【高中数学】导数的应用ppt课件

1、天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632（1）求出函数）求出函数f（x）的定义域）的定义域 ；（2）求出函数）求出函数 f（x）的导数）的导数 ；)(xf （4）不等式组）不等式组 的解集为的解集为f（x）的单调减区间；）的单调减区间；()0 xAfx （3）不等式组）不等式组 的解集为的解集为f（x）的单调增区间；）的单调增区间；()0 xAfx 导数的应用一导数的应用一:判断单调性、求单调区间判断单调性、求单调区间注、注、单调区间不单调区间不 以以“并集并集”出现。出现。 1. 一般地一般地,求函数的极值的方法是求函数的极值的方法是: 解方程

2、解方程f(x)=0.当当f (x0)=0时时. 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极大值是极大值;（左正右负极大左正右负极大） 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极小值是极小值.（左负右正极小左负右正极小）0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.导数的应用二导数的应用二:求函数的极值求函数的极值 设函数设函数f(x)的的图象在图象在a,b上是连续不断的曲线上是连续不断的曲线,那那么它必有最大值和最小

3、值么它必有最大值和最小值在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下上的最大值与最小值的步骤如下:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)（即端点的（即端点的函数值）作比较函数值）作比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一最小的一个为最小值个为最小值. 导数的应用三导数的应用三：求函数的最值求函数的最值四、综合应用四、综合应用:例例1:确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函数的定义域是函数的定义域是R,.cos21)(

4、xxf 令令 ,解得解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,f(x)的递增区间是的递增区间是: 递减区间是递减区间是:);)(322 ,322(Zkkk ).)(342 ,322(Zkkk 解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf (2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 解得解得x1.10( ) 02(1),1 01xf xxxx 故故f(x)的递增区间是的递增区间是(1,+);由由 解得解得-1x1,故故f(x)的递减区间是的递减区间是(-1,1).(

5、 )010fxx 说明说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域域,在求出使导数的值为正或负的在求出使导数的值为正或负的x的范围时的范围时,要与要与 定义域求两者的交集定义域求两者的交集.(3);0()(2 axaxxxf解解:函数的定义域是函数的定义域是0,a,且当且当x0,a时时,有有:.2)43(2)2()(222xaxxaxxaxxaxxaxxf 由由 及及 解得解得0 x3a/4,故故f(x)的递增区间的递增区间是是(0,3a/4).), 0 (0)(a

6、xxf 由由 及及 解得解得3a/4x100,故故f(x)的递减区间是的递减区间是(100,+)., 0)( xf说明说明:(1)由于由于f(x)在在x=0处连续处连续,所以递增区间可以扩大所以递增区间可以扩大 到到0,100)(或或0,100).(2)虽然在虽然在x=100处导数为零处导数为零,但在写单调区间时但在写单调区间时, 都可以把都可以把100包含在内包含在内.例例2:设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间恰有三个单调区间,试确定试确定a的取值范的取值范 围围,并求其单调区间并求其单调区间.解解:. 13)(2 axxf若若a0, 对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此时此时f(x)

7、只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.0)( xf若若a=0, 此时此时f(x)也只有一个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾. , 01)( xf若若a0,则则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a1时时,证明不等式证明不等式:.132xx 证证:设设 显然显然f(x)在在1,+)上连续上连续,且且f(1)=0.,132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 显然显然,当当x1时时, ,故故f(x)是是1,+)上的增函数上的增函数.0)( xf所以当所以当x1时时,f(x)f(1)=0,即当即当x1时时,

8、.132xx 说明说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一 种重要方法种重要方法.其解题步骤是其解题步骤是:令令F(x)=f(x)-g(x),xa,其中其中F(a)=f(a)-g(a)=0,从而从而将要证明的不等式将要证明的不等式“当当xa时时,f(x)g(x)”转化为转化为证明证明: “当当xa时时,F(x)F(a)”.练习练习2:已知已知 求证求证:.tan,20 xxx 四、小结四、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数首先要确定函数 的定义域的定义域,解决问题的过程中解决问题的过程中,只能

9、在函数的定义域内只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于除了必须确定使导数等于 零的点外零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点点.3.注意在某一区间内注意在某一区间内 ()0只是函数只是函数f(x)在该区间在该区间 上为增上为增(减减)函数的充分不必要条件函数的充分不必要条件.)(xf 4.利用求导的方法可以证明不等式利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构首先要根据题意构 造函数造函数,再判断所设函数的单调性再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义利用单调性的定义, 证明要证的不等式证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义当函数的单调区间与函数的定义 域相同时域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域我们也可用求导的方法求函数的值域.6.利用导数的符号来判断函数的单调区间利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何是导数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用意义在研究