二重积分的概念和性质1ppt课件

1、 第九章第九章 重积分重积分第六节第六节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用假设干个小平用假设干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体

2、积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成假设干小块，将薄片分割成假设干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量

3、近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo二、二重积分的概念如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .(1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分

4、必必存存在在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo那么面积元素为那么面积元素为性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(

5、.),(),( DDdyxgdyxf 二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 假设假设 为为D D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 假设在假设在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 那么有那么有 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则性质性质 设设函函数数),(

6、yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续， 为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质性质二重积分中值定理二重积分中值定理 DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD二重积分估值不等式二重积分估值不等式例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 , ab区域面积区域面积2 ,16

7、)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例 3 3 判判断断 122)ln(yxrdxdyyx的的符符号号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln

8、( Ddyx 2)ln(.oxy121D 考虑题考虑题 将二重积分定义与定积分定义进展比较，将二重积分定义与定积分定义进展比较，找出它们的一样之处与不同之处找出它们的一样之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数

9、考虑题解答考虑题解答二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积和式的极限和式的极限四、小结一、一、 填空题填空题: :1 1、 当函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域D上上_时时, ,则其在则其在D上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 . .2 2、 二 重 积 分二 重 积 分 Ddyxf ),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._.3 3、 若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域D上 可 积上 可 积 , , 且且21DDD , ,当当0),( yxf时时, , 则则 1

10、),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf ; ; 当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf . .练练 习习 题题4 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二、二、 利用二重积分定义证明利用二重积分定义证明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k为常数为常数) )三、三、 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(与与, ,其中其中D是由圆是由圆 2)1()2(22 yx所围成所围成 . . 2 2、 dyxdyxD

11、2)ln()ln(与与, ,其中其中D是矩形是矩形 闭区域闭区域: :10 , 53 yx . .四、估计积分四、估计积分 DdyxI )94(22的值的值, ,其中其中D是圆是圆 形区域形区域: :422 yx . .一、一、1 1、连续；、连续；2 2、以、以),(yxfz 为曲顶为曲顶, ,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积 的代数和；的代数和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .练习题答案练习题答案 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用

12、 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体

13、的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示第七节第七节 二重积分的应用二重积分的应用一、问题的提出一、问题的提出二、曲面的面积二、曲面的面积三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力六、小结六、小结一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 假设要计算的某个量假设要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加具有可加性性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域

14、时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相相应地分成许多部分量，且应地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并，并且在闭区域且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的元素，记为的元素，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU实例实例一颗地球的同步轨道通讯一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道通内，且可近似认为是圆轨道通讯卫星运行的

15、角速率与地球自转讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在的角速率相同，即人们看到它在天空不动若地球半径取为天空不动若地球半径取为R，问卫星距地面的高度问卫星距地面的高度h应为多少？应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？通讯卫星的覆盖面积是多大？二、曲面的面积卫星卫星hoxz设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影区区域域为为在在,Dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的的切切平平面面上上过过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则则有有，为为；截截切切平平面面为为柱柱面面，截截曲曲面面轴轴的的小小于于边边界界为为准

16、准线线，母母线线平平行行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o ,面面上上的的投投影影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求求球球面面2222azyx

17、，含含在在圆圆柱柱体体axyx 22内内部部的的那那部部分分面面积积.由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影

18、域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a),(yx 设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy

19、11三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心例例 3 3 设设平平面面薄薄板板由由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴轴围围成成，它它的的面面密密度度1 ，求求形形心心坐坐标标解解先先求求区区域域

20、D的的面面积积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐标标为为 ),(65 a.由由于于区区域域关关于于直直线线ax 对对称称 ， 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系

21、对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12， niiiyxmI12.四、平面薄片的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y例例 4 4 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为

22、a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量.解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴轴的的转转动动惯惯量量为为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：对对x轴轴的的转转动动惯惯量量为为dxdyyIDx 2 .1213 ab 例例 5 5 已知均匀矩形板已知均匀矩形板（面密度为常数（面密度为常数）的长）的长和宽分别为和宽分别为b和和h，计算此矩形板对于通过其形，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解

23、解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb将坐标系平移如图将坐标系平移如图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴轴的的转转动动惯惯量量 DvdudvuI2 .123 hb 薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为

24、为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于 z轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f五、平面薄片对质点的引力例例6 6 求求面面密密度度为为常常量量、半半径径为为R的的均均匀匀圆圆形形薄薄片片：222Ryx ，0 z对对位位于于 z轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0(

25、 a解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRfa几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力注意审题，熟悉相关物理知识注意审题，熟悉相关物理知识六、小结考虑题考虑题.)0(cos,cos之之间间的的均均匀匀薄薄片片的的重重心心求求位位于于两两圆圆babrar ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称

26、x, 0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 考虑题解答考虑题解答一、一、 求锥面求锥面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面积曲面面积. .二、二、 设 薄 片 所 占 的 闭 区 域设 薄 片 所 占 的 闭 区 域D是 介 于 两 个 圆是 介 于 两 个 圆 cos,cosbrar )0(ba 之间的闭区域之间的闭区域, ,求求均匀薄片的重心均匀薄片的重心. .三、三、 设有一等腰直角三角形薄片设有一等腰直角三角形薄片, ,腰长为腰长为a, ,各点处的各点处的面密度等于该点到直角

27、顶点的距离的平方面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, ,求薄片求薄片的重心的重心. .四、四、 设均匀薄片设均匀薄片( (面密度为常数面密度为常数 1)1)所占闭区域所占闭区域D由抛物由抛物线线xy292 与直线与直线2 x所围成所围成, ,求求xI和和yI. .练练 习习 题题五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片: : 0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(, 0 , 0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F. .六、 设由六、 设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板( (密度密度1),

28、1), 求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小? ?一、一、 2. .二、二、)0 ,)(2(22bababa . .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、 ),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(, 0221222aRaRfa练习题答案练习题答案第五节第五节 利用柱面坐标和球面利用柱面坐标和球面 坐标计算三重积分坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结三、小结,0

29、 r,20 . z一、利用柱面坐标计算三重积分的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为为常常数数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf dr

30、xyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例计算计算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲

31、面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体.解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原原式式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzr

32、rdrd二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0.20 ,0 规定：规定：为为常常数数r为为常常数数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别

33、为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴轴上上的的投投影影为为在在点点，面面上上的的投投影影为为在在设设点点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，例例 3 3 计算计算 dxdydzyxI)(22

34、，其中，其中 是是锥面锥面222zyx ， 与与平面平面az )0( a所围的立体所围的立体.解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 与与22yxz 所所

35、围围 成成的的立立体体体体积积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的 一一般般地地，当当积积分分区区域域 关关

36、于于xoy平平面面对对称称，且且被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的奇奇函函数数，则则三三重重积积分分为为零零，若若被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的偶偶函函数数，则则三三重重积积分分为为 在在xoy平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域的的三三重重积积分分的的两两倍倍.奇偶性奇偶性例例利利用用对对称称性性简简化化计计算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其其中中积积分分区区域域1| ),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的奇函数的奇函数,z. 01)1ln(222222 dx

37、dydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 计算计算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由抛物是由抛物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所围成的空所围成的空间闭区域间闭区域.其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐标标下下：,20 , 10 r,222rzr ,

38、 122 yx投投影影区区域域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 1 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz 2 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 3 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结考虑题考虑题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvz

39、yxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所围围, ,则三重积分则三重积分 dvzyxf),(表示成直角坐标下表示成直角坐标下的三次积分是的三次积分是_; ;在柱面坐标下在柱面坐标下的三次积分是的三次积分是_; ;在球面坐标下在球面坐标下的三次积分是的三次积分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所围所围, ,将将 zdv表为柱面坐标下的三次积分表为柱面坐标下的三次积分_, ,其值为其值为_.

40、.练练 习习 题题 3 3、若空间区域、若空间区域 为二曲面为二曲面azyx 22及及 222yxaz 所围所围, ,则其体积可表为三重积分则其体积可表为三重积分_; ;或二重积分或二重积分_; ;或柱面坐标下的三次积分或柱面坐标下的三次积分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所确定所确定, ,将将 zdv表为球面坐标下的三次积分为表为球面坐标下的三次积分为_；其值为；其值为_. .二、计算下列三重积分二、计算下列三重积分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所围成的闭区域所

41、围成的闭区域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所确定所确定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所围成的立所围成的立体的体积体的体积. .四、曲面四、曲面2224aazyx 将球体将球体azzyx4222 分分成两部分成两部分, ,试求两部分的体积之比试求两部分的体积之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所围围成成立立体体的的重重心心( (设设密密度度1 ) ).

42、 .六、求半径为六、求半径为a, ,高为高为h的均匀圆柱体对于过中心而垂的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量直于母线的轴的转动惯量 ( (设密度设密度)1 . .一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr

43、 sin)cos,sinsin2；练习题答案练习题答案 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ； 3 3、 dv, , Ddxdyayxyxa)2(2222, , raaradzrdrd20202； 4 4、4cos203402067,cossinadrrdda . .二、二、1 1、 8； 2 2、)(15455aA ； 3 3、abc 54. .三、三、)455(32 . .四、四、27376276373321 aaVV. .五、五、)307,52,52(2aaa. .六、六、)3(422haM ( (其中其中 haM2为圆柱体的质量为圆柱体的质量).).第六节第六节 含

44、参变量的积分含参变量的积分一、含参变量积分的连续性一、含参变量积分的连续性二、含参变量的函数的微分二、含参变量的函数的微分三、莱布尼茨公式三、莱布尼茨公式四、小结四、小结 )().(, bxadyyxfx 一、含参变量积分的连续性是变量是变量 在在 上的一个一元连续函数上的一个一元连续函数,设函数设函数 是在矩形是在矩形 ),(yxf),( bbxaR dyyxf),(, 上的连续函数上的连续函数. 在在 上任意确定上任意确定 的一个值的一个值, 于是于是),(x x,bax),(yxfy从而积分从而积分xx,ba存在存在, 这个积分的值依赖于取这个积分的值依赖于取定的定的 值值. 当当 的值

45、改变时的值改变时,一般来说这个积分的值也一般来说这个积分的值也跟着改变跟着改变. 这个积分确定一个定义在这个积分确定一个定义在上的上的 的函的函数数, 我们把它记作我们把它记作即即定理定理1 1 假如函数假如函数 在矩形在矩形 ),(yxf),( bbxaR )(),()(bxadyyxfx,ba上连续，那么由积分上连续，那么由积分确定的函数确定的函数 在在 上也连续上也连续. . )(x 证证设设 和和 是是 上的两点，那么上的两点，那么xxx ,ba)1(.),(),()()( dyyxfyxxfxxx这里变量这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为在积分过程中是一个常量，通常称它为参

46、变量参变量.x由于由于 在闭区域在闭区域 上连续，从而一致连续上连续，从而一致连续.),(yxfR因而对于任意取定的因而对于任意取定的 ,存在存在 ,使得对于使得对于 内内的任意两点的任意两点 及及 ,只要它们之间的间隔只要它们之间的间隔 小于小于 ,即即0 0 R),(11yx),(22yx ,)()(212212 yyxx就有就有.),(),(1122 yxfyxf因为点因为点 与与 的间隔的间隔 等于等于 ,所以当所以当),(yxx ),(yxx 时时,就有就有 x.),(),( yxfyxxf于是由于是由1式有式有).(),(),()()( dyyxfyxxfxxx所以所以 在在 上连

47、续上连续. 定理得证定理得证)(x ,ba注注 既然函数既然函数 在在 上连续上连续,那么它在那么它在 上上的积分存在的积分存在,这个积分可以写为这个积分可以写为)(x ,ba,ba.),(),()( bababadyyxfdxdxdyyxfdxx 右端积分式函数右端积分式函数 先对先对 后对后对 的二次积分的二次积分.),(yxfyx定理定理2 2 假如函数假如函数 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR上连续上连续, ,那么那么)2(.),(),(dydxyxfdxdyyxfbaba 公式公式2也可写成也可写成)2(.),(),( babadxyxfdydyyxfdx 我们在实际中还会

48、遇到对于参变量我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值，的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函的函数数.这样这样,积分积分xx 3,dyyxfxxx 也是参变量也是参变量 的函数的函数.下面我们考虑这种更为广泛地下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质依赖于参变量的积分的某些性质.x定理定理3 3 假如函数假如函数 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上连续，上连续，并且并且那么由积分那么由积分3 3

49、确定的函数确定的函数 在在 上也连续上也连续. .证证设设 和和 是是 上的两点，那么上的两点，那么,baxxx .),(),()()()()()()(dyyxfdyyxxfxxxxxxxxx ,),(),(),(),()()()()()()()( xxxxxxxxxxxxdyyxxfdyyxxfdyyxxfdyyxxf )4(.),(),(),(),()()()()()()()()( xxxxxxxxdyyxfyxxfdyyxxfdyyxxfxxx 当当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，时，上式右端最后一个积分的积分限不变，0 x根据证明定理根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零时

50、同样的理由，这个积分趋于零.又又. )()(),(, )()(),()()()()(xxxMdyyxxfxxxMdyyxxfxxxxxx 其中其中 是是 在矩形在矩形 上的最大值上的最大值. 根据根据 与与 在在 上连续的假定，由以上两式可见，上连续的假定，由以上两式可见， 当当 时，时，4式右端的前两个积分都趋于式右端的前两个积分都趋于零零. 于是，当于是，当 时，时，M),(yxfR)(x )(x ,ba0 x0 x),(0)()(bxaxxx ,ba)(x 所以函数所以函数 在在 上连续上连续. 定理得证定理得证下面考虑由积分下面考虑由积分(*)确定的函数确定的函数 的微分问题的微分问题

51、.)(x xyxf ),(定理定理4 4 假如函数假如函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x ,ba)5(.),(),()( dyxyxfdyyxfdxdx矩形矩形 上连续上连续, ,那么由积分那么由积分(1)(1)确定的函数确定的函数 在在 上可微分上可微分, ,并且并且二、含参变量的函数的微分证证因为因为,)()(lim)(0 xxxxxx 为了求为了求 ，先利用公式，先利用公式(1)作出增量之比作出增量之比)(x .),(),()()(dyxyxfyxxfxxxx 由拉格朗日中值定理，以及由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们有的一致连续性，我们有xf )6(),(),(),(),(),(xyxxyxfxyxxfxyxfyxxf 其中其中 ， 可小于任意给定的正数可小于任意给定的正数 ，只要，只要 10 x 小于某个正数小于某个正数 . 因而因而),()(),( xdydyxyx这就是说这就是说. 0),(lim0 dyxyxx综上所述有综上所述有,),(),()()( dyxyxdyxyxfxxxx令令 取上式的极限，即得公式取上式的极限，即得公式5.0 x定理定理5 5 假如函数假如函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x