2019年11月6日考研第二章导数与微分ppt课件

1、第二章第二章导数与微分导数与微分基本内容基本内容一、导数与微分的概念一、导数与微分的概念1导数定义：导数定义：0()fx 记记为为，0( ),yf xx 设设函函数数在在点点 的的某某邻邻域域内内有有定定义义如如果果0000()()limlimxxf xxf xyxx 存存在在, ,0( )yf xx 则则称称函函数数在在点点处处可可导导，并并称称这这个个极极限限值值00)im(l.xyxyf xx 为为在在点点处处的的导导数数0( )f x 即即 0limxyx xxfxxfx )()(lim000也记作也记作0 x xy ，0ddxxxy 或或0d)(dxxxxf 其它形式其它形式.)()

2、(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 0 xxy xyx 0limxxfxxfx )()(lim000也记作也记作，)(0 xf 0ddxxxy 或或0d)(dxxxxf (00)0( )(i)()l mu xu xuxxff x 即即 0()fx 0)00( )()li( )mxu xff xu xxu x 0()fx 当当时时, ,为右导数为右导数0 x0()fx000()()limxf xxf xx 当当时时, ,为左导数为左导数0 x0()fx000()()limxf xxf xx 2.左导数右导数左导数右导数( )f x 可可导导

3、的的充充分分必必要要条条件件：000-()=()= ()=fxAf xfxA如如: :0yxx 在在处处是是否否可可导导？0yxx 在在处处不不可可导导，0 x 因因为为它它在在的的邻邻域域内内无无定定义义. .0yxx 又又如如: :在在处处有有定定义义, ,可可导导吗吗? ?00(0)(0)limlimxxyfxfxx 0lim1,xxx 0limxyx 不不存存在在，0limxxx 0lim1,xxx 0yxx 在在不不可可导导. .3.导函数的定义：导函数的定义：若函数若函数)(xf在区间在区间I I上每一点处都可导，上每一点处都可导， 则任意点处的则任意点处的导数，叫导函数导数，叫导

4、函数.导函数的定义导函数的定义()0( )( )( )( )limu xu xfxu xf xf x 23( )ln1sin()()arctan (),( ).f xxaxaxfa 求求例例 设设函函数数: :23( )ln1sin()()arctan ()f aaaaaa 0,( )( )l( )imxaf xf aaafx 23ln1 sin() ()arctan () 0limxaxaxaxxa 23ln1 sin()()arctan ()limlimxaxaxaxaxxaxa 23sin()limlimarctan ()xaxaxaxxa 231 arctan ().a 解解4.可导与

5、连续的关系：可导与连续的关系：可导必连续，可导必连续， 连续不一定可导，连续不一定可导，必不可导必不可导. .不连续不连续考虑考虑00(1)( )( )f xxfxx 函函数数在在 处处可可导导, ,能能否否有有在在 处处连连续续？21cos,0:( ),0,0 xxf xxx 如如21(cos) ,00( ),0 xxxfxx ，0 x 在在处处可可导导, ,且且( )0fxx 则则在在处处连连续续吗吗？112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx 事事实实上上，0 x 在在不不连连续续. .00(0)(0)limlimxxyfxfxx 00(2)( )yf xxx 函函数数在在 处

6、处可可导导, ,能能否否得得到到它它在在 的的一一个个邻邻域域内内连连续续？2,:( )0 xxf xx 当当 为为有有理理数数时时如如，当当 为为无无理理数数时时0.x 它它在在处处可可导导0.x 不不能能得得到到它它在在的的一一个个邻邻域域内内连连续续0( )(0)(0)limxf xffx 2200lim0,xxx x( (当当 为为有有理理数数) )0( )(0)(0)limxf xffx 200 0lim0,xx x( (当当 为为无无理理数数) )0 x 它它在在处处可可导导，0 x 故故它它在在处处连连续续，0 x 它它在在处处可可导导，0 x 故故它它在在处处连连续续，0 x

7、但但它它在在之之外外任任何何点点处处不不连连续续. .注意：注意：00 xx 函函数数在在处处可可导导, ,不不能能得得到到在在的的一一个个邻邻域域内内连连续续，也也不不能能得得到到导导函函数数连连续续. .2,:( )0 xxf xx 当当 为为有有理理数数时时如如，当当 为为无无理理数数时时0(3)( ),f xx如如果果在在 处处连连续续 则则00( )limxxf xAxx 0lim( )0 xxf x ，0()0,f x 0();fxA 00( )lim(1)kxxf xA kxx 0lim ( ) 0 xxf x ，0()0,f x 0()=fx 0 0 0-100( )1limk

8、xxf xxxxx 000-100( )- ()1limlimkxxxxf x f xAxxxx ，0()=fx 0 0. . )(C0 )( x1 x）（R )(sinxxcos )(cosxxsin )(xexe )(xaaaxln )(lnxx1 )(log xaax ln1 )(tanxx2sec )(cotxx2csc )(cscx )(secxxxtansecxxcotcsc )(arcsin x211)(arccosxx 211x 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 二、求导的基本公式二、求导的基本公式三、求导法则三、求导法则 ( )( )( )( )u xv

9、 xu xv x ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x 2)(vvuvuvu 2)1(vvv (其中其中 )0 v1.函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则xuxuyy ddd.dddyyuxux 或或3.反函数的求导法则反函数的求导法则1( ),( )fxy 1.xyyx 即即注意：注意：使用求导法则的前提是使用求导法则的前提是“各自可各自可导导”.四、高阶导数四、高阶导数如果函数如果函数)(xf的导数的导数)(xf 在点在点x处可导，处可导，即即 ) )(xfxxfxxfx )()(l

10、im0则称则称) )( xf为函数为函数)(xf在点在点x处的二阶导数处的二阶导数.记作记作相应地，相应地，)(xf称为零阶导数，称为零阶导数，)(xf 一般地，一般地，)(xf)(xf.d)(d,dd,),(2222xxfxyyxf .d)(d,dd,),()()(nnnnnnxxfxyyxf( )(1)nuv ( )( )nnuv ，( )(2)()nCu( )nCu (C为常数为常数)直接法和间接法直接法和间接法(3)乘积乘积该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆11().nnnkn kknnnnnuvuC uvC uvC v

11、 ( )( )1(1)()( )( )().nnnkn kknnnnnuvuvC uvC uvC uv 3.高阶导数的基本公式高阶导数的基本公式( )()xnxee ，( )()!nnxn ，( )(sin)sin(),2nnxx ( )(cos)cos(),2nnxx ( )()lnxnxnaaa ，( )1(1)!ln(1)( 1),(1)nnnnxx ( )()(1)(2).(1),ana nxa aaanx ( )()( )0!().!()!nnkn kkknnknu vC uvCknk 其其中中更更一一般般地地：( )sin()sin()2nnaxbaaxbn ( )1(1)!ln(

12、)( 1).()nnnnanax bax b ( )cos()cos()2nnaxbaaxbn ( )1!()( 1),()nnnnanax bax b 五、几类特殊函数的导数五、几类特殊函数的导数1.隐函数求导法隐函数求导法2.幂指函数的求导法幂指函数的求导法若幂指函数为若幂指函数为，)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxfxf 两端对两端对x求导：求导：)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 直接求导法直接求导法变形为变形为,)()(ln)(xuxvexf 然后用复合函数然

13、后用复合函数若幂指函数为若幂指函数为，)0)()()()( xuxuxfxv)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxfxf 两端对两端对x求导：求导：3.由参数方程所确定的导数由参数方程所确定的导数，)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得txtyxydddddd ,)()(中中在在方方程程 tytx 即即)(tx 设函数设函数具有单调连续的具有单调连续的),(1xt 反函数反函

14、数22ddddddyytxxt 33d=dyxdd,ddytxt 44d=dyxdd,ddytxt 六、应用六、应用1.几何应用几何应用(1)几何意义：几何意义：是是y=f(x)在点在点)(0 xf )(,(00 xfx处切线的斜率处切线的斜率.(2)切线、法线的方程：切线、法线的方程：切线的方程：切线的方程：法线的方程：法线的方程：000()(),yyfxxx 00001(), ()0.()yyxxfxfx 特特别别地地，0()=0fx 若若，切切线线方方程程为为0= ()y f x ；法法线线方方程程：0=x x0()=fx 若若，切切线线方方程程为为0=x x0= ().y f x法法线

15、线方方程程：2.物理应用物理应用d,dsvt 瞬时速度：瞬时速度：瞬时加速度：瞬时加速度：22dd.ddvsatt 七七、奇奇偶偶函函数数、周周期期函函数数的的导导数数1.可可导导的的偶偶函函数数的的导导数数为为奇奇函函数数，(0)=0.f 且且特特别别地地，( )f x设设为为偶偶函函数数，(0)f 且且存存在在，(0)=0.f 则则2.可可导导的的奇奇函函数数的的导导函函数数为为偶偶函函数数. .3.可可导导的的周周期期函函数数的的导导函函数数仍仍为为同同周周期期函函数数. .特特别别地地，( + )= ( )f x Tf x设设，0()fx 存存在在，00()= ().fxTfx 则则八

16、八、含含绝绝对对值值的的函函数数的的可可导导性性0lim ( ),xxg x1 1. .设设存存在在00( )g x xxx 且且在在 处处可可导导0lim ( )=0.xxg x特特别别情情况况：00 xxx 在在 处处不不可可导导，000()xxxxx 在在 处处可可导导. .0()=0f x2 2. .设设，0()fx 存存在在，0( )f xx则则在在处处可可导导0()0.fx 九、微分的概念九、微分的概念1.定义：定义： 设函数设函数)(xfy 在某区间内有定义，在某区间内有定义，0 x及及xx 0在这个区间内，在这个区间内，)( xxAy 其中其中A是不依赖于是不依赖于x 的常数，

17、的常数，)( x 是比是比x 高阶的无穷小，高阶的无穷小， 那么称函数那么称函数)(xfy 在点在点0 x是可微的，是可微的，自变量增量自变量增量x 的微分，的微分， 记作记作0dxxy 或或.)(d0 xxxf 即即xAyxx 0d( (微分的实质微分的实质) )而而xA 叫做函数叫做函数)(xfy 在点在点0 x相应于相应于微分微分yd叫做函数增量叫做函数增量y 的线性主部的线性主部.假如假如)()(00 xfxxfy 可表示为：可表示为：由定义知由定义知: :可微可微)( xoxAy )(dxoy 2.可微的充要条件可微的充要条件函数函数)(xf在点在点0 x可微的充要条件是：可微的充要

18、条件是：函数函数)(xf在点在点0 x处可导，处可导， 且且).(0 xfA 4.4.可导与可微的关系可导与可微的关系: :可微可微可导可导连续连续有极限有极限d( )dyfxx 3.3.微分的计算公式微分的计算公式: :d( )dyfxx 1)基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式0)(d Cxxxdcos)(sind xxxdsec)(tand2 xxxxdtansec)(secd xxxd)(d1 xxxdsin)cos(d xxxdcsc)(cotd2 xxxxdcotcsc)(cscd xaaaxxdln)(d xaxxadln1)(logd xxxd11)(arcsind2

19、xxxd11)(arctand2 xeexxd)(d xxxd1)(lnd xxxd11)(arccosd2 xxxd11)cotarc(d2 5. 微分运算公式与法则微分运算公式与法则1)微分的四则法则：设微分的四则法则：设 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 那那么么1)d()dduvuv (C 为常数为常数)2) 微分法则微分法则xxfyd)(d 2)d()dCuC u 3)d()dduvv uu v 2dd4)d()(0)uv uu vvvv ( ),( )yf uux 设设均均可可微微， ( )yfx 则则复复合合函函数数的的微微分分为为：dud( )dyfuu 2) 复合函数

20、的微分法则：复合函数的微分法则：结论：结论：无论无论u是自变量还是中间变量，是自变量还是中间变量，形式总是形式总是( )yf x 函函数数的的微微分分uufyd)(d ddxyyx ( )( )dfuxx 这种特性称为一阶微分形式的不变性这种特性称为一阶微分形式的不变性ddyx想想一一想想符符号号的的优优点点: :1)表示导数时能显示谁是函数谁是自变量表示导数时能显示谁是函数谁是自变量,2)表示微分时有商的含义，故表示微分时有商的含义，故3)隐含着一阶微分形式的不变性隐含着一阶微分形式的不变性.1d.dddyxxyd( )dyfuud( )dyf uu 0000()()()limxf xxf

21、xf xx 解解 典型例题分析典型例题分析题型一、已知导数求极限题型一、已知导数求极限200001()()(),lim.xf xxxf xf xx 求求例例 设设存存在在 原式原式= = 2000()() limxf xxxf xx 2()xx 2()xx 0()f x ( )f xxa 在在可可导导 limxaf xf ax a存存在在 0limxf axf ax 存存在在 0000 0 ()lim(). ()xff xfxxfx 一一般般的的: :若若存存在在 0lim h 0()2f xhh 0()f x0 ()2f xhh 0()f x01()2fx 001()()2fxfx00000

22、0()()()()limlim22()hhf xhf xf xhf xhh 000()()lim2hf xhf xhh 000 0 0 ()()lim().xff xfxfxx 一一般般地地, ,若若存存在在0000()()lim()2hf xhf xhfxh 00000()()()lim()2hf xhf xhfxfxh 一一般般地地, ,若若存存在在例例2.设设1cos 0( )0 0 xf xxx ,讨论讨论 在在 处的可导性处的可导性,( )f x0 x 并求并求0(0)(0)lim.2hfhfhh 解解001lim( )limcosxxf xx 不存在不存在( )0f xx 在在不连

23、续，从而不可导不连续，从而不可导.但是但是0(0)(0)lim2hfhfhh 011coscoslim0.2hhhh 00000()()()lim()2hf xhf xhfxfxh 一一般般地地, ,若若存存在在20(sincos )(1)0(1)lim.(1)tanxxfxxffex 若若且且存存在在, ,求求解解: 20lim(sincos )1xxx 原式原式 =220(sincos )limxfxxx 且且(1)0f 联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式220(sincos )limxfxxx 2sincos1xx2sincos1xx(1)f (1)f 1(1)21(1)2f 00

24、0 0 ()lim() xff xfxx 例例3.例例4.2( )( )2lim3,(2).2xf xf xxfx 设设在在处处连连续续, ,且且求求解解: 000 0 ()()lim xff xfxx (2)f 2lim( )xf x2( )lim(2)(2)xf xxx 0 2( )(2)(2)lim2xf xffx 2( )lim2xf xx 3 题型二：已知极限求导数题型二：已知极限求导数( )( )lim( )( ).xaf xf af xxafaxa 存存在在在在处处可可导导, ,即即存存在在( )( )lim( )( ).xaf xf af xxafaxa 存存在在在在处处右右可

25、可导导, ,即即存存在在( ),( )f xxaf xxa 设设在在的的某某个个邻邻域域内内练练习习：有有定定义义 则则在在处处可可导导的的的的一一个个充充分分条条件件是是（ ）0001(2 )()( ) lim ()( )( )lim()()( )()( )lim( )lim2hhhhf ahf ahAh f af aBhhf ahf a hf af a hCDhh 存存在在； 存存在在；存存在在； 存存在在. .11()( )limhf af ahh存存在在0()( )limtf a tf at存存在在0(2 )( ) ()( )limhf ahf af ahf ah 存存在在00(2 )

26、( )()( )limlimhhf ahf af ahf ahh 存存在在0()( )limhf ahf ah存存在在D 0limtf atf at存存在在 f xxa在在处可导处可导3321sincos 3yxxxx 题型三：利用导数的定义求函数在某点的导数题型三：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1.求分段函数在分界点处的导数时；求分段函数在分界点处的导数时；2.不符合求导法则的条件时；不符合求导法则的条件时；3.表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则用求导法则

27、. 0.yx xx 练练习习：求求函函数数在在处处的的导导数数3sin 0.yxxx 求求在在处处的的导导数数0( )(0)(0)lim0 xf xffx 30sinlimxxxx 0例例5.解解:注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就不一定可导不可导就不一定可导.注意：可导注意：可导 可导可导=可导；可导可导；可导 不可导就一定不可导不可导就一定不可导.1.分段函数在分界点处的求导问题分段函数在分界点处的求导问题000( ),:( ),().( ),x xxf xfxg x xx 如如求求00( ),( )( ),x xxfxg x xx 0lim( )xxx 且且0

28、().fxA 0lim( ),xxg xA 用这种方法会把可导的变不可导，不可导的变可导用这种方法会把可导的变不可导，不可导的变可导322,1:( ),(1)3,1xxf xfxx 又又如如求求22,1( )2 ,1xxfxx x (1) 2f 1x 因因为为该该函函数数在在处处不不连连续续, ,所所以以不不可可导导. .21cos,0:( ),0,0 xxf xxx 又又如如112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx (0)f 求求 0011lim 00, lim(2 cossin)xxxxx 不不存存在在，(0).f 不不存存在在 例例6 21cos,0( ),(0).0,0 x

29、xf xfxx 设设求求解解(0)f 201cos0limxxxx 0.(0)f 000limxx 0.(0)0.f 0( )(0)limxf xfx 0( )(0)limxf xfx 用定义用定义例例7 解解,0( ),:(1),( ),0 xeb xf xa bf xax x 设设讨讨论论当当为为何何值值时时0;(2),( )0.xa bf xx 在在处处连连续续当当为为何何值值时时在在处处可可导导( )0f xx 要要使使在在处处连连续续，(0 )(0 )(0),fff 则则有有00(0 )lim( )lim()1,xxxff xebb 而而00(0 )lim( )lim()0,xxff

30、 xax 10;b ( )1f xx 要要使使在在处处可可导导， (0)0,f (0)(0)(0),fff 则则有有0( )(0)(0)limxf xffx 而而0limxxebx 01limxxex 1,0( )(0)(0)limxf xffx 而而00limxaxx , a1( )0.af xx 时时在在处处可可导导例例8.8.022d,.d54txttyxytt t 设设求求解解分析分析:0,tt 当当时时导导数数不不存存在在d0,dxtt 当当时时不不 存存 在在不能用公式求导不能用公式求导.00limlimxtyx 0d0.dtyx 2005()4yytyttt 002xxtxtt

31、求左右极限求左右极限ddddddyytxxt205()4lim2tttttt 209()lim03ttt 205()4lim2tttttt 20()lim0ttt 25()4ttt 2 tt 例例9 讨论下列函数在讨论下列函数在x=0点的连续性和可导性点的连续性和可导性1. ( )sinf xx 1sin,02. ( ).0,0 xxf xxx 解解0( )(0)limxf xfx 001.lim( )limxxf x sinx 0 (0),f( )0.f xx 在在处处连连续续0( )(0)l( )im0 xff xfx 0sinsin0limxxx 1. 0sinsin0limxxx 1.

32、0( )(0)lim(0)xff xfx ( )0.f xx 在在处处不不可可导导例例9 讨论下列函数在讨论下列函数在x=0点的连续性和可导性点的连续性和可导性1. ( )sinf xx 1sin,02. ( ).0,0 xxf xxx 解解 200lim( )limxxf x 1sinxx 0不不存存在在. .(0),f ( )0.f xx 在在处处连连续续0( )(0)limxf xfx 01sin0limxxxx 01limsinxx( )0.f xx 在在处处不不可可导导2.当不满足求导的条件时当不满足求导的条件时例例10( )() ( ),( )( ).f xx axxxaf a 设

33、设其其中中在在处处连连续续, ,求求( )()( )()( )fxxaxxax 分分析析: :( )()( )xxax ( )( ).f aa 必须用定义必须用定义 解解( )f a ( )( )limxaf xf axa () ( )0limxaxaxxa lim ( )xax ( ).a 2( )( )()( )( ).gxf xxag xfa 设设连连续续, ,且且, ,求求)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf ( )gx 不不一一定定存存在在，( ).fa 故故最最好好用用定定义义求求)(af axafxfax )()(lim( )0f a axxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 例例11解解注意：求导法则的成立是有条件的注意：求导法则的成立是有条件的.3.当有抽象函数时必须用定义求导当有抽象函数时必须用