一阶微分方程 ppt课件

1、 9.2 一阶微分方程一、可分离变量方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程一阶微分方程的形式可表为一阶微分方程的形式可表为)99(0),( yyxF一、可分离变量方程.,),(的已知函数的已知函数是是其中其中yyxyyxF 形如形如)109(d)(d)( yygxxf的一阶微分方程的一阶微分方程, 称为可分离变量方程称为可分离变量方程.对对9-109-10两边积分两边积分, , 得通解得通解 )119(d)(d)( Cyygxxf 将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法，将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法，称为分离变量法称为分离变量法. ., )()(ddyhxxy 例例如如.0d)

2、()(d)()(2121 xyNxNyyMxM均为可分离变量方程均为可分离变量方程.例例1 1.)1()1(2dd22的通解的通解求方程求方程yxxy 解解分离变量分离变量, 得得xxyyd)1(2d1122 两边积分两边积分, 得得 xxyyd)1(2d1122即得通解即得通解Cxy 3)1(32arctan)( 为任意常数为任意常数C例例2 2.d3d3d42的的通通解解求求方方程程yyxyyxx 解解合并同类项合并同类项, 得得yxyxxd)1(3d42 分离变量分离变量, 得得yyxxxd3d142 两边积分两边积分, 得得.ln43)1ln(22Cyx 即有通解即有通解2432e1y

3、Cx )(为正常数为正常数C例例3 3.0,0,41)0(,)(dd yNaNyyNayxy式式中中的的特特解解以以及及的的通通解解求求解解逻逻辑辑斯斯蒂蒂方方程程解解分离变量分离变量, xayNyyd)(d 即有即有xaNyyNydd11 两边积分两边积分, 得得CaNxyNylnln aNxCeln ,0 yNy由于由于整理得通解整理得通解NaxNaxCCNye1e )( 为正常数为正常数C,41)0(代入代入将将Ny ,31 C得得于是所求特解为于是所求特解为.e3eNaxNaxNy 例例4 4, ):( )(百万元百万元单位单位年净资产有年净资产有某公司某公司tWt并且并且,%5的速度

4、连续增长的速度连续增长资产本身以每年资产本身以每年同时该公司每同时该公司每年要以年要以30百万元的数额连续支付职工工资百万元的数额连续支付职工工资.;)()1(的微分方程的微分方程给出描述净资产给出描述净资产tW;,)2(0W这时假设初始净资产为这时假设初始净资产为求解方程求解方程解解(1) 利用平衡法利用平衡法,即由即由净资产增长速度净资产增长速度= 资产本身增长速度资产本身增长速度 职工工资支付速度职工工资支付速度.)(,700,600,500)3(0化化特特点点的的变变三三种种情情况况下下讨讨论论在在tWW 得到方程得到方程3005. 0dd WtW(2) 分离变量分离变量, 得得tWW

5、d05. 0600d 积分积分, 得得CtWln05. 0600ln )( 为正常数为正常数C于是于是tCW05. 0e600 或或)(e60005. 0CAAWt ,)0(0代入代入将将WW 得方程通解得方程通解:tWW05. 00e )600(600 ,600 W上式推导过程中上式推导过程中,600时时当当 W, 0dd tW,6000WW 可可知知通常称为平衡解通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中仍包含在通解表达式中.(3) 由通解表达式可知由通解表达式可知,5000百百万万元元时时当当 W净资产额单调递减净资产额单调递减, 公司将在第公司将在第36年破产年破产;,6000百百万万元元

6、时时当当 W公司将收支平衡公司将收支平衡, 净资产保持净资产保持在在600百万元不变百万元不变;公司净资产公司净资产百万元时百万元时当当,7000W将按指数不断增长将按指数不断增长. 1. 齐次微分方程齐次微分方程形如形如)129(dd xyfxy的一阶微分方程的一阶微分方程, 称为齐次微分方程称为齐次微分方程, 简称齐次方程简称齐次方程.二、齐次微分方程例如例如,0d)2(d)(22 yxyxxyxyxyxyxyxy2dd22 .212 xyxyxy所以该方程是齐次方程所以该方程是齐次方程.)139( xuyxyu或或令令, )(xuuu 是新的未知函数是新的未知函数其中其中uuxy uuf

7、xux )(dd的解法：的解法：齐次方程齐次方程 xyfxydd分离变量再积分，得分离变量再积分，得 xxuufud)(d)149(ln Cx代入方程代入方程 ，得，得)129( ,回回代代将将xyu .即可得通解即可得通解,a当有常数当有常数, 0)( aaf使使,是新方程的解是新方程的解则则au ,代回原方程代回原方程.axy 得齐次方程的特解得齐次方程的特解注意注意例例5 5.tan的通解的通解求方程求方程xyxyy 解解所给方程为齐次方程所给方程为齐次方程, ,xyu 令令代入原方程代入原方程, 得得,tanuuuux 即即uxuxtandd 分离变量分离变量, 得得xCCxulnln

8、lnsinln xxuud1dcot 积分积分, 得得即即Cxu sin,代代入入上上式式将将xyu 即得方程通解即得方程通解Cxxy sin)arcsin(Cxxy .为任意常数为任意常数其中其中C例例6 6.0d)32(d)2(2323的的通通解解求求方方程程 xyxyyxyx解解将方程改写为齐次方程将方程改写为齐次方程232132dd xyxyxyxy,xyu 令令则有则有,212323uuuuux 即即2212dduuxux 分离变量分离变量, 得得xxuuudd21 积分积分, 得得Cxuulnln21ln212 即即,e22Cxuu 2CC ,回代回代将将xyu 得方程通解得方程通

9、解322eCxyxy .为任意常数为任意常数其中其中C例例7 7.,dd,2112122112212121的的函函数数关关系系式式与与求求的的弹弹性性为为相相对对于于且且价价格格相相关关与与价价格格已已知知的的售售价价分分别别为为和和商商品品设设商商品品PPPPPPPPPPPPPPPPBA 解解所给方程为齐次方程所给方程为齐次方程, 整理得整理得2121212111ddPPPPPpPP ,21PPu 令令则有则有uuuuuP 112分离变量分离变量, 得得222d2d11PPuuu 积分积分, 得得CPuulnlnln122 ,21回代回代将将PPu 于是有通解于是有通解2112ePCPPP

10、.为任意正的常数为任意正的常数其中其中C2. 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程,)159(dd111的的微微分分方方程程形形如如 cybxacbyaxfxy为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,dd,ddYyXx 否则为非齐次方程否则为非齐次方程. . 11111ddckbhaYbXacbkahbYaXfXY解法解法.是待定的常数是待定的常数及及其中其中kh原方程成为原方程成为 , 0, 0111ckbhacbkah,11babaD 系系数数行行列列式式有唯一一组解有唯一一组解. .,dd11 YbXabYaXfXY得通解代回得通解代回 ，kyYhxX,

11、0)2( D未必有解未必有解, , 上述方法不能用上述方法不能用. .,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba方程组方程组, 0)1(11 babaD,11 bbaa令令,)(dd1 cbyaxcbyaxfxy 方方程程可可化化为为,byaxz 令令，则则xybaxzdddd .dd11 czczfaxzb , 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. ., 0, 01 ab若若,dd1dd axzbxy,dd11 cczfaxzb可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量. .例例8 8.42d

12、d的通解的通解求方程求方程 yxxyxy解解因为因为21111 D, 0 于是由方程于是由方程 42 解得解得, 1, 3 则令则令1,3 vyux方程变为方程变为uvuvuv dd,uvw 再令再令得得11 wwwuw分离变量分离变量, 得得uuwwwdd112 积分得积分得Cuwwlnln)1ln(21arctan2 ,31, 3代代入入上上式式将将 xywxu得原方程通解得原方程通解,e)1()3(31arctan22 xyCyx.为任意正的常数为任意正的常数其中其中C形如形如)169()()( xQyxPy的一阶微分方程的一阶微分方程, 称为一阶线性微分方程称为一阶线性微分方程, 其中

13、其中, 方方程程变变为为若若,0)( xQ)179(0)( yxPy则称方程则称方程(9-17)为一阶齐次线性方程为一阶齐次线性方程,)(不恒等于零不恒等于零若若xQ三、一阶线性微分方程则称方程则称方程 为一阶非齐次线性方程为一阶非齐次线性方程.)169( . 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy 分离变量，得分离变量，得两端积分，得两端积分，得,lnd)(lnCxxPy 对应的齐次线性方程的通解为对应的齐次线性方程的通解为)189(.ed)( xxPCy1. 一阶齐次线性方程的解法一阶齐次线性方程的解法可分离变量的方程可分离变量的方程.为任意常数为任意常数其中其中C2. 一阶非齐次线性

14、方程的解法一阶非齐次线性方程的解法的的通通解解变变形形为为（将将方方程程)179 ,ed)(CyxxP 两边求导，得两边求导，得,0)(eeddd)(d)( yxPyyxxxPxxP得得利利用用上上面面的的等等式式两两端端同同乘乘将将方方程程,e)169(d)( xxP,)(edd)(ed)(d)(d)( xxPxxPxxPexQyxyxPy两边积分，得两边积分，得,de )(ed)(d)( CxxQyxxPxxP的的通通解解（即即得得方方程程)169 )199(.de )(ed)(d)( CxxQyxxPxxP,ed)(因子法因子法求解方程的方法叫积分求解方程的方法叫积分这种利用因子这种利用

15、因子 xxP.ed)(称为积分因子称为积分因子 xxP, )(xCC 换成待定函数换成待定函数将将的的步步骤骤：（求求解解方方程程)169 的的通通解解（对对应应的的齐齐次次方方程程（求求出出方方程程)179)169 ,ed)( xxPCy的通解为的通解为（即令方程即令方程)169 )209(,e )(d)( xxPxCy代入原方程，得代入原方程，得, )(e )()(e )()(e )(d)(d)(d)(xQxCxPxPxCxCxxPxxPxxP 这种通过将齐次方程通解中任意常数变易为待这种通过将齐次方程通解中任意常数变易为待定函数的方法称为常数变易法定函数的方法称为常数变易法. .)219

16、(,de )()(d)( CxxQxCxxP即即得得. )199()169)209 的的通通解解表表达达式式（即即得得方方程程，（代代入入例例9 9.12的通解的通解求方程求方程 xyyx解解由方程对应的齐次方程由方程对应的齐次方程02 xyyx分离变量分离变量, 得得xxyyd1d1 积分积分, 得得xCyCxy 或或lnlnln),(xCC 变易为变易为将将,)(为原方程的解为原方程的解设设xxCy 代入原方程代入原方程, 得得1)()(11)(22 xxCxxCxxxCx即有即有,1)(xxC 积分积分, 得得CxxC ln)(于是原方程的通解为于是原方程的通解为)(ln1Cxxy .为

17、任意常数为任意常数其中其中C例例1010.0d)12(d23的的通通解解求求方方程程 yxyxy解解,的的函函数数时时看看作作当当将将xy方程变为方程变为2321ddxyyxy 不是一阶线性微分方程不是一阶线性微分方程, 不便求解不便求解.,的函数的函数看作看作若将若将yx方程改写为方程改写为12dd23 xyyxy则为一阶线性微分方程则为一阶线性微分方程, 于是对应齐次方程为于是对应齐次方程为02dd23 xyyxy分离变量分离变量, 积分积分, 得得,d2d yyxx21yCx 即即,C变易常数变易常数即令即令21)(yyCx 为原方程的解为原方程的解, 代入原方程代入原方程, 有有,1)

18、(yyC 积分积分, 得得.ln)(CyyC 于是原方程的通解为于是原方程的通解为)(ln12Cyyx .为任意常数为任意常数其中其中C例例1111. )(,)0(,22922,2, )()(0tybyybabtatyybttytyt求求均均为为正正常常数数其其中中）（并并有有方方程程有有关关以以及及新新增增投投资资的的增增长长率率与与产产值值时时刻刻产产值值设设某某企企业业 解解atyty2dd 分离变量分离变量, 积分积分, 得得2eatCy ,e )(2attCy 方程方程 对应的齐次方程为对应的齐次方程为)229( 变易常数变易常数, 令令 的通解为的通解为)229( 代入原方程代入原方程,积分积分, 得得得得,e2)(2atbttC CabtCat 2e)(2e)(atCabty ,)0(0代代入入通通解解将将初初