4.4随机变量的相关系数和相关性ppt课件

1、4.4一、协方差一、协方差1. 1. 协方差的概念协方差的概念定义定义 对于二维随机变量，除了需要关心每个分量的对于二维随机变量，除了需要关心每个分量的数学期望与方差外，还需关心描述与之间相互依赖数学期望与方差外，还需关心描述与之间相互依赖关系的数字特征关系的数字特征 covariance-()() ()()()( , )d d ()ijijijxEXyEY pxEXyEYf x yx y 离离散散型型 ；连连续续型型 ),(CovYX()()EXEX YEY 计算方法：计算方法： 或者用以下公式计算或者用以下公式计算)(E)(E)(E),(CovYXXYYX 事实上，事实上，)()()()(

2、YEXEYXEXYEXYE , )()()(YEXEXYE ),(CovYX()()EXEX YEY 设设(X,Y )(X,Y )的联合分布律为的联合分布律为 例例4.144.14解解0XY1012.00.30.50Cov(,).X Y求求协协方方差差E0.5X E()XY0 0 0.20 1 0.3 1 0 0.5 1 1 00 0.50.5先求出边缘分布，先求出边缘分布，E( )0.3Y 0.70.3)(E)(E)(E),(CovYXXYYX 法法1 1法法2 2Cov(,)X Y 00.500.30.200.510.30.3 1 0.500.30.51 0.51 0.300.15 0.1

3、5 三、协方差的性质：三、协方差的性质：1. 1. 对称性：对称性： ),(Cov),(CovXYYX 2. 2. 线性性：线性性： Cov(,)Cov(,)aX bYabX Y ),(Cov),(Cov),(Cov2121YXYXYXX 3. 3. 若若X X和和Y Y相互独立，那相互独立，那么么 0),(Cov YX4. 4. ),(Cov2)(D)(D)(DYXYXYX x1 11 y1设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其他其他 , 01 ,1),(22yxyxf 边缘密度为边缘密度为 yyxfxfXd),()( 2211d1xxy ,122 x

4、1 x21 xy 21 xy 例例4.15 其他其他 , 01 ,1),(22yxyxf 边缘密度为边缘密度为 ,12)(2 xxfX 1 x同理同理, ,12)(2 yyfY 1 y，)()(),(yfxfyxfYX 即即X X和和Y Y不独立不独立. . ，0d12)(E112 xxxX ( (奇函数奇函数) ) 同理同理, ,.0)(E Y 其他其他 , 01 ,1),(22yxyxf ，0)( XE.0)( YE 122dd1)(EyxyxxyXY 10320ddcossin1rr ，0 ( (或利用对称性或利用对称性) ) 所以所以，0)(E)(E)(E),(Cov YXXYYXx1

5、 11 y1 设设(X,Y )(X,Y )的联合密度函数为的联合密度函数为 例例4.164.16解解.),(CovXYYX 及相关系数及相关系数求协方差求协方差先求出边缘密度，先求出边缘密度，,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxf yyxfxfXd),()( xyxfyfYd),()(,else , 010 ,2 xx,else , 0 32 ,3/2220 ,3/ yyyyxyOxy3 xy2 231 xxxfXd)()(E 10d2xxx，32 xxfxXd)()(E22 102d2xxx，21 22)(E)(E)(DXXX ，181 类似地，类似地，,35)(E Y,

6、619)(E2 Y.187)(D Y yyxfxfXd),()( xyxfyfYd),()(,else , 010 ,2 xx,else , 0 32 ,3/2220 ,3/ yyyy,32)(E X，181)(D X,35)(E Y.187)(D Y yxyxfxyXYdd),()(Eyxyxxxd2d3210 ，45 )(E)(E)(E),(CovYXXYYX ，365 ,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxfxyOxy3 231xy2 )(D)(D),(CovYXYXXY 725 .9449. 0 注：实际上注：实际上, ,本题不必求边缘密度本题不必求边缘密度, ,可以

7、直接用以下公式计算可以直接用以下公式计算E(X)E(X)、E(Y )E(Y )等等. . yxyxxfXdd),()(E yxyxyfYdd),()(E 1032d2dxxyxx，32 1032d2dxxyyx,35 103222d2d)(ExxyyxY.619 实际上实际上, ,第一种方法限定了求积分的次序第一种方法限定了求积分的次序, ,有时不方便有时不方便. .,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxfxyOxy3 231xy2 二、相关系数二、相关系数定义定义设设 D(X)0, D(Y)0,称称 )(D)(D),(CovYXYXXY 下面引入相关系数的定义下面引入相关系数的定义. .相关系数的性质：相关系数的性质：11.XY 1 21XYXY 的的充充要要条条件件是是与与几几乎乎处处处处有有线线性性关关系系，,()1.a bP YabX 即即存存在在常常数数使使定义定义例例4.174.17 设设X，Y的分布率为的分布率为, 0)( XE易知易知,25)( YE, 0)( XYE, 0 XY ., 不相关不相关YX., 不不存存在在线线性性关关系系即即YX1,