中值定理总结..ppt课件

1、第三章第三章 微分中值定理与导数的微分中值定理与导数的应用应用 高等数学高等数学微分中值定理微分中值定理 习题课习题课f (x)满足条件(2), (3),但不满足条件(1), 在(0, 1)内,21)( xf例如例如: (i) y=f (x)=121x1 , x = 1, x0, 1) 图1 x y01123 注意注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的是必要的.1 , 1 |)(xxxfyf (x)在-1, 1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当 x 时, f (x)= 1. x 时, f (x)= 1. x=0时, f (0)不存在.

2、(ii)0 x y111图2y = |x|(iii) y=f (x)=x, x1, 2, f (x)在1, 2上满足条件(1), (2),但不满足条件(3),在(1, 2)内, f (x)=1. 02112xy图3y=x 例例1 设函数设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 不求导数不求导数,试判试判 断方程断方程 f x 有几有几个实根个实根, 它们分别在何区间它们分别在何区间? 解解: f (x)在在1, 2上连续上连续, 在(1, 2)上可导,且 f (1)= f (2);由罗尔定理: 1 , 使 f (1; 同理, 2, , 注意到 f (x)=0为二次方程, 使 f (2

3、;它至多有两个实根,故 1, 2是 f (x)=0 的全部实根. 例例2. 设设 ab0 n1. 证明证明:令 f (x)= x n 显然 f (x) 在 b, a上满足拉格朗日定理条件, 证明: nbn1(ab) an bn nan1(a b)有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a)即 an bn = n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1 nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b) 即 nbn1(ab) an bn nan1(a b)例3 选择题.选出符合题意的选项.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有( ). 0 , 2 ,

4、1)(.Axxxf. 4 , 2 ,)4()(.B2xxxf. 2, 23 ,sin)(.Cxxxf. 1 , 1 |,|)(.Dxxxf注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在a,b上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).分析不难发现 ，在2,0上不满足连续的条件，因此应排除A.xxf1)(对于 ，在2,4上连续，在(2,4)内可导；f(2)=36，f(4)=0， ，因此应排除B.2)4()( xxf)4()2(ff.C.上2,23sin).2(1)23(应选尔定理满足罗在因此xff,)2, 23(,2, 23sin)(可导内在上连续，在对于xxf对

5、于f(x)=|x|，在1,1上连续，在(1,1)内不可导，因此应排除.综合之，本例应单选.例4 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).A.仅有一条；B.至少有一条；C.不一定存在；D.不存在.由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在a,b上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 使得),(ba. 0)(f分析又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.)(,(f例5 选择题.函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =( ). 1 .D ; 3 .C ;

6、0 .B ;43 .A 由于 在1,3上连续，在(1,3)内可导，因此f(x)在1,3上满足拉格朗日中值定理条件.12)(2xxxf分析使),3 , 1(由拉格朗日定理可知，必定存在. )()()(abafbff由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(1)=4,而 因此有. 14)(f12)(2xxxf可解得 ，因此本例应选D. 1. 3) 1(341614. |arctanarctan|abab例6 试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.证 设f(x)=arctan x ,不妨设a 0 , 存在存在 使使 由于由于, 有

7、有01sinlim20 xxx. 0)1cos1sin2(lim)(lim00 xxf.)1cos1sin2(lim)(lim00不不存存在在xxxxfxx 因因,01sin2lim0 xxx所所以以不不存存在在而而,1coslim0 xx 作为应用，下面再举两个简单的例子作为应用，下面再举两个简单的例子.例例11 求证求证.0,1e xxx证证则则设设,1e)(xxFx . 1e)( xxF所所以以( )0,0,),0,F xxx且且当当时时( )0F x( )0).F x的的点点不不含含一一个个区区间间故故( )0,)F x在在,0,x 上上严严格格递递增增 所所以以对对任任意意恒有恒有, 0)0()( FxF即即. 0,1e xxx例例12 设设 f (x) = x 3 x. 讨论函数讨论函数 f 的单调区间的单调区间.解解 由于由于),13)(13(13)(2 xxxxf因而因而递递增