命题及点评格式

1、命题格式参考案例：关于“等张角点”一题的命制高淳县第一中学 顾香才 njgxc最终形成的题目：若ABC形内一点P满足APB=APC，则称点P是ABC两边AB、AC的等张角点（1）如图1，在ABC中，AB=AC，AD是A的角平分线，点P是AD上任意一点，试证明点P是ABC的两边AB、AC的等张角点；（2）如图2，在ABC中，ABAC，AD是A的角平分线，在AD上是否存在一点P，使点P是ABC的两边AB、AC的等张角点？试说明理由；（3）如图3，在ABC中，ABAC，用直尺和圆规画出ABC的两边AB、AC的等张角点图1图2图3（写出画法）1问题来源：数学奥林匹克初中题典中国少年儿童出版社作者 无边

2、2001年1月第1版第222页第18题题目：已知ABC中，AB=AC，P满足APB=APC，求点P的轨迹 解答：点P的轨迹有三部分组成：（1）线段BC的延长线，射线BB，CC；（2）A的平分线AD（不包括点A）；（3）ABC外接圆上的弧AB（不包括点B、C）2启发思考：2.1 作为竞赛题，本题编制灵活，知识跨度极大，对初中阶段有关“角”的定理必须有很好的提炼但直接拿来作为中考题肯定是不合适的2.2 本题题干简洁，内涵深刻从解答看，最容易想到答案（2），然后才想到答案（1），至于答案（3）用到“同弧所对的圆周角”这一知识，显然是很难想到的2.3 从传统几何过渡新课程下的几何，如何将此题改编成一个

3、探索性问题？从哪里入手？显然，必须删除答案（3）相关的知识，将注意力集中角平分线有关的知识去编制3试题编拟：若ABC形内一点P满足APB=APC，则称点P是ABC两边AB、AC的等张角点（1）如图1，在ABC中，AB=AC，AD是A的角平分线，点P是AD上任意一点，试证明点P是ABC的两边AB、AC的等张角点； 【设计意图】在熟悉的几何图形中，通过等腰三角形、三线合一、三角形全等等知识考查学生对题目给出的新定义“等张角点”最直接、最浅显的理解。入口很宽，建立信心。（2）如图2，在ABC中，ABAC，AD是A的角平分线，在AD上是否存在一点P，使点P是ABC的两边AB、AC的等张角点？试说明理由

4、 【设计意图】当图形发生改变时，进一步深入考查学生对题目给出的新定义“等张角点”的理解。本题“试说明理由”关注证明意义的理解以及证明的过程是否步步有据。只要紧扣题意，解答完成不困难，且为下问设计作好铺垫。（3）如图3，在ABC中，ABAC，用直尺和圆规画出ABC的两边AB、AC的等张角点【设计意图】此问在（2）的基础生成，贴切自然，生动活泼，探究已成必然。在解决问题的过程中，既考查合情推理又更考查了演绎推理。在基于新定义“等张角点”深刻理解的基础上才能完成，在思维上具有一定的挑战性，体现本题的区分度。解答：（1）因为AD是A的角平分线，所以BAP=CAP，已知AB=AC，AP=AP，所以APB

5、APC（2）若在AD上是否存在一点P，使点P是ABC的两边AB、AC一个等张角点，则BAP=CAP，因为AD是A的角平分线，所以BAP=CAP，又AP=AP，所以APBAPC，得AB=AC，与条件ABAC不符，所以在AD上不存在一点P，使点P是ABC的两边AB、AC一个等张角点（3）画法：（）以A为圆心，AC为半径画弧；（）在ABC内的弧上任取一点D，画射线BD；（）画DAC的角平分线交射线BD于点P点P即为所求证明：由画图可知，AD=AC，DAP=CAP，而AP=AP，所以APDAPC，得APD=APC，即APB=APC所以，点P是ABC的两边AB、AC一个等张角点4编制过程：4.1 题目的

6、四次改造过程延续上次高淳、溧水两县期中试卷最后一题关于“等腰点”命制的思路。“等腰点”一题将重心放在中垂线上，那么能不能在角平分线上进行有益的尝试和创意？为方便各位同仁阅读和理解，在此附上关于“等腰点”的题目：平面上，若点P与两点A、B构成的PAB是等腰三角形，我们则称点P是两点A、B的“等腰点”类似地，平面上，若点P与三点A、B、C中的任意两点构成的PAB、PBC、PCA均是等腰三角形，我们则称点P是三点A、B、C的“等腰点”（1）在下图中，用圆规和直尺画出两点A、B的一个“等腰点”；（保留痕迹，不写画法）（2）在下图中，用圆规和直尺画出三点A、B、C（AC=BCAB）的所有“等腰点”；（保

7、留痕迹，写出画法）素材浏览，触发灵感，当我看到数学奥林匹克初中题典中“已知ABC中，AB=AC，P满足APB=APC，求点P的轨迹”时，直觉告诉我，这题内涵丰富，有可推广性。第一次改造如下：（1）如图1，在ABC中，AB=AC，在ABC形内用直尺和圆规画点P，使得点P满足APB=APC。图2（2）如图2，在ABC中，ABAC，用直尺和圆规画出点P，使得点P满足APB=APC。反思与改进：（1）起点较高，学生可能难以适应，效度失真。（2）过于强调画图，不符合课程标准。（3）两问之间没有较好的衔接，数学探索的意味不明显。（4）缺乏阅读理解。第二次改造如下：（图形同上）若ABC形内一点P满足APB=

8、APC，则称点P是ABC两边AB、AC的等张角点（1）如图1，在ABC中，AB=AC，用直尺和圆规画点ABC两边AB、AC的等张角点P。（2）如图2，在ABC中，ABAC，用直尺和圆规画出点ABC两边AB、AC的等张角点。反思与改进：（1）创设新定义“等张角点”，增加了阅读理解。“等张角点”既有数学韵味又贴切本题，较为合适。（2）两问之间设问方式单一，缺乏层次。（3）两问之间没有较好的衔接，数学探索的意味不明显。（4）起点仍然较高。第三次改造如下：若ABC形内一点P满足APB=APC，则称点P是ABC两边AB、AC的等张角点（1）如图1，在ABC中，AB=AC，AD是A的角平分线，点P是AD上

9、任意一点，试证明点P是ABC的两边AB、AC的等张角点；（2）如图2，在ABC中，ABAC，用直尺和圆规画出ABC的两边AB、AC的等张角点图1图2反思与改进：（1）起点已经降低。（2）两问之间设问方式不再单一，有一定的层次感。（3）两问之间的衔接仍然有断层，探索的路子不明显。（4）第2问的解答中，类比思维较高，最好还有铺垫。最后一次改造，形成本题。反思与改进：（1）增加第2问目的是进一步从不同图形背景下理解“等张角点”，（2）三个小问之间的衔接比较自然，第3问在第2问的基础上指明了探索的方向。（3）三个小问分别是涉及简单证明、说理、探究层层推进，考查重心突出推理。至此，问题编制基本完善。4.

10、2从课程标准的角度审视本题编制的合理性针对本题的编制，重新学习课程标准相关的内容：（1）关于“数学”的解读：数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。数学教育一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，另一方面要发挥数学在培养人的逻辑和创新思维方面的不可替代的作用。审视：本题从熟悉的角平分线起点，是基本的数学知识和技能的考查，第三问在辑和创新思维方面作了有益的尝试。（2）关于“学生学习数学”的解读：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重

11、要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 审视：本题对学生来说应该是平时“观察、实验、猜测、推理、验证等活动过程”的再现，只是呈现的问题角度是新的，背景是公平的。（3）关于“图形与几何的教学要求”的解读：在“图形与几何的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。 空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。审视：本题第2问已经体现出学生对本问题的空间观念，第3问进一步加深对“等张角点”的理解。 几何直观是指利用图

12、形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习过程中。审视：本题第1、2两问通过图形描述和分析作了较好的暗示和铺垫，几何直观体现得较为明显，有助于第3问探索解决问题的思路，预测结果。 推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理：合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。审视：本题在推理考查中较好地体现了演绎推理，如第1问直接根据新定义“等张角点”出发证明两个三角形全等即可。第2问在第1问的基础上进一步加强了演绎推理，说理过程中，不回避学生用反证法。第3问融几何直观、合情推理和演绎推理于一体，对推理能力提出了更高的要求。试题点评参考格式：例1如图，RtABC中，C90，AC4，BC3，以ABC的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点