第二章连续信号傅立叶分析ppt课件

1、第二章 延续信号傅立叶分析2.1信号的正交分解概念概念 信号与多维矢量之间的类似关系空间感念数学定义:把具有某种特性的集合称为“空间线性矢量空间：引入线性运算的矢量空间范数:矢量长度类似线性赋范空间内积空间信号能量与矢量长度的类似信号相关性类似于矢量之间的夹角内积空间的正交性内积空间信号的正交展开帕塞瓦尔公式提示了信号正交分解能量不变性的物理本质, 相当于矢量范数不变性(内积不变性)的表达一. 信号矢量空间1.线性空间其中恣意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素.n维实数空间延续时间信号空间L离散时间信号空间在线性空间利用线性运算研讨线性相关、基、维数

2、等线性构造 n维实数空间为有限维空间，延续、离散时间信号空间为 无穷维空间NRl2.范数、赋范空间范数是矢量长度的度量方法，也用于表示信号能量的范数 常见的有 ， ， 。 称为欧氏间隔NRpxpxxiNipNpip1/11max1 1.2. 2. L和 范数 lptxpdttxxppp)(sup1)(./1pnxpnxxppp)(sup1)(./1dttxx)(.12/122)(.dttxxdttxx222)(.二阶范数的平方表示信号能量， 表示信号可测得的蜂值给出了范数的概念可构成线性赋范空间，如 等x1L2LLl3.内积,内积空间范数与信号本身的能量、强度等特征相对应，而内积与信号之间的相

3、关亲密相连。 三维矢量内积运算 ，当夹角为90度时，结果为零；夹角为0时，结果最大。 L空间两信号的内积： ),(),(2121yyyxxx两矢量夹角21)cos(21222211yxyxyx332211yxyxyx222)(,)()(,xdttxxxdttytxyxZnnynxyx)(*)(,二.信号的正交分解1、矢量正交与正交分解、矢量正交与正交分解矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即031iyixiTyxvvVV由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正

4、交矢量集称为正交矢量集 例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量，可以用一个三维正交矢量集集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即分量的线性组合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推行到信号空间，在信号空间找到假设矢量空间正交分解的概念可推行到信号空间，在信号空间找到假设干个相互正交的信号作为根本信号，使得信号空间中恣意信号均可表示成干个相互正交的信号作为根本信号，使得信号空间中恣意信号均可表示成它们的线性组合。它们的线性组合。 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和

5、2(t),假设满足假设满足 210d)()(*21ttttt21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt那么称那么称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内正交。内正交。 假设假设n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 那么称此函数集为在区间那么称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。的正交函数集。 iiijiKtttt)(),(0)(),(假设在正交函数集假设在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不之外，不存在函数存在函数(t)(0满足满足 210d)

6、()(ttittt那么称此函数集为完备正交函数集。那么称此函数集为完备正交函数集。2、正交函数集、正交函数集例例3:沃尔什函数沃尔什函数(walah)是区间是区间0，1的完备正交函数集的完备正交函数集例例1：三角函数集：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 例例2:虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。10)2cos(),(10ttkSgntkWalprrr), 1 (), 6(), 1 (), 2(), 4(), 7(), 2(), 4(), 6(),

7、1 (), 4(), 5(4cos), 4(), 2(), 1 (cos2cos), 3(2cos), 2(cos0coscos), 1 (10cos), 0(tWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltWaltSgntWaltWaltWaltSgntSgntWaltSgntWaltSgntSgntSgntWaltSgntWal3、正交函数集实例、正交函数集实例 上述波形也称为“小波。小：具有衰减性、部分非零的的函数; 波:指具有动摇性,振幅呈正负之间的震荡方式 利用所给的小波能否派生更多更适用的小波函数?) 12()2()() 12()2()(t

8、ttttt)(2RL 小波函数的重要价值在于经过平移和伸缩生成 中的一组正交基nkkknkntdtfNnknt,2()(,2( MATLAB有各种小波基函数库,信号分解为正交函数和是信号分析的一个重要内容,傅立叶级数、傅立叶变换、离散傅立叶变换、离散余弦变换、小波变换等。0,PE4、正交分解、正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成构成一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交函数的线性组个正交函数的线性组合来近似，可表示为合来近似，可表示为 f(t)C11+ C22+ Cnn 如何选择各系数如何选择各

9、系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区间与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为均方误差称为均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 ttCtfttttnjjjd )()(12121122 为使上式最小为使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC210d)()()(222ttiiiiittCttfCC21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf展开上式中的被积函数，并求导。上式中只需两项不为展开上式中的被积函数，并求导。上式中只需两项不为0，写为，写为 所以系数所以系数212121d)()(1

10、d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC 最小均方误差最小均方误差0d)(112212221njjjttKCttftt正交函数近似正交函数近似f(t)时，时，n越大，均方误差越小。当越大，均方误差越小。当n时为完时为完备正交函数集，均方误差为零。备正交函数集，均方误差为零。12221d)(jjjttKCttf称为称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，阐明：在区间巴塞瓦尔公式，阐明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。 1)()(jjjtCtf函数函数

11、f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和三. 正交基1、正交变换、正交变换 是空间是空间H的一组向量的一组向量,它们线性无关且构成完备函数集它们线性无关且构成完备函数集,为为H 的一组正交基的一组正交基分解系数分解系数 是独一的是独一的 将信号经正交变换后得到一组离散系数将信号经正交变换后得到一组离散系数 ,具有减少具有减少各分量的相关性的作用各分量的相关性的作用,即将信号能量集中于少数系数上即将信号能量集中于少数系数上.相关性去处的相关性去处的程度及能量集中的程度取决于选择的基函数的性质程度及能量集中的程度取决于选择的基函数的性质. nNnnx1N,21N,212、正

12、交基选择、正交基选择 在一个在一个N维空间中维空间中,好像有无数组好像有无数组N个线性无关的向量一个线性无关的向量一样样,也可以找到无穷多个正交基也可以找到无穷多个正交基,如何选择一组好的正交基如何选择一组好的正交基?普通思索如下几个要素普通思索如下几个要素: 具有所希望的物理意义或实践含义具有所希望的物理意义或实践含义,有些物了解释虽然不有些物了解释虽然不 甚明朗甚明朗,但有较强的实践价值但有较强的实践价值 正交基应尽量简单正交基应尽量简单,尽量减少正反变换时的计算量尽量减少正反变换时的计算量 为了研讨部分频率或部分时间性质为了研讨部分频率或部分时间性质,希望基函数有频域和希望基函数有频域和

13、时域的定位时域的定位 功能功能,既频域和时域最好是紧支撑的既频域和时域最好是紧支撑的 具有好的去相关性和能量集中的性能具有好的去相关性和能量集中的性能正交小波正是朝这一目的努力得出的可喜成果正交小波正是朝这一目的努力得出的可喜成果.2.2信号的傅立叶分析 一一.周期信号的傅立叶级数：周期信号的傅立叶级数： 10100)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatx100)cos(2)(nnntnAAtx阐明阐明:周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，其中， A0/2为直流分量；为直流分量；A1cos(0t+1)称为基波，它的角频率与原周期信号一样；称

14、为基波，它的角频率与原周期信号一样；A2cos(20t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；倍；普通而言，普通而言，Ancos(n0t+n)称为称为n次谐波。次谐波。 Ann0,n n0 绘成的波形称为幅度谱和相位谱.1.三角型傅立叶级数：三角型傅立叶级数： 2.指数型傅立叶级数：指数型傅立叶级数： ntjnntjnjnjnXAtxn0e)(ee21)(01)()(0ee2200ntnjtnjnnnAA11000ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA100)cos(2)(nnntnAAtx)()()(0)(000jnXtxejnXjnXnjn提取

15、了反映信号全貌的三个根本特征,即基波频率、各谐波的幅度和相位频谱图n频谱图与时域波形的变化规律有着亲密的关系：频率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅值得大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时辰)(0jnX 恣意波形的周期信号都可以用反映信号频率特性的 复函数描画3.3.傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质)()()()(222111221121jXajXatxatxaF)()()()(0220112211021jXajXatxatxaF性质一性质一 线性线性 性质二性质二 时移特性时移特性)()()()(2211jnXtxjnXtx假假设设 假设 只需T1/T2为有理

16、数)()(0000jnXettxtjnF性质三性质三 尺度变换尺度变换 )()(0jnXtxF0a)2(2/1)2(/)(2/000nSanTSajnX信号在时域尺度变换信号在时域尺度变换, ,频域中各谐波的傅立叶系数坚持不变频域中各谐波的傅立叶系数坚持不变. .但基波频率变为但基波频率变为 周期为4,脉宽为2的周期信号 )2(2/1)(00nSajnX周期为2,脉宽为1的周期信号 性质四性质四 时域微积分性质时域微积分性质 00)1(000)()()()( )()(jnjnXtxjnXjntxjnXtxFFF4.4.傅里叶级数的运用傅里叶级数的运用谐波分析谐波分析 信号重构与信号重构与Gib

17、bsGibbs效应效应 对于带突变的信号,不能够有完美的重构,当有限项叠加时,在每个突变位置上显示出过冲和下冲景象(突变约9%).没有突变的信号,不存在Gibbs 效应0510152000.51k ( k1 ) ck / (2A/T)051015200pik ( k1 ) k0510152000.51k ( k1 ) c1k / (2A/T)周期脉冲信号的频谱 5.5.周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点: :1 1 根本特点根本特点离散性调和波性离散性调和波性2 2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点3 3 时域中的跳变会产生丰富的高频分量时域中的跳

18、变会产生丰富的高频分量4 4 频谱包络线频谱包络线5 “5 “主瓣宽度主瓣宽度,“,“旁瓣宽度旁瓣宽度; ;6 6 谱线条数谱线条数 7 7 脉宽一定脉宽一定, ,周期增大周期增大, ,零点不变零点不变, ,谱线变密谱线变密8 8 周期一定周期一定, ,脉宽减小脉宽减小, ,谱线疏密不变谱线疏密不变, ,零点外零点外扩扩2B1fBn周期、脉宽引起频谱的变化-2T-T0T2T0At x ( t ) T = 8, = 2 .-10-5051000.1250.25k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A-T0T0At x ( t ) T = 16, = 2 .-20-100102000.12

19、50.25k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A-2T-T0T2T0At x ( t ) T = 8, = 1 .-10-5051000.1250.25k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A周期、脉宽引起频谱的变化n周期信号过渡到非周期信号的频谱-T0T0At xT ( t ).-1001000.51k ( k1 ) |XT ( k1 )| / (A/T)00At x( t )000.51 X( ) / (A)周期脉冲信号及其频谱及单个脉冲信号及其频谱 二二. .非周期信号的傅里叶变换分析非周期信号的傅里叶变换分析dejXtxtj)(21)(dtetxjXtj)()()()

20、()()()(IRjjXXejXjX傅里叶正变换:傅里叶逆变换:)()(jXtxF2.2.非周期信号的频谱非周期信号的频谱周期信号频谱和非周期信号频谱的重要区别： 1 周期信号频谱是频率的离散函数; 而非周期信号频谱是频率的延续函数； 表示的是周期信号各频率分量实践幅度; 而 表示的是非周期信号各频率分量的相对 幅度大小关系。 )(0jnXT)(jXdejXtxtj)()(21)(0)(cos)(1dtX单边指数衰减信号幅频特性及相频特性 -1001000.51)|X2 ( )| / ( 1/ )-10010-101 / 2 ( ) / ( /2 )双边指数衰减奇信号的幅频特性和相频特性 -5

21、0500.51|X3 ( )| ( = 1 )-505-1013 ( ) / ( /2 )双边指数衰减奇信号及其频谱 及其频谱 0-101tx3 ( t )00|X3 ( )|0-101tSgn(t)-5005000.20.4| F Sgn( t ) |)(tSgn3.3.傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质)()(00jXettxtjF)()(00jXettxtjF)()(00jjXetxFtj性质一性质一 线性线性 )()()()(22112211jXajXatxatxaF性质二性质二 对称性对称性 )()(jXtxF)(2)(jxtXF性质三性质三 尺度变换尺度变换 )(1)(jXtxF性质

22、四性质四 时移特性时移特性性质五性质五 频移特性频移特性 )()(00jXetxFtj时频压扩景象 -20201t x( t )-pi/20pi/204 X( )-10101t x( 2t )-pi0pi024 (1/2) X( /2 )()()(*)(2121jXjXtxtxF)(*)()(thtxty)()()(jHjXY性质八性质八 时域卷积特性：时域卷积特性：性质七性质七 时域积分特性时域积分特性)()0()()(XjjXdxFt性质六性质六 时域微分特性时域微分特性 )()(jXjtxdtdF)()()(jXjtxdtdnFnn性质九性质九 频域卷积定理频域卷积定理djjXjXjXjXtxtxF)()(21)(*)(21)()(212121性质十性质十 帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理 djXdttx22)(21)(性质十一性质十一 频域微分特性频域微分特性 )()(jXddtjtxF)()()(jXddtxjtnnFn性质十二性质十二 频域积分特性频域积分特性 djXtxjttxF)()()0()( F 变换对变换对常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e -t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()求解以下信号的傅里叶变换。(1) 直流信号