14直角三角形的射影定理

1、§1.4 直角三角形的射影定理 教学设计教材分析：本节是新课程标准选修4-1几何证明选讲中第一讲第四节的内容。这是在学习了相似三角形性质的基础上研究直角三角形的射影定理。从学生的生活经验出发先介绍了射影的概念， 然后用“探究”引导学生探索直角三角形中的一些线段的关系。经过逻辑推理而得出直角三角形的射影定理。本节的内容可以看成是相似（直角）三角形的判定定理、性质定理的一个应用，体现了从一般到特殊的数学思想。射影定理有比较重要的价值，它建立了三角形中边与射影之间的关系（揭示了直角三角形内在的美）在解决与直角三角形相关的几何问题中是一个强有力的工具教学目标知识目标：掌握正射影的定义.，掌握

2、直角三角形的射影定理及其证明，会用直角三角形的射影定理解决问题能力目标：探求直角三角形的射影定理及证明，并会用直角三角形的射影定理解决问题,在教学过过程中用到了启发、探究、的方法情感目标：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想教学重点：掌握直角三角形的射影定理及运用教学难点：直角三角形的射影定理及运用教具准备：幻灯片 三角尺课时安排：1课时教学过程一、复习引入1.复习相似三角形的判定方法AA12.（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？（2）线段AB留在MN上的影子是什么？正射影（射影）的定义（1） 点在直线上的正射影结合图形给出正射影的定义特别地，当一个点在这条直线上时，它

3、的正射影就是它本身。A11B1AB（2） 一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段点和线段的正射影简称射影二、探究新知已知：如图，ACB=90°，CDAB于D.(1)图中有几个直角三角形?(2)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ACDCBDABC，可分别写出三组比例式： (ACDCDB); (CBDABC); (ACDABC).(3)观察第(2)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式?下面我们从射影的角度来研究直角三角形中边的关系。（AC在斜边上的射影是什么？BC在斜边的射影是什么？）从相似三角形出发

4、得出射影定理，并用语言概括出来直角三角形射影定理：直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；， ， 。说明：斜影定理只能用在直角三角形中，且必须有斜边上的高。常和勾股定理联系起来解决直角三角形的计算题及直角三角形中比例线段问题。思考：能用勾股定理证明射影定理吗？CD2=AC2AD2= AB2BC2AD2=（AD+BD）2BC2AD2=AD2+BD2+2AD·BDBC2AD2=2AD·BD（BC2BD2）=2AD·BDCD22CD2=2AD·BD 即CD2=AD·BD其

5、它的自己证明。三、例题讲解AODCB·例1、 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD=2，DB=8，求CD，AC，和BC的长。分析：由直径所对的圆周角是直角可得到 三角形ABC是直角三角形，CD是斜边上的高，运用射影定理或勾股定理可求出相应的线段的长。解： 是半圆上的圆周角，,即ABC是直角三角形。又射影定理可得总结：已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。例2 ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD²=AD·DB 求证： ABC是直角三角形。 证明： 在CDA和BDC中，

6、四、随堂巩固1.直角ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长。AODCB·2.如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8， 则圆O的半径等于_3.课本第22页习题2、3五、 课时小结： 知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式射影定理。方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。数学思想：方程思想和转化思想。六、 课后作业必做：1如右图中，ACB=90°，CDAB于D，AD=3，BD=2，则AC：BC的值是( )A3：2 B9：4 C： D：2在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，AD：BD=2：3，则ACD与CBD的相似比为( )A2：3 B4：9 C：3 D不确定3如右图1-4-1，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E。试说明：(1)AB·AC=AD·BC；(2