概率统计ch2.2

1、一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布三三、小结小结2022-2-21数科院Ch2Ch2：随机变量及其分布：随机变量及其分布2 离散型随机变量离散型随机变量分布律的性质：分布律的性质： ., 2, 1,), 2 , 1(的分布律的分布律称此为离散型随机变量称此为离散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义;, 2 , 1, 0)1(

2、 kpk. 1)2(1 kkp2022-2-22数科院离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21 要掌握一个型随机变量要掌握一个型随机变量X的统计规律，必须的统计规律，必须且只需知道且只需知道X的所有可能的取值以及取每一个可的所有可能的取值以及取每一个可能值的概率能值的概率2022-2-23数科院.),(,.21,的分布律的分布律求求相互独立的相互独立的设各组信号灯的工作是设各组信号灯的工作是号灯的组数号灯的组数它已通过的信它已通过的信表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时以以车通过车通过的概率允许或禁止汽的概率允许

3、或禁止汽每组信号灯以每组信号灯以组信号灯组信号灯的道路上需经过四的道路上需经过四设一汽车在开往目的地设一汽车在开往目的地XX解解,通过的概率通过的概率为每组信号灯禁止汽车为每组信号灯禁止汽车设设 p则有则有kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 例例12022-2-24数科院代入得代入得将将21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0说明：说明：任何一个满足分布律性质的变量X都可以作 为某个随机试验的随机变量。2022-2-25数科院二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机

4、变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为Xkp0p 11p则称则称 X 服从服从 (01) 分布分布或或两点分布两点分布.1.两点分布两点分布 2022-2-26数科院实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为2022-2-27数科院实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,若规定若规定 ,

5、 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.Xkp01200190200102022-2-28数科院 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明2022-2-29数科院,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1,

6、 0n2022-2-210数科院2.二项分布二项分布; ,(1)kkn knP Xkb k n pC ppnknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnbX二项分布二项分布1 n两点分布两点分布二项分布的图形二项分布的图形2022-2-211数科院例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 b (5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015

7、324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp0123452022-2-212数科院?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来

8、说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查验验一一级级品品看看成成是是一一次次试试把把检检查查一一只只元元件件是是否否为为例例22022-2-213数科院解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),2 . 0,20( bX则则因此所求概率为因此所求概率为.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 X

9、P175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP2022-2-214数科院图示概率分布图示概率分布2022-2-215数科院二项分布中最可能出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导可取的一切值若XjjXPkXP),()(则称 为最可能出现的次数knkppCkXPpknkknk, 1 , 0,)1 ()(记1(1)1(1)kkpp kpp nk1)() 1)(1 (1knpkpppkkpnkpn) 1(1) 1(2022-2-216数科院 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1)

10、p与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值2022-2-217数科院例例 独立射击5000次, 命中率为0.001,解解 (1) k = ( n + 1)p 49955550005000)999. 0()001. 0()5(CP1756. 0= ( 5000+ 1)0.001 =5求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率.2022-2-218数科院 (2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001)(1) 1(1) 1(0)P XP XP X 00500

11、050001(0.001) (0.999)C.9934. 0 小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件复次数多了，就成大概率事件.本例本例启示启示2022-2-219数科院.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0 ,400( bX则则的分布律为的分布律为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(

12、02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例32022-2-220数科院 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过, 问问出事故的次数不小于出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?),0001.0,1000( bX99910009999. 00001. 0110009999. 01 设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则解解例例4故所求概

13、率为故所求概率为1012 XPXPXP二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 2022-2-221数科院3. 泊松分布泊松分布 0,1, 2,e,0,1,2,!0., P( ).kP XkkkXX设随机变量所有可能取的值为而取各个值的概率为其中是常数则称服从参数为 的泊松分布 记为2022-2-222数科院例5：P.35泊松分布的图形泊松分布的图形2022-2-223数科院泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, ,他他们做了们做了26

14、08次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 2022-2-224数科院 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.2022-2-225数科院上面我们提到上面我们提到二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(

15、nnp 2022-2-226数科院Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式np, 2 , 1 , 0,!)1 (kkeppCkknkkn2022-2-227数科院Possion定理定理 (内容见内容见P.35)二项分布的极限分布是 Poisson 分布 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可利用泊松定理计可利用泊松定理计算算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为1000999100010.99990.0001 0.99991.0047. 0! 1e1 . 0!0e11 . 0

16、1 . 0 解解2 XP1012 XPXPXP),0001.0,1000( bX例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?2022-2-228数科院4. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布., 1, qpXkpk21pqppqk 1 2022-2-22

17、9数科院说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n三、小结三、小结2022-2-230数科院).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率

18、为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(. 2关系关系分布、泊松分布之间的分布、泊松分布之间的二项分布与二项分布与 2022-2-231数科院)., 2 , 1 , 0(,e!)()1(,)(,nkknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 2022-2-232数科院 补充题：某厂产品不合格率为补充题：某厂产品不合格率为3，现将产，现将产品装箱，若要以不小于品装箱，若要以不小于90的概率保证每箱中的概率保证每箱中至少有至少有100个合格品，则至少应装多少个产品。个合格品，则至少应装多少个产品