常微分方程模拟试题(4)及参考解答

1、常微分方程模拟试题(4)及参考解答得分评卷人、填空题(每小题3分，本题共15 分)题号-一-二二三四五总分得分12.二艾112.二艾11 .方程 x(y2 -i)d x - y(x2 -i)dy =0 所有常数解是 .2 .方程y 亠4y 0的基本解组是 .3方程dy y 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx '4. 函数组(x),2(x),， (x)在区间I上线性无关的 条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不恒等于零.5. 若y = 1 (x), y = 2 (x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点.得分评卷人、单项选择题(每小题3分，本题共15分)d y；-6 .

2、方程y的奇解是(dx(A) y = x7. 方程叟=.1 y2过点(一，1)共有(dx2(B) y =1).(C)y = _1)个解.(A )一( B)无数(C)两8. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是(A) n( B) n-1( C) n+19 .一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(A)不是其对应齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解10.如果f (x, y)， f (x, y)都在xoy平面上连续，那么方程(D )三)个.(D) n +2).(B)是非齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解dyf (x, y)的任一解的存dx在区间().(A)必为(

3、-二，* 二)(C)必为(-：，0)(B)必为(0, ：)(D)将因解而定得分评卷人三、计算题(每小题6分，本题共 30分)12.二艾112.二艾1dy 11.dxdy求下列方程的通解或通积分:yytan xxdx12.二艾113. （x2ey - y）dx xdy = 014- y （x _ln y ） =1215. yy "川 y 2x = 0得分评卷人四、计算题（每小题10分，本题共20分）（4分）116. 求方程y “ _y = eX的通解.217. 求下列方程组的通解dx=x 2 y丄=3x 4ydt得分评卷人五、证明题（每小题10分，本题共20分）（4分）（4分）dy18

4、. 在方程f （ y） :（ y）中，已知f （y） ，（x）在（_：,-）上连续，且：:（二1） = 0 .求dx证：对任意Xo和yo <1，满足初值条件y（Xo） =yo的解y（x）的存在区间必为（q, +吆）.19. 在方程 y p（ x） y q（x）y=O中，已知 p（x） , q （x）在（-匚】，：3）上连续.求证： 该方程的任一非零解在 xoy平面上不能与x轴相切.常微分方程模拟试题（4）参考答案及评分标准（供参考）一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.y = ±1, x = ± 12.sin 2x, cos 2x3.2D =（ x, y） E R

5、y >0，（或不含x轴的上半平面）4.充分5.没有二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6.D7. B8.A9. C10. D三、计算题（每小题6分，本题共 30分）.A ydydu11 .解令1二 U，则u x，代入原方程，得xdxdxdud uU亠X二 Ut a nu ， x=tan udxdx当tan u 0时，分离变量，再积分，得（2分）（4分）（4分）r d u,dx i=+lnCtan ux（4分）Insin u=In'In即通积分为：sin - =：Cxx12. 解 齐次方程的通解为y = Cx令非齐次方程的特解为y 二 C （x）x代入原方程，确定出 C（x）

6、 =1 n x + C原方程的通解为y = Cx + x I n x13. 解积分因子为1J（x）2x原方程的通积分为x1（eyy-2）dx dyx0y即exC, C =e C1x14 .解 令yp，则原方程的参数形式为r 1x = In pPy = pdy由基本关系式y ，有dx, 1 1dy = y dx = p （ ）d pP p（6分）（2 分）（5分）（6分）（3 分）（6分）（2 分）2_1 =0（4分）（6分）（2 分）（4分）（6分）1=（1 ）dpp 积分得y = p - I n p C得原方程参数形式通解为1x = In p p=p _ln p +C15. 解原方程可化为2

7、（yy x ）'T于曰dy 2于疋yx 6dx积分得通积分为=cx 1 x33四、计算题（每小题10分，本题共20分）解 对应的齐次方程的特征方程为：2_1 =014特征根为:'1 = 1， ' 2 - -1故齐次方程的通解为：y =Ctex因为=1是单特征根所以，设非齐次方程的特解为xy 勺（x） = Ax e（4分）（6分）代入原方程，有2 Aex hAxex - Axe故原方程的通解为 y =C21ex， 可解出 A21xe4（10 分）17解 方程组的特征方程为1 人2=01414即 特征根为（2 分）X1a! tI H I ey如其中是=1对应的特征向量的分量

8、，满足r 一1 一2 dpi IL 34 _1 10|0可解得 a 1 =1,1 -1 .同样可算出、2 =2对应的特征向量分量为所以，原方程组的通解为fl（5分）（8 分）+ C2 产-3e2et 1 二 C1 .1 t ._e _五、证明题（每小题10分，本题共（10 分）20分），一3 2 =0 1 = 1 , '2=2=1对应的解为14显然y = 1是方程的两个常数解.18.证明 由已知条件，该方程在整个 xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条 件.（2分）4分）任取初值（X。，y°），其中X。E （皿，+血），y° C1 .记过该点的解为 y = y（x），由上面分析可知，一方面 y =y（x）可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y =1，下方不能穿过y 1，否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为（_：:,：c）.（ 10分）19.证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是（-"，：）.（2分）显然，该方程有零解 y（x）=0 .（ 5分）假设该方程的任一非零解yx）在x轴上某点x0处与x轴相切，即有yt （ x0） = 丫勺（