力 1. 7. 5 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能 1. 7. 6 6 强度计算、强度计算、强度计算、强度计算、 容许应力和安全系数容许应力和安全系数容许应力和安全系数容许应力和安全系数 1. 7. 4 4 拉压杆的变形拉压

2、杆的变形拉压杆的变形拉压杆的变形 1. 7. 7 7 拉伸和压缩超静定问题拉伸和压缩超静定问题拉伸和压缩超静定问题拉伸和压缩超静定问题y活塞杆进油回油（a）（b）钢拉杆概述概述第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩PPPP第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩概述概述7.1 轴力和轴力图轴力和轴力图 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩如图求拉杆指定截面的内力。如图求拉杆指定截面的内力。PPmmP 由截面法：（1截开，留下左半段，去掉右半段； （2用内力代替去掉部分对用内力代替去掉部分对留下部分的作用；留下部分的作用；NF （3考虑留下部分的平衡考虑留下部分的平衡0:0 xNFFP得得

3、NFP 同样，亦可留下右半段作为研究对象，可得同样的结果，如图。PNF 轴力的符号规定：轴力背离截面，拉伸时为正，称为轴力的符号规定：轴力背离截面，拉伸时为正，称为拉力；轴力指向导截面，压缩时为负，称为压力。拉力；轴力指向导截面，压缩时为负，称为压力。7.1 轴力和轴力图轴力和轴力图 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 当杆受多个外力作用时，则求轴力时须分段进行；同当杆受多个外力作用时，则求轴力时须分段进行；同时为了形象地表明各截面轴力的变化情况，可用时为了形象地表明各截面轴力的变化情况，可用“轴力图轴力图表示，具体作法如下：表示，具体作法如下： 例1 试画图示直杆的轴力图。2kN3kN

4、3kN4kN解解(1)求第一段杆的轴力：求第一段杆的轴力：2kN1NF110:2kN02kNxNNFFF 得(2)求第二段杆的轴力：求第二段杆的轴力：2kN3kN2NF20:2kN3kN0 xNFF21kNNF得(3)求第三段杆的轴力：求第三段杆的轴力：2kN3kN4kN3NF30:2kN-3kN4kN0 xNFF33kNNF 得NFx2kN1kN3kN轴力图如图所示。轴力图如图所示。7.2 横截面上的应力横截面上的应力 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩abcdppabcdpp7.2 横截面上的应力横截面上的应力 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩lPPll 假设：变形前原是平面

5、的截面，在变形后仍然是平面。这个假设称为平面假设。 根据材料的连续性和均匀性假设，内力连续分布，且变形相同，内力也相同，于是可知，内力平均分布在横截面上，即应力是均匀分布的。即NFA这就是拉压杆件横截面上各点应力的计算公式。这就是拉压杆件横截面上各点应力的计算公式。 称为横称为横截面上的正应力或法向应力。今后规定：拉应力为正；压截面上的正应力或法向应力。今后规定：拉应力为正；压应力为负。应力为负。7.3 斜截面上的应力斜截面上的应力 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩PpPPPP7.3 斜截面上的应力斜截面上的应力 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩斜截面上的应力：斜截面上的应力：

6、PPPpNFpA cosAA cosNFpAcosp 把 分解成垂直于斜截面的正应力 和相切于斜截面的剪应力 （如图）。那么pPp2coscos p2sin2sincossin p于是可知：于是可知：max)0(2max)45(7.4 拉压杆的变形拉压杆的变形 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩PPd1dl1lPPl1ld1d 如下图：dddlll11,称为杆件的绝对伸长或缩短。于是称为杆件的绝对伸长或缩短。于是ddll1,分别称为轴向线应变和横向线应变。可见：拉应变为正；压分别称为轴向线应变和横向线应变。可见：拉应变为正；压应变为负。应变为负。 经验表明，在弹性范围内APll 引入比例

7、系数E，那么EAPll E值与材料性质有关，称为弹性模量。值与材料性质有关，称为弹性模量。其中，其中，EA代表杆件抵抗变形的能力，称为抗拉压刚度。代表杆件抵抗变形的能力，称为抗拉压刚度。NF llEA 7.4 拉压杆的变形拉压杆的变形 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 若以FN换P，则上式可写成于是可得于是可得E或或E以上三式均称为虎克定律。以上三式均称为虎克定律。 实验表明，在弹性范围内，横向应变与轴向应变之比值是一个常数。即或或1值称为横向变形系数，或泊松比。值称为横向变形系数，或泊松比。17. 4 拉压杆的变形拉压杆的变形 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例2 图示等直

8、钢杆，材料的弹性模量E=210GPa，试计算：（1每段的伸长；（2每段的线应变；（3全杆的总伸长。 解：先求每段的轴力，并作轴力图如图。8kN10kNNF 图 （1求每段的伸长32698 1020.00152m810210 104N AB ABABFllEA8kN2kN10kN8mm2m3mABC326910 1030.00284m810210 104N BC BCBCFllEA7. 4 拉压杆的变形拉压杆的变形 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 （2每段的线应变每段的线应变4106 . 7200152. 0ABABABll41047. 9300284. 0BCBCBCll （3求全杆

9、的总伸长求全杆的总伸长0.001250.002840.004364.36mmACABBClllm 32 22922450 1050.0017m1.7mm210 100.03NF llEA7. 4 拉压杆的变形拉压杆的变形 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例3 图示铰接三角架，在节点B受铅垂力P作用。知：杆AB为钢制圆截面杆，直径为30mm，杆BC为钢制空心圆截面杆，外径为50mm，内径为44mm。P=40kN，E=210GPa，求节点B的位移。ABCP3m4m12 解：（1求轴力。取铰B为研究对象，受力如图。BP1NF2NF220:sin050kNyNNFFPF得2110:cos03

10、0kNxNNNFFFF 得 （2求两杆的变形31 119221430 1030.001m1mm210 10(0.050.044 )NF llEA 7.4 拉压杆的变形拉压杆的变形 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 （3求节点B的位移BBB D22BDBDBB mmlBD1:2其中EHHEBHBEBD Ssinsin:1lBSBH且ctglctgBEHE2 代入数据，得代入数据，得2.8mmDB于是点于是点B的位移为的位移为2212.83mmBB 7. 4 拉压杆的变形拉压杆的变形 第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例例4 图示等直杆，长图示等直杆，长 ，截面积，截面积A，材料容

11、重，材料容重 。求。求整个杆件由自重引起的伸长整个杆件由自重引起的伸长 。 lll 解：如图，取微段杆，那么xdxdx( )NFxdG( )NF xdG( )NFxxAAdxdG是微量，可忽略不计。是微量，可忽略不计。 于是，微段杆的伸长为( )()NFx dxxdxdxEAE整个杆件的伸长为整个杆件的伸长为ElExdxdxlll2)(20)()(212)(22lEAlAlEll即：等直杆由自重引起的伸长等于把自重当作即：等直杆由自重引起的伸长等于把自重当作集中荷载作用在杆端所引起的伸长的一半。集中荷载作用在杆端所引起的伸长的一半。7.5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性

12、能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 材料受外力作用后在强度和变形方面所表现出来的性质材料的力学性质。PPld 在室温下，以缓慢平稳加载的方式进行的拉伸实验，称为常温静载拉伸实验。试件形状如图。 在试件中间等直部分取长为 l 的一段作为工作段，称为标距。对圆截面：对圆截面：dldl510和对矩形截面：对矩形截面：AlAl65. 53 .11和 下面以低碳钢和铸铁为代表来研究材料在拉伸和压缩时的力学性质。7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 （一低碳钢拉伸时的力学性质 由实验可得拉伸图如图。abedlPc 为了消除尺寸的

13、影响，将拉伸图改造为图示的应力应变图。abedcPesb曲线O 根据实验结果，低碳钢的力学性质大致如下： 1、弹性阶段： ( ob ) oa为直线，即 ，故 。EtgEP称为比例极限。称为比例极限。e称为弹性极限。称为弹性极限。 在工程上，比例极限和弹性极限并不严格区分。 强度方面：7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩abedcPesb曲线O 2、屈服阶段：当应力超过弹性极限时，应变显著增加，应力在很小的范围内波动，此时称为屈服或流动。s称为屈服极限。称为屈服极限。屈服极限是衡量材料强度的屈服极限是衡量材料强度的重要指标。重

14、要指标。 3、强化阶段：经过屈服材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化。b称为强度极限。称为强度极限。 4、局部变形阶段：过 d 点后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成颈缩现象，直到试件被拉断。 强度极限是衡量材料强度的另一重要指标。强度极限是衡量材料强度的另一重要指标。7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 变形方面 1、弹性变形和塑性变形： 如图，对应应变nk所发生的变形为弹性变形，对应应变on所发生的变形为塑性变形。 衡量材料塑性性质的指标：（1延伸率延伸率%1001ll1l为拉断时标距的伸

15、长量。为拉断时标距的伸长量。（2截面收缩率截面收缩率%1001AAA1A为拉断后颈缩处的截面面积。为拉断后颈缩处的截面面积。abedcOmnk工程上，工程上， 5%为塑性材料；为塑性材料； 5%为脆性材料。为脆性材料。7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2、冷作硬化、冷作硬化abedcOmnkabedcOmnk卸载定律：卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。卸载定律：卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。冷作硬化：卸载后，再次加载时，其比例极限得到冷作硬化：卸载后，再次加载时，其比例极限得到提高，而断裂时残余应变减小。提高，

16、而断裂时残余应变减小。7. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（二低碳钢压缩时的力学性质（二低碳钢压缩时的力学性质o 低碳钢压缩时的应力应变低碳钢压缩时的应力应变曲线如图所示。曲线如图所示。 （三铸铁在拉伸和压缩时的力学性质 铸铁拉伸和压缩时的应力铸铁拉伸和压缩时的应力应变曲线如图所示。应变曲线如图所示。oo7.6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 材料丧失正常工作能力时的应力，称为危险应力或极限应力，用 表示。0对于塑性材料对于塑性材料s0；对于脆性材料；对于脆性

17、材料b0 为了保证构件具有足够的强度，最大的工作应力不能超过危险应力。不仅如此，还要有一定的安全储备，因此，将危险应力打一折扣，除以一大于一的系数，以n表示，称为安全系数，所得结果称为容许应力或许用应力），即 n0对于塑性材料对于塑性材料；对于脆性材料；对于脆性材料 sn0 bn07. 6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 于是，就可建立强度条件如下： max 对于等截面杆 maxmaxNFA 根据上述强度条件，可以进行以下三种类型的强度计算 （1强度校核 （2设计截面 maxNFA （3确定容许荷载 maxNFA7. 6 强度计

18、算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例例5 图示屋架受到竖向均布荷载图示屋架受到竖向均布荷载q=4.2kN/m , 水平钢拉水平钢拉杆的直径杆的直径d=20mm , 钢的容许应力钢的容许应力 。（。（1校核校核拉杆的强度；（拉杆的强度；（2重新选择拉杆的直径。重新选择拉杆的直径。 160MPamkNq2 . 4ABCm5 . 8m42. 1解：（解：（1求拉杆的轴力求拉杆的轴力 由对称性可得：18.5 4.217.85kN2AyByFFBCmkNq2 . 4ByFCxFCyFNF用截面法取右半部分为研究对象，用截面法取右半部分为研究对象，

19、4.250:1.424.254.2502CNByMFqF解得：解得：26.7kNNF （2强度校核7. 6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 362626.7 1085 10 Pa85MPa20104NFA所以钢拉杆满足强度要求。所以钢拉杆满足强度要求。 （3重新选择钢拉杆的直径 214NFAd 331644 26.7 1014.6 10 m14.6mm160 10NFd 取取 。15mmd 7. 6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例6 图示结构： AC杆为钢杆；

20、 BC杆为木杆 ；求结构的容许荷载 。 2111000mm ,160MPaA 22220000mm ,7MPaA PABC3060P 解：（1建立轴力与荷载的关系 取节点C为研究对象，受力如图，有0:sin30sin6000:cos30cos600 xN ACN BCyN ACN BCFFFFFFP3:,22N ACN BCPFP F 解得 （2求各杆的容许轴力CN ACFN BCFP7. 6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 6631166322160 101000 10160 10 N160kN7 1020000 10140

21、10 N140kNNACNBCFAFA （3计算容许荷载 2184.7kN3NACACPF 2280kNNBCBCPF故结构的容许荷载为故结构的容许荷载为 184.7kNACPP7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 用静力平衡方程可求出全部反力和内力的问题，称为静定问题；仅用静力平衡方程不能求出全部反力和内力的问题，称为超静定问题。例如PPABAFBFABCDPABCDPAxFAyF1NF2NF 超静定问题的求解方法： （1静力方面：列平衡方程。 （2几何方面：寻找变形协调条件，建立变形协调方程。寻找变形协调条件，建立变形协调方程。 （

22、3物理方面：由虎克定律计算变形。 将变形代入变形协调方程，即得补充方程，补充方程将变形代入变形协调方程，即得补充方程，补充方程和平衡方程联立求解，即可求得结果。下面举例说明：和平衡方程联立求解，即可求得结果。下面举例说明：7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例7 图示结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，求杆EC及FD的内力。abbbPABCDEF11AE22AEABCDPAxFAyF1NF2NFABCDP1l2l 解：（1静力方面：取AB为研究对象，受力如图。120:230ANNMFbFbPb （2几何方面：如图2121ll

23、（3物理方面：由虎克定律物理方面：由虎克定律12121122,NNFaFallE AE A于是可得补充方程于是可得补充方程1211222NNF aF aE AE A7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 将补充方程同平衡方程联立求解，即得111112222211223464NNE A PFE AE AE A PFE AE A结果表明：对于超静定结构，各杆内力的大小与其刚度成结果表明：对于超静定结构，各杆内力的大小与其刚度成正比。正比。7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例8 图示

24、三杆组成的结构，在节点A受力P的作用，试求三杆的内力。 解：（1静力方面：以节点A为研究对象，受力如图。PA1NF3NF2NF213120:sinsin00:coscos0 xNNyNNNFFFFFFFP （2几何方面：如图几何方面：如图PABCD11AE11AE22AE123lAA1l3l2l13cosll （3物理方面：由虎克定律物理方面：由虎克定律13131122,cosNNFlFlllE AE A于是可得补充方程于是可得补充方程131122coscosNNFlFlE AE A7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 将补充方程同平衡

25、方程联立求解，即得将补充方程同平衡方程联立求解，即得211123112222331122cos2cos2cosNNNE AFFPE AE AE AFPE AE A变形协调关系变形协调关系:wstllFWFstF物理关系物理关系: :WWWWAElFlststststAElFl 平衡方程平衡方程: :stWFFF解：解：（1 1）WWWstststAEFAEF补充方程补充方程: :（2 2） 木制短柱的木制短柱的4 4个角用个角用4 4个个40mm40mm40mm40mm4mm4mm的等边角钢加固，的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力已知角钢的许用应力st=160MPast=160MPa，Est

26、=200GPaEst=200GPa；木材的；木材的许用应力许用应力W=12MPaW=12MPa，EW=10GPaEW=10GPa，求许可载荷，求许可载荷F F。F2502507. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 9 97. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩代入数据，得代入数据，得FFFFstW283. 0717. 0根据角钢许用应力，确定根据角钢许用应力，确定FstststAF283. 0kN698F根据木柱许用应力，确定根据木柱许用应力，确定FWWWAF717. 0kN104

27、6F许可载荷许可载荷 kN698FF250250查表知查表知40mm40mm40mm40mm4mm4mm等边角钢等边角钢2cm086. 3stA故故 ,cm34.1242ststAA2cm6252525WA7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例10 图示结构，杆1、2的弹性模量均为E，横截面积均为A，梁BD为刚体，荷载P=50KN，许用拉应力为 ，许用压应力为 ，试确定各杆的横截面面积。MPa120MPa160BCDP1245lll 解：（解：（1静力方面：以杆静力方面：以杆BD为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。BBXFBy

28、F1NF2NFCDP4512120 :sin 45220:22220BNNNNMFlFlP lFFP即7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩BCDP1245lllBDDCC2l1C CCC 451l （2几何方面：如图几何方面：如图CCDDl221245sinlCCCC 于是可得变形协调方程为于是可得变形协调方程为1222ll （3物理方面：由虎克定律物理方面：由虎克定律1 11122222NNNNFlFllEAEAFlFllEAEA7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩于是可得补充

29、方程于是可得补充方程214NNFF （4计算轴力：将补充方程同平衡方程联立求解，即得1222225011.49kN82182182825045.9kN821821NNPFPF （5截面设计：由强度条件3211322211.491095.8mm12045.910287mm160NNFAFA所以，应取所以，应取212287mmAA7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 图示结构，杆1、2的弹性模量均为E，横截面积均为A，梁BD为刚体，荷载P=50kN，=45，许用应力为 ，试确定各杆的横截面面积。 160MPa12lBPaaaD一、温度应力一

30、、温度应力知：知：, ,lEA lTl材料的线胀系数材料的线胀系数T温度变化升高）温度变化升高）1、杆件的温度变形伸长）、杆件的温度变形伸长）TllT l 2、杆端作用产生的缩短、杆端作用产生的缩短NRBF lF llEAEA 3、变形条件、变形条件0Tlll 4、求解未知力、求解未知力RBlFEATNRBTlFFE TAA RBlF lT lEA 即即温度应力为温度应力为ABlABRBFTlRAF7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩7. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩二、装配应

31、力二、装配应力知：知：112233,E AE A E A加工误差为加工误差为求：各杆内力。求：各杆内力。1 1、列平衡方程、列平衡方程312cosNNFF2 2、变形协调条件、变形协调条件13cosll 3 3、将物理关系代入、将物理关系代入3 31 13311cosNNF lF lE AE A3333311(1)2cosNE AFE AlE A3122cosNNNFFF312,coslll ll解得解得因因l1233l1232l1lA1NF3NF2NF7. 8 轴向拉压时的变形能轴向拉压时的变形能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩弹性变形能应变能）弹性变形能应变能）单位：单位：1J=1

32、Nm构件由于发生弹性变形而储存的能量如同构件由于发生弹性变形而储存的能量如同弹簧）弹簧）, 。表示为表示为V弹性变形体的功能原理弹性变形体的功能原理 弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过程中，能量是守恒的，若略去动能及能量损耗程中，能量是守恒的，若略去动能及能量损耗, 那么：那么： 外力功外力功=变形能变形能VW 7. 8 轴向拉压时的变形能轴向拉压时的变形能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 变形能:当杆件受拉时，拉力和伸长的关系如图所示。力P所作的功为：线弹性范围内便为：lFFl1()dwFdl2122F lwF lUEA 变形比能:单位体积内的变形能，称为比能。即：21uEu22or 变形比能的应用：例：图示,杆BD=l=3cm ,E1=210GPa,截面面积为A1。BC为钢索，截面面积为A2 ， E2=210GPa,设F=300kN。求B点的垂直和水平位移。7. 8 轴向拉压时的变形能轴向拉压时的变形能第第7章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩解：在F力作用下，以 和 表示B点的垂直和水平位移；FN1和FN2表示轴力，于是有：vHFB1