23等差数列的前n项和

1、 S = a + a + + a nn12复习等差数列的有关概念 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。表示。无关的数或式子）是与ndaann(1dnaan) 1(1当d0时，这是关于n的一个一次函数。等差数列等差数列 的通项公式为的通项公式为 na 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列

2、，成等差数列，那么那么A叫做叫做a与与b的等差中项。的等差中项。2baA复习数列的有关概念 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 nana叫做数列 的前n项和。 nannnaaaaaS1321)2() 1(11nSSnSannn问题问题Av如图，工地上一堆钢管，从上到下每层的数目如图，工地上一堆钢管，从上到下每层的数目分别为分别为1，2，3，10 . 问共有多少根钢管？问共有多少根钢管？问题问题Av如图，工地上一堆钢管，从上到下每层的数目如图，工地上一堆钢管，从上到下每层的数目分别为分别为1，2，3，10 . 问共有多少根钢管？问共有多少根

3、钢管？1+2+3+ +100 =? 问题问题B1+2+3+ +100 = ？2100高斯的算法是：高斯的算法是：首项与末项的和：首项与末项的和： 1+100=101第第2项与倒数第项与倒数第2项的和项的和: 2+99=101第第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和：3+98=101第第50项与倒数第项与倒数第50项的和项的和:50+51=101于是所求的和是于是所求的和是101 =5050等差数列的前等差数列的前n项和公式的推导项和公式的推导,1a,2a,3a,na，nnnaaaaaS1321由等差数列由等差数列的前的前n项和项和得) 1()2()(1111dnadadaaSn) 1()2(

4、)(dnadadaaSnnnnn个（nnnnnaaaaaaS)2111)1naan （2)1nnaanS（2)(1nnaanSdnaan) 1(1dnnnaSn2) 1(1 这就是说，等差数列的前这就是说，等差数列的前n项和等于项和等于首首末两项的和与项数乘积的一半末两项的和与项数乘积的一半。公式中代入等差数列的通项公式公式中代入等差数列的通项公式得到得到等差数列的前n项和练习11. 根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的 nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda;14,23,32)3(1naan.32,7.0,5.14)4(1nad

5、a.5002)955(1010 S2550)2(2) 150501005050（S.6352)2/3(3/21414 S,2617 . 05 .1432n例1 .120,120, 11201naa则解：由题意知，这个解：由题意知，这个V型架自下而上各型架自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为层的铅笔数成等差数列，记为an.答：答：V型架上共放着型架上共放着7260支铅笔。支铅笔。.72602)1201 (120120 S如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层形架的最下面一层放放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放支，最上

6、面一层放120支支. 这个这个V形架上共放形架上共放了多少支铅笔？了多少支铅笔？对对Sn的深入认识的深入认识nanOan = 4n14已知一个等差数列已知一个等差数列an = 4n14 它是一个关于它是一个关于n的一次的一次函数，它的图象是在一条函数，它的图象是在一条直线上的若干点。直线上的若干点。nSnO6Sn = 2n212n它的前它的前n项和是项和是 Sn = 2n212n 这是一个关于这是一个关于n的二次函数，的二次函数，且二次函数的常数项为且二次函数的常数项为0. 反之若一个数列反之若一个数列an，它的前，它的前n项和的表达式是关于项和的表达式是关于n的二次的二次函数，且二次函数的常

7、数项为函数，且二次函数的常数项为0，则这个数列是等差数列则这个数列是等差数列它的图象是抛物线上的若干点。它的图象是抛物线上的若干点。例例2已知数列已知数列an的前的前n项和公式为项和公式为Sn=2n230n （1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；公式； （2）求使得）求使得Sn最小的序号最小的序号n的值。的值。解：（解：（1）将）将n1代入到数列的前代入到数列的前n项和公式，项和公式， 得得Sn1=2(n1)230(n1)，因此因此an=SnSn1=4n32，(n2)，当当n=1时，时，a1=S1=230=28，也适合上式，也适合上式， 所以这个数列

8、的通项公式是所以这个数列的通项公式是an=4n32。（2）因为）因为 22152252302()22nSnnn又因为又因为n是正整数，是正整数，所以当所以当n=7或或=8时，时，Sn最小，最小，最小值是最小值是112.1. 若数列的前若数列的前n项和为项和为 252 ,nSnn则数列（则数列（ ）(A)是公差为是公差为2的等差数列的等差数列(B)是公差为是公差为5的等差数列的等差数列(C)是公差为是公差为10的等差数列的等差数列(D)是公差为是公差为10的等差数列的等差数列C练习：练习：2.在等差数列在等差数列an中，中，a2+a4=p，a3+a5=q则其前则其前6项的和项的和S6为为( ) (A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)B3. 已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若若a4=18 a5，则，则S8等于（等于（ ） A.18 B.36 C.54 D.72 D30113030 29602Sad10.55:0.1ad解得309003030(30)60SABAB10010