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文档简介
1、排列组合基础知识、两大原理1. 加法原理n1中不同的方法,第二类方法 那么完成这件(1)定义:做一件事,完成它有 n类方法,在第一类方法中有 中有n2种不同的方法 第n类方法中nn种不同的方法, 事共有N烽n2心n n种不同的方法。(2 )本质:每一类方法均能独立完成该任务。(3 )特点: 分成几类,就有几项相加。例1.从甲地到乙地,可以乘动车,也可以乘汽车;一天中动车有 班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法?3班,汽车有 2如上图,从甲地到乙地共有3+2种方法。2. 乘法原理m1中不同的方法,做第二个步骤 那么完成这件(1) 定义做一件事,完成它需要n个步骤,做第一个步
2、骤有 有m2种不同的方法 做第n个步骤有mn种不同的方法, 事共有N = mm .m n种不同的方法。(2)本质:缺少任何一步均无法完成任务,每一步是不可缺少的环节(3) 特点: 分成几步,就有几项相乘。例2.从甲地到乙地,要先从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中火车2班,汽车3班。那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的方法?解:由上图可知共有的可能路线为:火车1汽车1,火车2汽车1火车1 汽车2,火车2汽车2火车1 汽车3,火车2汽车3所以共有24 口 8种方式。二、排列组合1. 排列(1) 排列的定义:从 n个不同的元素中,任取 m个(m n )元素, 按照一定的顺序
3、排成一 列,叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的一个排列。(2)使用排列的三条件 n个不同元素; 任取m个;讲 究顺序。2. 组合(1 )组合的定义:从 n个不同的元素中,任取m个(m n )元素并为一组 ,叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的一个组合。(2 )使用三条件 n个不同元素; 任取m个; 并为一组,不讲顺序。排列与组合的共同点 :都是“从n个不同元素中任取 m个元素”; 排列与组合的不同点 :排列与元素的顺序有关系,而组合与元素的顺序无关。 也就是说:组合是选择的结果,而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义 :从n个不同的元素中,任取m个(m n)元素所有排列的个数,叫做从
4、n个不同的元素中取出m个元素的排列数,记为Anm。例1.从甲、乙、丙三个中任取 2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式?解:由上图可知,共有6种方式。需要注意:此题相当于从3个不同的元素中任取 2个元素,并按一定的顺序排列,所有共有的排列数为A 32,即A326 3 2 ,其中上标2是相乘的项数,下标是相乘中的最大那一项 3,而且之后的每项总是比前一项少1。例2.从a, b, c, d四个元素中任取 2个排成一列共有多少种可能?解 所以的可能排列为:ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc.共有 12 种,即A212 4 3 ,其中
5、上标 2是相乘的项数,下标是相乘中的最大那一项4,而且之后的每项总是比前一项少1 。例 3.从 a, b, c, d四个元素中任取 3个排成一列共有多少种可能?解所以的可能排列为:abc, acb,bac,bca,cab, cba, abd, adb, bad, bda, dab,dba, acd, adc, cad, cda, dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种,即A4324 4 3 2 ,其中上标3是相乘的项数,下标是相乘中的最大那一项4,而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式2).(Anmn( n 1)(nn m 1
6、)n!,其中上标 m表示相乘的项数,n 一 m)!其中"豆n(n d)弊呼艇2 1。尤其: 01,1, n !。AnAnn A n n5组合数的定义:从n个不同的元素中,任取 m个(m n )元素 所有组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中取出 m个元素的组合数,记为 Cnm。例4.从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式?解:可能的组合为:甲乙,甲丙,乙丙。所以共有3种需要注意:此题相当于从 3个不同的元素中任取2个元素并成一组,所有共有的组合数为C32,即Cs23。这个结果与例1比较发现232 A32C 332 1 A。例2.从a, b, c, d四个元素中任取
7、2个并成一组,共有多少种可能?解 所以的可能排列为:ab, ac, ad, be, bd, cd.共有6种,即C426。这个结果与例2比较发现IfC4264 3 A2。2 1 A2例6.从a, b, c, d四个元素中任取3个并成一组,共有多少种可能?解 所以的可能排列为:abc, abd, acd, bcd 。共有4种,即C434。这个结果与例3比较发现3申戸=4 32AC 4。3 21A3由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式m =- n(n 1).(n m )G/V 兰 m(m 1).2 =1="尤其:Cn01,Cn1n, Cnn1, G""()我们这本书用 m 表示Cn”。下面3题要求学解题过程1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛,(1)列出所有各场比赛的上方;(2 )列出所有冠军的可能情况。2. 由0,1,2,3
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