人教八年级上册数学讲义

1、八年级数学讲义第11章 三角形一、 三角形的概念1 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接 2三角形的表示 ABC中，边：AB，BC，AC 或 c，a，b顶点：A，B，C 内角：A ，B ，C 二、 三角形的边1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角

2、形.1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和.2. 三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； 直角三角形三条高线交于直角顶点；钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点.2.3三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、 三角形的角1 三角形内

3、角和定理结论1：ABC中：A+B+C=180°  三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余  三角形中至多有1个钝角注意：在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在ABC中，C=180°（A+B） 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角 如：ABC中，已知A：B：C=2：3：4，求A、B、C的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角2.2性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相

4、邻的任何一个内角. 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、 三角形的分类(1) 按角分：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形(2) 按边分：不等边三角形 底与腰不等的等腰三角形 等边三角形五 多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。3、多边形的对角线(1)从n边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。4、n边形的内角

5、和等于(n2)·180°(n3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360°多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. 多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状8、若ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断ABC的形状。9、已知a，b，c是ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断ABC的形状。10、若ABC的三边为a、b、c

6、（a与b不相等），且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断ABC的形状。二、三角形角有关计算1.如图ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，它们相交于点O,A= 50°,C = 70°求DAC,AOB 解AD是ABC的高,C = 70° DAC =180°-90°-70°=20° BAC =50° ABC =180°-50°-70°=60° AE 和BF是角平分线 BAO =25°, ABO =30° AOB =180°-25

7、°-30°=125° 2.如图, ABC中, D是BC边上一点，1= 2, 3=4，BAC= 63°,求DAC的度数3. 已知：P是ABC内任意一点. 求证：BPCA 4.如图，1=2， 3=4，A= 100°，求x的值 5.已知ABC的B、C的平分线交于点O。求证：BOC=90°+ A (角平分线模型)6.已知：BP、CP是ABC的外角的平分线，交于点P。 求证：P=90°- A (角平分线模型)7.ABC中，ABC的平分线BD和ABC的外角平分线CD交于D，求证：A=2D (角平分线模型)8.AOB中，AOB=90

8、76;,OAB的平分线和ABC的外角OBD平分线交于P，求P的度数9.如图：求证：A+B+C=ADC (飞镖模型)第12章 全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。（1）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，记作2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等二 、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边（SSS）边角边（SAS）角边角(ASA)角角边AAS直角边和斜边（HL） 三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和

9、它们的夹边对应相等的两个三角形全等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）2全等三角形证题的思路：3全等三角形的隐含条件：公共边（或公共角）相等 对顶角相等利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 利用平行线的性质得出同位角、内错角相等全等三角形（SAS）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示ABCEDF如图，在和中，【典型例题】ADBEC【例1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.证明：在ABE和ACD中， AB=AC，BAE=C

10、ADAD=AEABEACD（SAS）BE=CD.ABDEC12【例2】 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60°，B=24°，求BOE的度数.BEAFCO【例4】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，ABDE且ABDE，AFDC。求证：BCEF。DABCE【例5】如图，已知ABC、BDE均为等边三角形。求证：BDCD=AD。全等三角形（SSS）【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，几何表示【典型例题】【

11、例1】如图，在中，M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 求证：AM是的角平分线证明:在ABD和ACD中，AB=ACDB=DCAD=ADABDACD (SSS)BAD=CAD又AB=ACMB=MCAM是的角平分线(三线合一)【例2】如图：在ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BDAC。例3. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：B=C。例4. 如图，在中,，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DEAB。全等三角形（AAS）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”， 【典型例题】ADB

12、ECF【例1】已知如图，求证：BC=EFABDEC【例2】如图，AB=AC，求证：AD=AE【例3】已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDACBDEFABCDP1234【例4】已知如图，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之全等三角形（ASA）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”， 【典型例题】【例1】如图，已知中，、分别是及平分线求证：【例2】如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.证明：MQ和NR是MPN的高， MQNMRN90°， 又13

13、2490°，34 12 在MPQ和NHQ中， MPQNHQ（ASA） PMHN【例3】已知：如图ACCD于C , BDCD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF全等三角形（HL）【知识要点】直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”【典型例题】1、如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：ADECBF例2、已知：BECD，BEDE，BCDA，求证： BECDAE；DFBCBCDEFA例3、如图：在ABC中，C=90°，AC=BC，过点C在ABC外作直线MN，AMMN于M，BNMN于N。（1）求证：MN=AM+B

14、N。全等三角形常见辅助线的作法一 倍长中线法倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法倍长中线法的过程：延长××到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后_构造全等三角形_，转移边、转移角，然后和已知条件重新组合解决问题【例题精讲】 例1、如图1，在ABC中，AD为BC边上的中线求证：AB+AC2AD分析：因为AD为中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE；进而利用全等三角形的判定（SAS）ABDECD；由全等可得_AB=EC_；证明：延长AD至E，使

15、DE=AD，连接EC AD是中线   DC=DB在CDE和BDA中DE=AD，CDE=BDA，DC=DB CDEBDA（SAS）CE=AB 在AEC中 CE+AC>AE，CE=ABAB+AC>AE   DE=ADAE=2AD   AB+AC>AE    AB+AC>2AD例2如图CB，CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB求证：CE=2CD证明：延长CD至，使DF=CD，连接BF，在ADF和BDC中 AD=BDADF=BDCCD=DFAD

16、FBDCAF=BC，AFBC CAF+ACB=180°， ACB=ABC，ABC+CBE=180°CAF=CBE 又因为AC=BE，CAFCBECE=CF例3、 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线证明：延长到点，使，连结在和中，而又，例4、如图，在中，是边的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于点F求证：AFEF证明：延长AD到点G，使AD=DG，连结BG是边的中线 DC=DB在ADC和GDB中AD=DGADC=GDBDC=DBADCGDB （SSS）CAD=BGD BG=AC又BE=AC，BE=BGBED=GBED=A

17、EF，AEF=CAD，即：AEF=FAE，AF=EF二 截长补短法截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短:1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲】例1. 如图，ABC中，ACB2B，12 求证：ABACCD证法一：（补短法） 延长AC至点F，使得AFAB 在ABD和AFD中 ABDAFD（SAS） BF ACB2B ACB2F 而ACBFFDC FFDC CDCF 而AFACCF AFACCD ABACCD证法二：（截长法） 在AB上截取AEAC，连结DE 在AED和ACD中 AE

18、DACD（SAS）例2、 如图，在ABC中，AD为BC边上的高，B=2C.求证：CD=AB+BD.证明：在DC上截取DE=DB，连接AE，在ADB和ADE.中DE=DB，ADB=ADE,AD=ADADEADB（SAS） AE=AB，AEB=B， AEB=C+CAE，B=2C，ED=BD， AEB=2C. C=CAE，故CE=AE=AB. CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例3、如图，AD/BC，BE、AE分别是ABC、BAD的平分线，点E在CD上，求证：AB=AD+BC证明：在AB上截取AF=AD，连接EFAE平分BAD，1=2在FAE和DAE中，AF=AD1=2AE=AEFAEDAE

19、 AFE=D又 AD/BCC+D=180而 BFE+AFE= 180° C=BFE在BFE 和 BCE中C=BFE3=4，BE=BE BFE BCE BF=BC AD+BC=AB例4、如图，ABC中，ABAC，AD是BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、D外的任意一点。求证：ABACPBPC证明：在AB是截取AEAC在ACP与AEP中，有： ACAE （已知） EAPCAP （已知AD是BAC角平分线） APAP （公共边） ACPAEP （SAS） PCPE （全等三角形对应边相等） BEPBPE （三角形两边差小于第三边） BEPBPC （等量代换） BEABAEACAEB

20、EPBPC ABACPBPC三 与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。1 截取构造全等例1 如图1，在中，平分，求：的值ACBBDF（图2）CABDE（图1）解法1：在上截取使，连结，又，解法2：延长到，使，连结 FAD=CAD，AD=ADCADFAD(SAS)AC=AF又 AB+BF=AF BD=BF ABC=2F=2C2、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形例2 如图3，在四边形中，平分求证：ABCDEF（图3）证明：过点作，交延长线于点，作，交于点平分，又，ABCDFE（图4例3 如图4，已知等腰三角形中，的平分线交于点

21、，过点作的垂线交的延长线于点求证： 证明：延长交的延长线于点，是的平分线， 是等腰三角形 ，角平分线的性质1、角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边距离相等。ABCDEOP例1，如图，OC是AOB的角平分线，点P是OC上一点，PDOA于点D，PEOB于E，求证：PD=PE。证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）又OC平分AOB（已知）AOC=BOC（角的平分线定义）在RtDOP和RtEOP中RtDOPRtEOP（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。例2已知：如图，点

22、P在AOB内部的一条射线OC上，并且PDOA于点D，PEOB于E，PD=PE。求证：射线OC是AOB的平分线。证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）在RtDOP和RtEOP中，RtDOPRtEOP（HL）DOP=EOP（全等三角形的对应角相等） 即射线OC平分AOB【典型例题】OABCDE例3：如图，已知OE平分AOB，BCOA，ADOB。求证：EA=EB例4：如图，已知CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。ABCDEO12求证：1=2ABDPOMN例5：如图所示，已知OD平分AOB，在OA，OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PMBD，

23、PNAD。求证：PM=PNABCDEFO例6：如图，AD是ABC中BAC的平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，那么EF与AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。例7：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分ABC。求证：A+C=1800。ABCD第13章 轴对称知识网络结构图轴对称轴对称图形(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等对称轴垂直平分连接对应点的线段(2)性质(3)垂直平分

24、线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上作轴对称图形用坐标表示轴对称轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为P(x，y)P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为P(x，y)性质等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)1、 轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折

25、叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。如下左图，ABC是轴对称图形。ABClAAABBCCl规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。等腰三角形和等边三角形1、 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、 等腰三角形的性质： 等边对等角 三线合一（1） 两腰相等 （2） 两底角相等（3） “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合3、 等腰三角形的判定：（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形（2） 有两