椭圆及其标准方程

1、2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程 通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？圆呢？1.1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用实世界和解决实际问题中的作用（重点）（重点）2 2掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. .（重点、难点）（重点、难点） 探究点探究点1 1 椭圆的定

2、义椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？还是运动的？2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？有怎样的关系？ 思考：思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？义的？讨论讨论：若把绳长记为若把绳长记为2a，两定点间，两定点间的距离记为

3、的距离记为2c(c0).（1）当）当2a2c时，轨迹是时，轨迹是 ；（2）当）当2a=2c时，轨迹时，轨迹 是是 ； （3）当）当2a0)2c(c0)，M与与F1 1和和F2 2 的距离的和等于的距离的和等于2a(2a2c0) .2a(2a2c0) .请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程. .解：解：以焦点以焦点F F1 1,F,F2 2的所在直线为的所在直线为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的的垂直垂直平分线平分线为为y y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOyxOy( (如图如图). ). 设设M(xM(x, y )

4、, y )是椭圆上任意一点，椭圆是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为的焦距为2c(c0)2c(c0)，M M与与F F1 1和和F F2 2的距离的的距离的和等于正常数和等于正常数2a 2a (2a2c)(2a2c) ，则，则F F1 1，F F2 2的坐标分别是的坐标分别是( ( c,0)c,0)、(c,0)(c,0) . .x xF F1 1F F2 2M MOy y由椭圆的定义得由椭圆的定义得因为因为移项，再平方移项，再平方整理得整理得两边再平方，得两边再平方，得它表示焦点在它表示焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆. .它表示焦点在它表示焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆. .1oFyx2FM1

5、12 2yoFFMx椭圆的标准方程有哪些特征呢？椭圆的标准方程有哪些特征呢？【提升总结提升总结】22221 0 xyabab 22221 0yxabab图图 形形方方 程程焦点坐标、位置焦点坐标、位置F( (c，0)0)在轴上在轴上F(0(0，c) )在轴上在轴上a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表：两类标准方程的对照表：注注: :哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明

6、a2、b2，并写出焦点坐标答：在答：在 x x 轴。（轴。（ - 3 3，0 0）和（）和（3 3，0 0）答：在答：在 y y 轴。（轴。（0 0，- 5 5）和（）和（0 0，5 5）分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。练一练：练一练： 随堂练习例1.椭圆 的焦点坐标是（ ）A.(5,0) B(0, 5) C(0, 12) D(12,0)例2. 椭圆上 一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10192522yx11692522yxAC作 业课本课本p64 p64 练习练习1 1 1 1、3

7、 3例例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0), ), (2,0), (2,0), 并且经过点并且经过点 . .求它的标准方程求它的标准方程. .解解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设所以设它的标准方程为它的标准方程为由椭圆的定义知由椭圆的定义知又因为又因为 , ,所以所以因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为所以所以能用其他方能用其他方法求它的方法求它的方程吗？程吗？另解另解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设它所以设它的标准方程为的标准方程为: :联立联立, ,因此因此,

8、 , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: :又又焦点的坐标为焦点的坐标为【变式练习变式练习】已知椭圆经过两点已知椭圆经过两点 和和 ，求椭圆的，求椭圆的标准方程标准方程. .221(0,0,),mxnymnm n解：解：设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为则有则有 解得解得 221610 xy所以，所求椭圆的标准方程为所以，所求椭圆的标准方程为 .xyODMP例例2 2 如图，在圆如图，在圆 上任取一点上任取一点P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线段轴的垂线段PDPD，D D为垂足为垂足. .当点当点P P在圆上运动在圆上运动时，线段时，线段PDPD的中点的中点M M的轨迹是什么

9、？为什么？的轨迹是什么？为什么？解：解：设点设点M M的坐标为（的坐标为（x,yx,y）, ,点点P P的的坐标为（坐标为（x x0 0,y,y0 0）, ,则则因为点因为点P P（x x0 0,y,y0 0）在圆）在圆把点把点0 0=x=x，y y0 0=2y=2y代入方程，得代入方程，得即即所以点所以点M M的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆. .从例从例2 2你能发你能发现椭圆与圆之现椭圆与圆之间的关系吗？间的关系吗？例例3 3 如图，设点如图，设点A A，B B的坐标分别是的坐标分别是(-5(-5，0)0)和和(5(5，0),0),直线直线AM,BMAM,BM相交于点相交于点M M，且它

10、们的斜率之积是，且它们的斜率之积是 , ,求求点点M M的轨迹方程的轨迹方程. .yAxMBO解：解：设点设点M M的坐标（的坐标（x,yx,y）, ,因为因为点点A A的坐标是（的坐标是（-5,0-5,0）, ,所以所以, ,直直线线AMAM的斜率为的斜率为同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率由已知有由已知有化简，得点化简，得点M的轨迹方程为的轨迹方程为1.1.已知已知F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆 的两个焦点，的两个焦点，过过F F1 1的直线交椭圆于的直线交椭圆于M M，N N两点，则三角形两点，则三角形MNFMNF2 2的周长为（的周长为（ ） A.10 B.20 A.10 B

11、.20 C.30 D.40 C.30 D.40B ByoF1F2MxND D2.2.椭圆的长轴是短轴的椭圆的长轴是短轴的3 3倍，且过点倍，且过点A A（3 3，0 0），），则椭圆的标准方程是则椭圆的标准方程是_._.答案：答案：2222xxyy1 =19981或3.3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为一个椭圆，它的焦距为2.4 m2.4 m，外轮廓线，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为上的点到两个焦点的距离和为3 m3 m，求这个椭圆的标准方程求这个椭圆的标准方程. .解：解：以两个焦点以两个焦点F F1 1，F F2 2所在的直线为所在的直线为x x轴，以线轴，以线段段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为则这个椭圆的标准方程为根据题意知，根据题意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2.c=1.2.所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81，因此椭圆的标准方程为因此椭圆的标准方程为xOyF1F2P定定 义义图图