天津科技大学线性代数2008~2009试题及部分答案

1、得分一、填空题（共15 分，每小题3 分）题号一二三四五六七八九总成绩得分阅卷人复核人1001.设方阵 A 210，则行列式 2 A .0212.n 元线性方程组 Ax b无解的充分必要条件是 .3.设 向 量 m 能 由 1, 2,m 1线 性 表 示 ， 且 表 示 法 唯 一 ， 则 向 量 组1, 2, , m 的秩为 .4.设 n 阶方阵 A 满足 A2E ，则 A 的所有可能的特征值是 .5.设 A 为 n 阶实对称矩阵，p1, p2 分别是矩阵 A 属于不同特征值1, 2 的特征向量，则内积( p1, p2 ).得分二、选择题（共15 分，每小题 3 分）1231. 设三阶行列式

2、D04 ，元素4 的余子式为M 23 ，则方程M 234 的解50为（） .(A)14 ；(B)9 ；(C)6 ；(D)11.2. 设A 、B 为两个n 阶反对称矩阵，则下列说法错误的是（）.(A) AB 是反对称矩阵；(B) kA 是反对称矩阵；(C) AT是反对称矩阵；(D) AB 是反对称矩阵的充分必要条件是ABBA .3. 向量 能由 m, ,12,线性表示是向量组m1, ,12, 线性相关的m().(A) 必要条件；(B) 充分条件；(C) 充分必要条件；(D) 既非充分也非必要条件 .4. 下列所给矩阵中为正交矩阵的是（）.11123100111； (B)010；(A)220011

3、11321202111231； (D)011 .(C)62310015. 设 A 、 B 为 n 阶方阵，若存在可逆矩阵P ，使得 APPB，则( ).(A)A B且AB；(B) AB但AB；(C)AB且AB ；(D) AB且AB.得分三、（ 10分） 求解矩阵方程 AXB11C，其中A，1110012B 4001 ， C2.23130得分211四、（10 分） 求矩阵 A020的特征值和特征向量 .413得分五（10 分）求非齐次线性方程组的通解（用对应的齐次线性方程x1 3x2 3x3 2x4x53组的基础解系表示通解） .2x1 6x2x33x42x1 3x2 2x3x4x513x19x

4、24x35x4x55解对方程组的增广矩阵施行行的初等变换：13 3-213130- 7- 13555A =26 1-302001- 1 24T013 -2-1-1 -155539 4-5150000 00000000可见 R( A)R( A)2n5 ，齐次方程组AXO 的基础解系中含有3 个解向量 .矩阵 T0 所对应的方程组为x1x333 x7 x1 x52545541 x42 x5555令 x2 x4x50 得特解350045001571500基础解系为10 , 21, 32050005故原方程组的通解为0k1 1k2 2k3 3其中 k1, k2 , k3 为任意常数 .得分3 7 x

5、x2 ， A3401. 六、（ 12 分）设 f ( x)151，207求 f ( A) .1. 解： f ( A) 3E 7 A A210034034034030107151151151001207207207242801332411447387629121951405220849683得分七、（ 8 分）设向量组 1, 2, ,s 线性相关，其中任意 s 1个向量 均线性无关，证明存在一组全不为零的数k1, k2, ,ks ，使k1 1k2 2ks so .证明因为1, 2, s 线性相关，所以存在不全为零的数k1, k2 , , ks ，使k1 1k2 2ks so 2 分假设 ki0

6、，则 k1 1k22ki 1 i 1 ki 1 i 1ks so 6 分由于1, 2, i 1 ,i 1, s 为 s 1个向量，由题设知它们线性无关 .所以 k1 ,k2 , ki 1, ki1,ks 同时为零，即 k1, k2 ,ks 全为零与它们不全为零相矛盾. 9 分故 ki0 (i 1,2, , s) . 10 分得分八、（8 分）用施密特正交化方法把向量组11111,22，34标准正交化.139得分1.九、（ 12 分）求向量组 (1,1,2,4)， (0,3,1,2)，123(3,0,7,14) ， 4(1,1, 2,0) ，5(2,1,5,6)的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.2.解：对 ATTTTT12345进行初等行变换，得10312103